河北省唐山市路南区友谊中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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2．用2B铅笔涂选择题答案，用黑色签字笔在答题卡上答卷.
一、选择题（本题共14题，每题3分，共42分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B.
考点：最简二次根式的定义.
2. 下面四组数，其中是勾股数的一组是（ ）
A. ，，B. 0.3，0.4，0.5C. 3，4，5D. 6，7，8
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此解答即可．
【详解】解：A、，故，，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，本选项不符合题意；
C、，故3，4，5勾股数，本选项符合题意；
D、，故6，7，8不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
3. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答．
【详解】，
又，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合．
4. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ）
A B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，
由勾股定理得：第三边长是；
和都是直角边，
由勾股定理得：第三边长是；
即第三边长是或，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方．
5. 如图所示，有一块地ABCD，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（ ）
A. 60米2B. 48米2C. 30米2D. 24米2
【答案】D
【解析】
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得AC的长，在△ABC中，利用勾股定理的逆定理证明其是直角三角形，然后用△ABC的面积﹣△ACD的面积即可得解.
【详解】解：如图，连接AC，
在Rt△ACD中，AC==5米，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
则这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×5×12﹣×3×4=24米2.
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
6. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先将45写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出n的最小整数值．
【详解】解：．
由是整数，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
7. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积

故选：A．
8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，
由作法得：，
；
表示数为；
故选：A．
9. 中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）
A. 3≤AB≤4B. 2＜AB＜14C. 1＜AB＜7D. 1≤AB≤7
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
∴4﹣3＜AB＜4+3，
解得1＜AB＜7．
故选C．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用积的乘方变形为，再利用平方差公式计算，从而得出答案．
【详解】
=
=
=
=
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的边上的高，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
12. 已知a+b=﹣8，ab=8，则式子的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：因为 所以
所以+=+
故选A．
13. 把根号外的因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
14. 如图，P是等边三角形内一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
15. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_________
【答案】且##且
【解析】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，．
根据二次根式和分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：由题意可得：，，
且，
故答案为：且．
16. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．

【答案】4
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】解：依据题意可得：，
，
少走了，
2步为1米，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键．
17. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________，___________．
【答案】 ①. 1 ②. 1
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1，1．
18. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若的周长为6，则四边形的周长为___________．
【答案】12
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出的周长，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴的周长，
∴四边形的周长；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19. 如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得到，点C与点E对应，BE交AD于F，若，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质和平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定得，最后求出的值．
【详解】解：∵四边形是长方形，，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线折叠，得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是折叠变换的性质和等腰三角形的判定，根据折叠变换的性质找出对应边、对应角是解题的关键．
20. 如图，等腰直角中，，，D为的中点，若P为上一个动点，则的最小值为_________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了轴对称线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使的值最小是解题的关键．
根据中点的含义先求解，作点C关于对称点，则，连接，交于P，连接，此时的值最小，由对称性可知，，于是得到，再证明，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，为的中点，
，
作点C关于对称点，交于，则，连接，交于P，连接．
此时的值最小．
由对称性可知，
∴
∴，点C关于对称点，
∴垂直平分，
∴
根据勾股定理可得
故答案为：．
三、解答题（40分）
21. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）6；（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式计算；
（2）先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．
【详解】解：（1）原式=
=
=6；
（2）原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
22. 已知 满足．
（1）求的值；
（2）试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】（1），，
（2）不能构成直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【小问1详解】
∵，
∴， ，＝0，
∴，，；
【小问2详解】
∵，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．
23. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送多少m？
【答案】（1）秋千的长度是
（2）需要将秋千往前推送
【解析】
【分析】（1）由题意得，证四边形是矩形，得，则，；设秋千的长度为，则，，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
【小问2详解】
当时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
即需要将秋千往前推送．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用,矩形的判定与性质，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
24. 平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F．
（1）若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长；
（2）求证：AD=BF+CG．
【答案】（1）CE=2-3；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由“平行四边形的对角相等”推知∠C=∠BAD=60°，则通过30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到BC的长度，所以CE=BC-BE=BC-BG；
（2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．构建全等三角形：△ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后结合三角形外角的性质易证∠PAF=∠4，则AP=PF．所以结合图形知PF=PB+BF=CG+BF，则AD=BF+CG．
【小问1详解】
解：在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°．
∵BG垂直于CD，
∴∠BGC=90°，∠GBC=30°，
∴BC=2GC．
又∵AB=BG=BE=3，，
∴，
∴GC=，
∴BC=，
∴CE=BC-BE=BC-BG=2-3；
【小问2详解】
证明：如图，延长GB至点P，使BP=CG．
在△ABP与△BGC中，
，
∴△ABP≌△BGC（SAS），
∴BC=AP=AD，∠1=∠2．
∵∠4=∠2+∠3．
又∵AB=BE，
∴∠5=∠3，
∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4，
∴AP=PF．
又∵PF=PB+BF=CG+BF，
∴AD=BF+CG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知AP=PF是解题的难点．