2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  清代诗人袁枚创作了一首诗苔：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一个正多边形的每一个外角都等于，则这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若的结果中不含项，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使根据图中数据信息，下列调整大小的方法正确的是

A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小

6.  已知，代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，点是边的中点，，的面积是，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，，与的角平分线交于点，且，已知，若，，则下列等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  在中，：：：：，则是______填入“锐角三角形”、“直角三角形”或“钝角三角形”

10.  若三角形两条边的长分别是、，第三条边的长是整数，则第三条边长的最大值是______．

11.  计算：______．

12.  已知是一个完全平方式，则的值为______ ．

13.  如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置，若，，则，之间的距离为______．

14.  若，则______．

15.  解方程， ______ ．

16.  对有理数，定义运算：，其中，是常数如果，，那么的取值范围是______ ．

17.  在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”例如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”如图，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点规定当为“灵动三角形”时，的度数为______ ．

18.  如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点先出发后，点也从点出发，沿射线以的速度运动，分别连接，设点运动的时间为，其中，当______时，．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式．

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
已知，，求：
的值；
的值．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

23.  本小题分
如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点，点为延长线上的一点，连接．
若，求的度数；
在的条件下，若，求证：；
若，探究、有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．

24.  本小题分
填空：
；
；
；

______ ；
猜想：
______ ；其中为正整数，且
利用中的猜想的结论计算：
；
．

25.  本小题分
如图，，平分，点，在射线，上，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，设．
 

如图，若．

的度数是____，当时，____；

若，求的值；

如图，若，是否存在这样的的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

26.  本小题分
完全平方公式经常可以用作适当变形来解决很多的数学问题．
若，，求的值；
请直接写出下列问题答案：
若，，则 ______ ；
若，则 ______ ．
如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分面积．

27.  本小题分
一副三角板中，，，中，，，按如图方式放置，如图将绕点按逆时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒．

图中， ______ ；
在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值；
在绕点旋转的过程中，探究与之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：．
根据整式的加减，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方计算即可．
本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：正多边形的每一个外角都等于，
正多边形的边数．
故选：．
根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：

，
结果中不含项，
，
解得：．
故选：．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含项，则其相应的系数为．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长，交于点，如图：

，
．
，
．
，，
．
而图中，
应减少．
故选：．
延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数；利用，和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，




．
故选：．
先根据得到，再把整体代入，即可求解．
本题主要考查了整式的混合运算化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，连接，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，

设的面积为，
点是边的中点，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，
，
，
的面积的面积，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积，的面积的面积，
，
故A不符合题意；
的面积是，
的面积，
的面积的面积，
，
，
，，
，
故B，都不符合题意；符合题意；
故选：．
设与相交于点，连接，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，设的面积为，根据点是边的中点，可得的面积的面积，的面积的面积，从而利用等式的性质可得的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积，进而可得，然后利用三角形的面积可得的面积的面积，从而可得的面积，进而可得的面积，的面积，最后求出，，再根据的面积是，可得，从而求出的值，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过作，连接并延长，
，
，
，
又是的外角，是的外角，
，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
又，，
，
，
即，
，
，
故选：．
过作，连接并延长，依据平行线的性质以及三角形的外角性质，即可得到，，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

9.【答案】锐角三角形 

【解析】解：，，，，的形状是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形．
根据三角形内角和分别算出各角度即可判断．
本题考查了三角形角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出各角度．
 

10.【答案】 

【解析】解：第三边，
即：第三边；
所以最大整数是，
故答案为：．
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，，据此计算即可．
本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：．
根据完全平方式的特点解答即可．
本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

13.【答案】 

【解析】解：三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质得，再利用可计算出，从而得到的长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
 

14.【答案】 

【解析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出与的值．
解：，
，，
解得：，，
故答案为：．
本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出与的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
根据同底数幂的乘法的逆用、提公因式法可进行求解方程．
本题主要考查同底数幂乘法的逆用及提公因式法，熟练掌握同底数幂乘法的逆用及提公因式法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，且，
，
，
由可得，
，
解得：；
故答案为：．
根据题中所给新定义运算及可得、的关系，然后问题可求解．
本题考查了根据题中所给新定义运算，掌握新定义运算发则是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
当为“灵动三角形”时，
当时，
，
不合题意舍去，
当时，
，
，
，
综上，．
故答案为：．
由，，利用三角形的内角和定理可求得，结合“灵动三角形”的定义可分两种情况进行解答，即当，或时，根据三角形的内角和定理以及互为余角可得答案．
本题考查三角形的内角和，属于新定义题型，掌握三角形内角和是是解决问题的前提，理解“灵动三角形”是正确解答的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：，，
，
当点在点的左侧时，，
解得，
当点在点的右侧时，，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
由，，推出，分两种情形：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别构建方程求解即可．
本题考查三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】根据一元一次不等式的解法可进行求解．
本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握其解法是解题的关键．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】根据幂的运算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了幂的运算，零指数幂的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
；

． 

【解析】利用同底数幂的除法性质，得出，那么；
根据幂的乘方的性质得出，那么，将代入计算即可．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：

，
当，时，
． 

【解析】先用公式化简，后代入求值即可．
本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，，，
，
．
是的平分线，
；
证明：，，
．
又，
，
；
解：理由如下：
，
，
．
是的平分线，
，
，
． 

【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出，由邻补角定义得出再根据角平分线定义即可求出；
先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出；
先根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质得出，然后利用角平分线定义得出结论．
本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：根据上式总结归纳得：

，
故答案为：；
根据上式猜想得：

，
故答案为：；


，，
原式；
由题意可得：，，




．
根据题中条件总结归纳即可求解；
根据题中条件总结归纳即可求解；
根据题中条件可得，，即可求出答案；由题意可得：，，从而求得答案．
本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键．
 

25.【答案】解：，；
，，
，
，
，
，
；
存在这样的的值，使得，
分两种情况：
如图，若在左侧，

，
，
，
，
当时，
，
解得；
如图，若在右侧，

，，
当时，
，
解得；
综上所述，当或时，． 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数，根据求出的值；
根据三角形内角和求出，根据平行的性质的度数，相减即可得的值；
分两种情况进行讨论：在左侧，在右侧，分别根据三角形内角和定理，可得的值．
【解答】
解：，平分，
，
，
；，
时，
，
，
即，
故答案为，；
见答案；
见答案．  

26.【答案】   

【解析】解：，，，

解得．
，
，
，
，，
，
，
解得，
故答案为：．
设，，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，得到，，，
长方形的周长为，面积为，
，



．
根据变形计算即可．
根据变形代入计算即可．
设，，则，，根据变形计算即可．
根据题意，得到，，，结合已知，变形计算即可．
本题考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握公式的变形是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，，，
；
故答案为：；
由题意得：，，
当时，如图所示：

，
解得：；
当时，如图所示：

，
，
解得：；
当时，如图所示：

、、三点在同一直线上，
，
解得：；
综上所述：当与的一边平行时，或或；
当在内部时，如图，

，
；
当在外部时，如图，


；
综上所述：与之间的数量关系为．
根据角的和差关系可进行求解；
由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可；
根据题意可分当在内部时和当在外部时，进而分类求解即可．
本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．