广西壮族自治区来宾市武宣县2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷满分为120分，考试时间120分钟）
注意：答案一律写在答题卡上，在试题卷上作答无效。考试结束，将答题卡交回。
一、单选题（每小题3分，共36分）
1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义；运用因式分解的定义进行辨别、求解．
【详解】解：A.∵不是表示整式的乘积，
∴选项A不符合题意；
B.，
∴选项B不符合题意；
C.不是整式乘积的形式，
∴选项C不符合题意；
D.，是因式分解，选项D符合题意，
故选：D．
2. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则m满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题关键．根据二元一次方程的定义即可得．
【详解】解：方程可化为，
方程是关于的二元一次方程，
，
解得，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方以及积的乘方，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；以及积的乘方依次计算即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D．
4. 已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（ ）
A. ①②用代入法，③④用加减法B. ①③用代入法，②④用加减法
C. ②③用代入法，①④用加减法D. ②④用代入法，①③用加减法
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同（或相反）时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程．针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法．
【详解】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选：B．
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则“底数不变指数相加”解答即可．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
6. 若方程组的解满足，则k的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，观察方程组中的两个未知数的系数，判断出直接相减得到含有参数的等式，利用等式的性质是解题关键．方程组中两方程相减得到以k为未知数的方程，解方程即可得答案．
【详解】解：
①②，得
，
由，得
，
解得：，
故选：D．
7. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查积的乘方及同底数幂的乘法，解答的关键是根据积的乘方及同底数幂的乘法将转化为，再利用有理数的乘方和乘法进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
8. 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为（ ）
A. B. C. -3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为的要求建立方程组，即可求解．
【详解】解：；
；
；
∵多项式与的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为；
∴；
解得：，
∴；
故选：C．
9. 若，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键．
由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
故选：A．
10. 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组；由小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，根据小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我废电池数量就是你的2倍”．列出方程组即可．
【详解】解：小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，
根据题意得：，
故选：B．
11. 下列因式分解中：①；②；③ ；④，正确的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断因式分解是否正确，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法逐个判断即可．
【详解】解：①，故①不符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③符合题意；
④，故④不符合题意．
故选：B．
12. 图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，正方形的面积和整式的混合运算等知识点，先求出，，然后计算出，再根据，求出，最后整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题2分，共12分）
13. 把多项式分解因式的结果是_________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
详解】解：，
故答案为：．
14. 计算： ________
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15. 已知方程组，则的值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】由，即可求解．
【详解】解：，
由得：．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
16. 已知，，则_________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方法则的逆用，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则把变形，然后把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案：18．
17. 若是方程的解，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】把方程的解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
18. 如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是________．
【答案】15
【解析】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到含项的系数．
【详解】解：根据题意得：，
，
∴的展开式中含项的系数是15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．
三、解答题（共72分）
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘单项式、积的乘方法则、合并同类项法则计算；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则计算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、整式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、整式的混合运算法则是解题的关键．
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再用平方差公式分解．
【小问1详解】

【小问2详解】

21.
（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的代入消元法和加减消元法是解决本题的关键．
（1）利用代入消元法求解方程组比较简便；
（2）先化简方程组中的第二个方程，再利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
，
把②代入①，得，
整理，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
原方程组的解为．
【小问2详解】
，
由②得③，
①③，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
原方程组的解为．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，8．
【解析】
【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再把x，y的值代入计算即可．
【详解】解：由题意可知：
．
将，代入上式可得：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
23. 如图，把边长为a的一块正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的小正方形．
（1）求该纸板剩余部分（阴影部分）的面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）先因式分解，再请计算出当，时，剩余部分的面积．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，列出代数式即可；
（2）根据平方差公式因式分解，进一步代入可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：阴影的面积；
【小问2详解】
解：
当，时，
原式．
24. 阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法:
解：将方程②变形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③；
把方程①代入③，得：2×3+y=5所以y=-1；
把y=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为.
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
【答案】
【解析】
【分析】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解．
【详解】
将方程②变形：3（3x-2y）+2y=19．
将方程①代入③，得3×5+2y=19．y=2
把y=2代入①得 x=3
∴方程组的解为.
25. 某商场上周购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共个，共花去元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如下表：
（1）求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？
（2）上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获得利元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别是多少个？
【答案】（1）购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个
（2）售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个
【解析】
【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，根据数量关系列方程即可求解；
（2）由（1）可知毛绒玩具的价格，设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，由此列方程即可求解．
【小问1详解】
解：设购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，
依题意得：，解得：．
∴购进冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个．
小问2详解】
解：设售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个，
依题意得：，
∴．
又∵，均为正整数，
∴或．
∴售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个或售出冰墩墩毛绒玩具个，雪容融毛绒玩具个．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组与销售问题的综合，理解题意中的数量关系列方程是解题的关键．
26. 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________；
A． B．
C． D．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，求的值；
②计算：．
【答案】（1）B （2）①；②．
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用．
（1）表示出两个图中阴影的面积可得答案；
（2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可．
【小问1详解】
解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为，
∴可以验证的等式是：，
故答案为：B；
【小问2详解】
解：①
②原式．
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
雪容融