人教A版 (2019)3.1 椭圆课时作业

这是一份人教A版 (2019)3.1 椭圆课时作业，共6页。试卷主要包含了设F1，F2是椭圆E，已知椭圆C，画法几何创始人蒙日发现等内容，欢迎下载使用。
1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．7，2， eq \f(3\r(5),7) B．14，4， eq \f(3\r(5),7)
C．7，2， eq \f(\r(5),7) D．14，4，－ eq \f(\r(5),7)
【答案】B 【解析】将椭圆方程化为标准形式为 eq \f(x2,49)＋ eq \f(y2,4)＝1，可知b＝2，a＝7，c＝3 eq \r(5)，则可得长轴长2a＝14，短轴长2b＝4，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3\r(5),7).
2．若焦点在x轴上的椭圆 eq \f(x2,2)＋ eq \f(y2,m)＝1的离心率为 eq \f(1,2)，则m等于( )
A． eq \r(3) B． eq \f(3,2)
C． eq \f(8,3) D． eq \f(2,3)
【答案】B 【解析】因为a2＝2，b2＝m，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(m,2))＝ eq \f(1,2)，所以m＝ eq \f(3,2).
3．已知椭圆 eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝ eq \f(\r(10),5)，则m的值为( )
A．3或25 B． eq \f(25,3)或4
C．4或3 D．3或 eq \f(25,3)
【答案】D 【解析】当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m.又因为e＝ eq \f(\r(10),5)，所以 eq \f(5－m,5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),5))) eq \s\up12(2)，解得m＝3.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝m－5.又因为e＝ eq \f(\r(10),5)，所以 eq \f(m－5,m)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),5))) eq \s\up12(2)，解得m＝ eq \f(25,3).故m＝3或m＝ eq \f(25,3).
4．设F1，F2是椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝ eq \f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,5)
【答案】C 【解析】如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF2|＝|F2F1|，即2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a－c))＝2c，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,4).
5．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan ∠PF2F1＝ eq \f(3,4)，则椭圆的离心率为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,5)
【答案】A 【解析】如图，把x＝－c代入 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，可得y＝± eq \f(b2,a)，不妨取P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，则|PF1|＝ eq \f(b2,a)，而|F1F2|＝2c，所以tan ∠PF2F1＝ eq \f(\f(b2,a),2c)＝ eq \f(b2,2ac)＝ eq \f(a2－c2,2ac)＝ eq \f(3,4)，则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝－2(舍去)或e＝ eq \f(1,2).
6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足00，所以a2>1，所以10).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1.
B级——能力提升练
11．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A． eq \f(1,25) B． eq \f(3,40) C． eq \f(1,8) D． eq \f(3,5)
【答案】B 【解析】如图，F为月球的球心，月球半径约为 eq \f(1,2)×3 476＝1 738(km)，依题意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，所以椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(150,1 988)≈ eq \f(3,40).故选B.
12．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．3 eq \r(5)－6 D． eq \f(3,4)
【答案】BD 【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF1＝3PF2，,PF1＋PF2＝2a，))解得PF1＝ eq \f(3a,2)，PF2＝ eq \f(a,2)，由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥a－c，,\f(3a,2)≤a＋c，))解得 eq \f(c,a)≥ eq \f(1,2)，又因为0< eq \f(c,a)0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知
4c2＝m2＋n2－2mn cs 60°
＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2))) eq \s\up12(2)
＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).
所以 eq \f(c2,a2)≥ eq \f(1,4)，即e≥ eq \f(1,2).
又因为0