【期中模拟】2023-2024学年（人教B版2019选修二）高二数学下册易错 专题03+条件概率及事件的独立性专题训练.zip

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条件概率的定义及计算
概率的乘法公式
条件概率性质的应用
条件概率的综合问题
全概率公式的应用
贝叶斯公式的应用
全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
相互独立事件的判断
相互独立事件的概率
题型一 条件概率的定义及计算
1．（22-23高二下·辽宁大连·期中）袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是 .
2．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ．
3．（2023·四川雅安·一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二下·河南·期中）某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·辽宁·开学考试）甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ．
6．（22-23高二下·陕西榆林·期中）近年来，某市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从A公园、公园、公园、公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件:甲和乙至少一人选择公园，事件：甲和乙选择的景点不同；易知，甲、乙两人随机选择景点所有的情况有种，甲、乙两人都不选公园的情况有种，那么，经计算可以得出条件概率 ．
7．（23-24高三上·湖北黄冈·期中）大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H，G，L，Y四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A为“甲和乙至少一人选择景点G”，事件为B“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·天津·期末）学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为 ；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为 ．
题型二 概率的乘法公式
9．（23-24高二上·全国·课时练习）已知，则 ．
10．（22-23高二下·北京大兴·期末）若，，，则 ； ．
11．（23-24高三下·福建·开学考试）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 ．
12．（23-24高二上·上海·阶段练习）下列各式中不能判断事件与事件独立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三条件概率性质的应用
13．（2023·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ．
14．（22-23高二下·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则 .
15．【多选】（2023·江苏·三模）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
16．【多选】（2023·全国·模拟预测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．【多选】（22-23高二下·广东惠州·期中）已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四 条件概率的综合问题
18．【多选】（2024届数学新高考学科基地秘卷（八））已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A．B．
C．若A，B独立，则D．若A，B互斥，则
19．【多选】（23-24高三上·湖北武汉·期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．A，B相互独立 B．C．D．
20．【多选】（21-22高二下·广东肇庆·期中）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球、表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件B．
C．D．
21．【多选】（23-24高三上·山东青岛·期末）一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件，则（ ）
A．事件A，B不互斥B．事件A，B相互独立
C．D．
题型五全概率公式的应用
22．（2023·湖北·模拟预测）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A．B．C．D．
23．（23-24高三上·云南·阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ）
A．0.24B．0.14C．0.067D．0.077
24．（23-24高三上·天津东丽·期中）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手5人，三级射手2人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 ；若一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 ．
25．（23-24高三上·江西·阶段练习）某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 .
26．（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； .
题型六 贝叶斯公式的应用
27．（22-23高二下·湖北·期中）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.63
B．第二天去乙游乐场的概率为0.42
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
28．【多选】（21-22高二·全国·课后作业）设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
29．（21-22高二下·广东肇庆·期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
30．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(1)求小明放学时选择A路线的概率;
(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.
31．（21-22高二下·福建·期中）有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．
(1)求这件产品为合格品的概率；
(2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？
题型七 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
32．（22-23高二下·湖南·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ）
A．B．
C．D．
33．【多选】（22-23高二下·贵州毕节·阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，第二天去甲、乙两家餐厅就餐分别记为事件，，且，，已知王同学每天按时到甲、乙两家餐厅中的一家就餐，则（ ）
A．B．C．D．
34．【多选】（2023·全国·模拟预测）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，一个绿球；绿色盒子内装有三个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率是
B．第二次抽到红球的概率是
C．如果第二次抽到红球，那么它来自红色盒子的概率最大
D．小明获得4块月饼的概率是
35．【多选】（2023·福建三明·三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
题型八 相互独立事件的判断
36．【多选】（23-24高二上·河南信阳·期中）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（ ）
A．B．C．事件与互斥D．事件与相互独立
37．【多选】（23-24高二上·山东济宁·期中）一个袋子中有5个球，标号分别为1，2，3，4，5，除标号外没有其他差异．从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．事件和互斥B．事件和相互独立
C．事件和互斥D．事件和相互独立
38．【多选】（23-24高二上·浙江·期中）先后两次郑一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次郑出的点数之和是6”，表示事件“第二次郑出的点数是偶数”，表示事件“两次郑出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件，为互斥事件B．事件，为对立事件
C．D．事件，为相互独立事件
39．（21-22高一下·广东梅州·期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与对立B．
C．A与相互独立D．与相互独立
题型九 相互独立事件的概率
40．【多选】（23-24高三上·山东淄博·期中）甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．事件与事件相互独立D．
41．【多选】（22-23高二下·山东烟台·阶段练习）已知事件满足，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
42．【多选】（2023·安徽蚌埠·三模）新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“冠状病毒病”，是指新型冠状病毒感染导致的肺炎，用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（ ）
A．每人必有人患有新冠
B．若，则事件与事件相互独立
C．若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为
D．若，某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为
43．（21-22高二下·陕西咸阳·期中）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率；
(2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率．
44．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
45．（23-24高三上·浙江宁波·期末）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束.
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
(1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
(2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
获胜概率