2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区彩香中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区彩香中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. (−a3)2=a6B. 3a+2b=5abC. a6÷a3=a2D. (a−b)=a2−b2
2.已知a>b，则下列各式中一定成立的是( )
A. a−b<0B. 2a−1<2b−1C. ac2>bc2D. a3>b3
3.新型冠状病毒体积很小，这种病毒直径约为0.00000011米，用科学记数法可以把数字0.00000011表示为( )
A. 1.1×10−6B. 1.1×10−7C. 1.1×10−8D. 0.11×10−8
4.如图，l1//l2，∠1=39°，∠2=46°，则∠3的度数为( )
A. 46°
B. 89°
C. 95°
D. 134°
5.已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是( )
A. 3B. 5C. 7D. 8
6.若n边形的内角和是五边形的外角和的2倍，则n的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A=60°，∠E=45°，若AB//CF，则∠CBD的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
8.计算0.522×(−2)23的值是( )
A. −0.5B. 0.5C. −2D. 2
9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P=( )
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 40°
10.定义一种新运算：a&b=4ab−b2(a>b)ab+a−b(aA. 3B. −3C. 5D. −5
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.已知am=2，an=3，则am+n= ______．
12.不等式x−5>4x−1的最大整数解是______．
13.若(x−4)0=1成立，则x应满足的条件是______．
14.若a+b=3且a2+b2=6，则以a、b的长为直角边的直角三角形的面积等于 ．
15.如果x2+mx+16是完全平方式，则实数m的值是______．
16.如图，BD是△ABC的中线，CE是△DBC的中线．若△ABC的面积是12，则△EBC的面积是______．
17.已知(x2+2x+a)(x+b)中不含x2项和x项，那么a+b= ______．
18.如图，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30°，∠ABC=38°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在旋转过程中，当∠α= ______时，EF与△ABC的一边平行：
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.解不等式组x−32+3≥x+11−3(x−1)<8−x．
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题16分)
计算：
(1)|−7|−(1−π)0+(13)−1．
(2)(−3x2)2⋅(−x2+2x−1)．
(3)(2x+y)2−y(y+4x)+(−2x)2．
(4)(2x−3y+z)(2x+3y−z)．
21.(本小题5分)
先化简，再求值：(x−1)2−x(x−3)+(x+2)(x−2)，其中x=−2．
22.(本小题5分)
在下列解答中，填空(理由或数学式)．
(1)∵∠1=∠3(已知)，
∴AD/​/BC(______).
(2)∵AD/​/BC(已知)，
∴∠2=(______)(两直线平行，内错角相等)．
(3)∵∠3+∠4=180°(已知)，
∴(______)//( ______)( ______).
23.(本小题6分)
画图并填空：
如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC按照某方向经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C′．
(1)请画出△A′B′C′；
(2)连接AA′，BB′，则这两条线段的关系是______；
(3)利用方格纸，在△ABC中画出AC边上的中线BD以及AB边上的高CE；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积为______．
24.(本小题6分)
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC=30°，∠BAC=80°．
求：∠AOB的度数．
25.(本小题6分)
如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF/​/DE，∠B=∠C+9°，∠D=∠E=105°．
(1)求∠F的度数．
(2)计算∠B−∠CGF的度数是______．
(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC/​/AD.并说明理由，
26.(本小题7分)
已知甲、乙两个长方形纸片，其边长(m>0)如图中所示，面积分别为S甲和S乙．
(1)①用含m的代数式表示S甲= ______，S乙= ______；
②填空S甲 ______S乙(填>”，“<”或“=”)．
(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为S正．
①该正方形的边长是______(用含m的代数式表示)；
②S正与S乙的差是否为定值？如果不是，请说明你的理由；如果是，请求出值．
27.(本小题8分)
新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，则△DEF为______倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.(−a3)2=a6，正确，符合题意；
B.3a+2b，不是同类项，不能合并，故B选项错误，不符合题意；
C.a6÷a3=a6−3=a3，故C选项错误，不符合题意；
D.(a−b)≠a2−b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方，整式的混合运算，同底数幂的除法运算法则即可求解．
本题主要考查了整式的运算，同底数幂的运算，幂的乘方的综合，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b∴a−b>0，故A不合题意；
B、∵a>b∴2a>2b∴2a−1>2b−1，故B不合题意；
C、当c2=0时，ac2=bc2，故C不合题意；
D、a>b，则a3>b3，故D符合题意；
故选：D．
根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．
本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.00000011=1.1×10−7．
故选：B．
根据科学记数法表示绝对值小于1的数即可解答．
本题主要考查了科学记数法，将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．确定a和n的是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图：
∵l1/​/l2，∠1=39°，
∴∠1=∠4=39°，
∵∠2=46°，
∴∠3=180°−∠2−∠4=95°，
故选：C．
先利用平行线的性质可得∠1=∠4=39°，然后再利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵3+5=8，5−3=2，
∴2故选：D．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
故选：A．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CF，
∴∠BCD=∠ABC=30°．
∵∠BDF是△BCD的外角，
∴∠CBD=∠EDF−∠BCD=45°−30°=15°．
故选：A．
由AB//CF，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠BCD=30°，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CBD的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：0.522×(−2)23
=(12)22×(−2)23
=(12)22×(−2)22×(−2)
=[12×(−2)]22×(−2)
=(−1)22×(−2)
=−2．
故选：C．
将小数化成分数，然后依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可．
本题考查了幂的运算，掌握乘方的积等于积的乘方是关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠D+∠C=210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，
∴∠DAB+∠ABC=150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+∠ABC+12(180°−∠ABC)=90°+12(∠DAB+∠ABC)=165°，
∴∠P=180°−(∠PAB+∠ABP)=15°．
故选：B．
利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=150°.然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a∖&b=4ab−b2(a>b)ab+a−b(a∴(1∖&4)∖&(−1)
=(1×4+1−4)∖&(−1)
=1∖&(−1)
=4×1×(−1)−(−1)2
=−4−1
=−5．
故选：D．
利用题中的新定义计算即可得到结果．
本题考查了新定义下的实数运算，掌握新定义和实数运算法则是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：am+n=am⋅an=2×3=6，
故答案为：6．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
12.【答案】−2
【解析】解：x−5>4x−1
则x−4x>4，
解得：x<−43，
故不等式x−5>4x−1的最大整数解是：−2．
故答案为：−2．
直接利用一元一次不等式的解法解不等式进而得出最大正整数．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．
13.【答案】x≠4
【解析】解：根据题意可得：x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据零指数幂的底数不能为零，即可得到答案．
本题考查了零指数幂，利用零指数幂的底数不能为零得出不等式是解题的关键．
14.【答案】34
【解析】解：∵a+b=3且a2+b2=6，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=6+2ab=9，
∴S=12ab=34，
故答案为：34．
把完全平方公式变形，整体求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，公式的变形是解题的关键．
15.【答案】±8
【解析】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2x⋅4，
解得m=±8．
故答案为：±8．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
16.【答案】3
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△CBD=12S△ABC=12×12=6，
∵CE是△DBC的中线．
∴S△EBC=S△DEC=12S△BDC=12×6=3，
则△EBC的面积是3．
故答案为：3．
根据△ABC的面积是12，三角形的中线将三角形面积两等分，即可求出△EBC的面积．
本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解决本题的关键是三角形的中线将三角形面积两等分．
17.【答案】2
【解析】解：原式=x3+bx2+2x2+2bx+ax+ab=x3+(b+2)x2+(2b+a)x+ab；
∵(x2+2x+a)(x+b)中不含x2项和x项，
∴b+2=0，2b+a=0，
解得：a=4，b=−2；
∴a+b=4−2=2．
故答案为：2．
先利用多项式乘多项式进行计算，合并同类项后，让x2项和x项的系数为0，进行求解即可．
本题考查多项式乘多项式中的不含某一项的问题．熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则，以及不含某一项，该项的系数为0，是解题的关键．
18.【答案】8°或60°或98°
【解析】解：如图，设DF与AC的交点为H，
∵∠EDF=30°，∠ABC=38°，∠ACB=∠E=90°，
∴∠F=60°，∠BAC=52°，
若EF/​/AC时，如图，
∴∠F=∠CHD=60°，
∴∠ADF=∠α=60°−52°=8°，
当EF/​/AB时，
∴∠F=∠FDA=∠α=60°，
若EF/​/BC时，如图，
∴∠F=∠BGD=60°，
∴∠CGD=120°，
∴∠FDA=360°−90°−120°−52°=98°，
故答案为：8°或60°或98°．
分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：x−32+3≥x+1①1−3(x−1)<8−x②，
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2【解析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式(组)，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度适中．
20.【答案】解：(1)|−7|−(1−π)0+(13)−1
=7−1+3
=9；
(2)(−3x2)2⋅(−x2+2x−1)
=9x4⋅(−x2+2x−1)
=−9x6+18x5−9x4；
(3)(2x+y)2−y(y+4x)+(−2x)2
=4x2+4xy+y2−y2−4xy+4x2
=8x2；
(4)(2x−3y+z)(2x+3y−z)
=[2x−(3y−z)][2x+(3y−z)]
=4x2−(3y−z)2
=4x2−(9y2−6yz+z2)
=4x2−9y2+6yz−z2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘法，即可解答；
(3)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(x−1)2−x(x−3)+(x+2)(x−2)
=x2−2x+1−x2+3x+x2−4
=x2+x−3，
当x=−2时，原式=(−2)2−2−3=−1．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.【答案】同位角相等，两直线平行 ∠3 AB CD 同旁内角互补，两直线平行
【解析】解：(1)∵∠1=∠3(已知)，
∴AD/​/BC(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：同位角相等，两直线平行；
(2)∵AD/​/BC(已知)，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：∠3；
(3)∵∠3+∠4=180°(已知)，
∴AB/​/CD(同旁内角互补，两直线平行)．
故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行．
(1)根据同位角相等，两直线平行解答即可；
(2)根据两直线平行，内错角相等解答即可；
(3)根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
23.【答案】平行且相等 20
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)AA′与BB′的关系是平行且相等；
(3)如图，BD、CE为所作；
(4)线段AB在平移过程中扫过区域的面积=4×5=20．
故答案为平行且相等；20．
(1)利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′，B′即可；
(2)根据平移的性质进行判断；
(3)利用网格特点和三角形的中线、高的定义作图；
(4)根据平行四边形的面积公式计算．
本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠C=90°−∠CAD=60°．
在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠C=40°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
在△AOB中，∠ABO=20°，∠BAO=∠BAC−∠CAD=50°，
∴∠AOB=180°−∠ABO−∠BAO=110°．
【解析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，根据三角形内角和定理求出∠ABC=40°是解题的关键．
由AD⊥BC，利用三角形内角和定理结合∠DAC=30°即可得出∠C=60°、∠ABC=40°，再根据角平分线定义可得出∠ABE=20°，在△AOB中根据三角形内角和定理即可得出∠AOB的度数．
25.【答案】115°
【解析】解：(1)∵AF//DE，
∴∠F+∠E=180°，
∴∠F=180°−105°=75°；
(2)延长DC交AF于K，
可得：∠B−∠CGF=∠C+9°−∠CGF=∠GKC+9°=∠D+9°=114°，
故答案为：114°；
(3)当∠ADE+∠CGF=180°时，BC/​/AD，
∵AF/​/DE，
∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，
∴∠GAD=∠CGF，
∴BC/​/AD．
(1)根据平行线的判定和性质解答即可；
(2)延长DC交AF于K，进而解答即可；
(3)根据平行线的判定和性质解答即可．
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
26.【答案】m2+12m+27 m2+10m+24 > m+5
【解析】解：(1)①由长方形的面积的计算方法得，
S甲=(m+9)(m+3)=m2+12m+27，
S乙=(m+6)(m+4)=m2+10m+24，
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24；
②S甲−S乙=(m2+12m+27)−(m2+10m+24)
=m2+12m+27−m2−10m−24
=2m+3，
∵m>0，
∴2m+3>0，
∴S甲>S乙，
故答案为：>；
(2)①乙的周长为：2(m+6)+2(m+4)=4m+20，
∵正方形的周长与乙的周长相等，
∴正方形的边长为4m+204=m+5，
故答案为：m+5；
②S正−S乙=(m+5)2−(m2+10m+24)
=m2+10m+25−m2−10m−24
=1，
因此“S正与S乙的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．
(1)①结果长方形的面积的计算方法可表示出为S甲和S乙；②作差法，可比较大小；
(2)①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．
本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式等知识，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键．
27.【答案】解：(1)3；
(2)解：∵∠POM=30°，
∴∠OAB+∠OBA=150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB=12∠OAB+12∠OBA=75°，
∴∠C=105°．
①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=25°；
②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°，
∴∠BAC=50°；
③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°，
∴∠BAC=12∠C=52.5°；
④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°，
∴∠CBA=12∠C=52.5°，
∴∠BAC=22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
(3)解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF，
∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°，
∴∠E+∠F=90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①，
∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90° ②；
①×2−②得：∠ABO=2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i)若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°，
∴∠E=22.5°，
∴∠ABO=45°；
ii)若∠E=3∠F，
∴∠E=67.5°，
∴∠ABO=135°(不符合题意，舍去)；
iii)若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°，
∴∠ABO=60°；
iv)若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°，
∴∠ABO=120°(不符合题意，舍去)；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【解析】解：(1)∵∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°−40°−35°=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
(2)(3)见答案。
(1)由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
(2)根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
(3)首先证明∠EAF=90°，分四种情形分别求出即可．
本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．