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2022-2023学年陕西省安康市汉阴县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省安康市汉阴县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.使二次根式 x−1有意义的x的取值范围是( )
A. x=1B. x≠1C. x>1D. x≥1
2.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 8B. 0.5C. 13D. 2
3.以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5B. 6，12，13C. 6，8，10D. 12，20，25
4.在▱ABCD中，添加下列一个条件，仍不能判定平行四边形为矩形的是( )
A. AB=ADB. AB⊥BCC. AC=BDD. ∠B=∠C
5.若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为( )
A. 13B. 26C. 119D. 13或 119
6.如图，在▱ABCD中，∠A=60°，BC=2，BE平分∠ABC，交CD边于点E，则BE长为( )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
7.如图，在菱形ABCD中，AB=2 3，∠A=60°，E是AB的中点，BF平分∠ABD，连接DE，交BF于点M，则BM的长为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
8.如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为24cm，高AB为18cm，现在要以点A为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点A的正上方的点B处，则彩色胶带最短要( )
A. 15cm
B. 20cm
C. 25cm
D. 30cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：( 5− 3)( 5+ 3)=______．
10.命题“菱形的对角线互相垂直”，该命题的逆命题是______命题.(填“真”或“假”)
11.若n= m−2+ 2−m，则mn= ______．
12.古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：S= p(p−a)(p−b)(p−c)，S指三角形的面积，a，b，c是三角形各边长，p为周长的一半.海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式.已知△ABC的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得△ABC的面积为______．
13.将Rt△ACB，Rt△BDE按如图所示放置，点C在BD上，∠ACB=∠BDE=90°，∠BAC=∠DBE，AC=4，BC=3，CD=5，DE=6.O为AE的中点，连接OB，则OB的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 50+ 18−( 2− 3)．
15.(本小题5分)
计算： 3× 8− 27÷ 12．
16.(本小题5分)
求代数式a−2 a2−8a+16的值，其中a=−4．
17.(本小题5分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，请用尺规作图法作菱形ABEF，使得E，F分别在边BC和AD上.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：△ABE≌△CDF．
19.(本小题5分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB．
(1)求作等腰直角三角形ABC，其中∠A=90°；
(2)计算△ABC的面积．
20.(本小题5分)
如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”.图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形.若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求(a+b)2的值．
21.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF=∠DCE.求证：四边形AFCE是平行四边形．
22.(本小题7分)
小泽和爸爸在护城河边散步，小泽打算让爸爸帮忙一起估算出护城河的宽度.他们按照以下方法进行测量：小泽在河边选取一点A，在河的对岸爸爸选取一个点B，测量得知∠BAD=45°，小泽沿着河边继续向前走了20米到点C处，测得∠BCD=60°，请你帮他们计算出护城河的宽度BE.(结果保留根号)
23.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，且EF//DG，DE⊥EF．
(1)求证：四边形DEFG为矩形．
(2)已知∠BAC=45°,AB=AC=8 2，求S四边形DEFG．
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)对角线AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？请说明理由．
25.(本小题8分)
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．
(1)如图1，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C，E，设AC=b，BC=a，AB=c，请结合此图证明勾股定理；
(2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓(实线)的周长为48，OC=6，求这个图案的面积．
26.(本小题10分)
问题提出：
(1)如图1，飞镖图形ACBD，其中CD=AD=BD，若∠ACB=55°，则∠ADB= ______°.
问题探究：
(2)如图2，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD，点O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：四边形OBCD是菱形．
问题解决：
(3)如图3，某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形ABCD空地，数学兴趣小组的同学们测得AB=16m，BC=CD=10m，∠BAD=60°，现需要在四边形ABCD空地内取点O安装一个取水装置，使得点O到点A，B，C，D的距离相等，是否存在点O满足条件？若存在，求出△ABO的面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴可得x−1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于x的一次不等式，解出即可得出x的范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A． 8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 0.5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵1+2<5，
∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+122≠132，
∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+82=102，
∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵122+202≠252，
∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，三角形的三边关系；勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c(c最大)满足a2+b2=c2，则三角形是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为 52+122=13；
②若12为斜边，5和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为 122−52= 119，
则第三边长为13或 119．
故选：D．
分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，∠C=∠A=60°，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
∴∠CEB=∠EBC，
∴BC=CE=2，
∵∠C=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE=2，
故选：B．
根据四边形ABCD为平行四边形可得DC//AB，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CEB=∠EBC，证明△CBE是等边三角形，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的意义得出∠CEB=∠EBC．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2 3，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，BF平分∠ABD，
∴BF，DE是AB的中线，∠ABF=30°，AF=DF= 3，
∴点M是BF的重心，BF= 3AF=3，
∴BM=23BF=2，
故选：C．
先证△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BF，DE是AB的中线，∠ABF=30°，AF=DF= 3，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∵圆柱的底面周长为24cm．
又∵高AB为18cm，即展开图中，BC=18cm，
∴AB= 242+182=30(m)．
故彩色胶带最短为30m．
故选：D．
把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：原式=5−3=2，
故答案为2．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10.【答案】假
【解析】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题，
故答案为：假．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
11.【答案】1
【解析】解：由题可知，
m−2≥02−m≥0，
解得m=2，
将m=2代入求得n=0，
则mn=20=1．
故答案为：1．
根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12.【答案】3 154
【解析】解：∵a=2，b=3，c=4，
∴p=2+3+42=92，
∴△ABC的面积为 92×(92−2)×(92−3)×(92−4)=3 154．
故答案为：3 154．
直接利用海伦--秦九韶公式列式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
13.【答案】5 52
【解析】解：∵∠ACB=∠BDE=90°，∠BAC=∠DBE，AC=4，BC=3，CD=5，DE=6，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，BE= BD2+DE2= (BC+CD)2+DE2= 82+62=10，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠BAC=∠DBE，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE= AB2+BE2= 52+102=5 5，
∵∠ABE=90°，O为AE的中点，
∴OB=12AE=5 52，
故答案为：5 52．
根据勾股定理求出AB=5，BE=10，根据直角三角形的性质求出∠ABE=90°，根据勾股定理求出AE=5 5，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
14.【答案】解： 50+ 18−( 2− 3)
=5 2+3 2− 2+ 3
=7 2+ 3．
【解析】根据二次根式的加减法的运算法则计算即可．
本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】解：原式= 3×2 2−3 3× 2
=2 6−3 6
=− 6．
【解析】先把除法运算化为乘法运算，再各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
16.【答案】解：∵a=−4，
∴a−4=−4−4=−8<0，
∴a−2 a2−8a+16
=a−2 (a−4)2
=a−2(4−a)
=a−8+2a
=3a−8
=3×(−4)−8
=−12−8
=−20．
【解析】先根据a=−4，求出a−4的求值范围，然后把所求式子的被开方数分解因式，利用二次根式的性质化简，再把a的值代入计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
17.【答案】解：如图菱形ABEF即为所求．
【解析】连接AC，作线段AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，则四边形AECF即为所求．
本题考查尺规作图、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，OA=OC．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE=CF=14AC．
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF．
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
【解析】根据全等三角形的判定定理SAS证得结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，等腰直角三角形ABC即为所求．
(2)由勾股定理得，AC=AB= 42+22=2 5，
∴△ABC的面积为12×2 5×2 5=10．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的判定按要求画图即可．
(2)利用勾股定理求出AC，AB的长，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的判定、三角形的面积、勾股定理，掌握等腰直角三角形的判定是解答本题的关键．
20.【答案】解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴a2+b2=c2=100，(a−b)2=4，
∴a2+b2−2ab=4，
即100−2ab=4，
∴2ab=96，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196．
【解析】根据大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，得出a2+b2=c2=100，(a−b)2=4，得出2ab的值，即可得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，正确得出2ab=96是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠DAB=CD∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE，BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
即CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得∠B=∠D，AB=CD，BC=AD，再证明△ABF≌△CDE(ASA)，得AF=CE，BF=DE，进而证明CF=AE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得：BE⊥CD，
设CE=x米，
∵AC=20米，
∴AE=AC+CE=(x+20)米，
在Rt△ABE中，∠BAE=45°，
∴BE=AE⋅tan45°≈(x+20)米，
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE⋅tan60°= 3x(米)，
∴ 3x=x+20，
解得：x=10 3+10，
∴BE=x+20=(10 3+30)米，
∴护城河的宽度BE为(10 3+30)米．
【解析】根据题意可得：BE⊥CD，设CE=x米，则AE=(x+20)米，然后分别在Rt△ABE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC．
∵EF//DG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵DE⊥EF，
∴四边形DEFG为矩形．
(2)∵AB=AC=8 2,D是AB的中点，
∴AD=4 2．
∵∠BAC=45°，∠AGD=90°，
∴DG=4．
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=4 2，
∴S四边形DEFG=DE⋅DG=4 2×4=16 2．
【解析】(1)欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
(2)首先根据等腰直角三角形的性质求出DG=4；然后由三角形中位线定理得到DE=4 2；最后由矩形的面积公式求解即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，证明四边形DEFG为矩形是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，
同理，HG//AC，GH=12AC，
∴EF//HG，EF=HG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：当图中的四边形ABCD的对角线满足条件AC=BD时，这个中点四边形EFGH是菱形，
∵EF=12AC，EH=12BD，AC=BD，
∴EH=EF，
∴▱EFGH是菱形，
故答案为：AC=BD．
【解析】(1)连接AC，BD，利用三角形中位线定理可得EF//AC，EF=12AC，HG//AC，GH=12AC，则EF//HG，EF=HG，从而证明结论；
(2)根据菱形的判定可知，当四边形ABCD的对角线添加条件AC=BD时，这个中点四边形EFGH是菱形．
本题考查了平行四边形和菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定)；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
25.【答案】(1)证明：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
又∵BC⊥l，DE⊥l，
∴∠BCA=∠DEA=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠ABC，
∴△ABC≌△DAE(AAS)，
∴BC=AE=a，AC=DE=b，
∴S梯形BCED=12(BC+DE)⋅CE=12(a+b)2=12a2+ab+12b2．
又∵S梯形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE=12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
∴a2+b2=c2；
(2)解：∵图形的周长为48，
∴4(AB+AC)=48，
∴AB+AC=12．
由图可知：OB=OC=6，
在Rt△OAB中，OB2+OA2=AB2，
即62+(6+AC)2=(12−AC)2，
∴36+36+12AC+AC2=144−24AC+AC2，
∴AC=2，
∴OA=8，
∴图案的面积S=4S△ABO=4×12×6×8=96．
【解析】(1)先判断出∠ABC=∠DAE，∠ACB=∠AED，再判断出△ABC≌△DAE，得：BC=AE=a，AC=DE=b，根据面积和即可得出结论；
(2)根据勾股定理列方程可得AC=2，最后由三角形的面积公式计算即可求解．
本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的证明和应用，全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形．
26.【答案】110
【解析】(1)解：如图，延长CD至M，
∵CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，
∵∠ACB=55°，
∴∠ACD+∠BCD=55°，
∵∠ADE=∠A+∠ACD，∠BDE=∠BCD+∠B，
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=2(∠ACD+∠BCD)=110°；
故答案为：110；
(2)证明：连接OC，
∵BC=CD，OA=OB=OD，OC是公共边，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC(SSS)，
∴∠B=∠D，∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∴∠BOD=∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC=CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
(3)解：存在点O满足条件．如图，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠BAD=60°，OA=OB=OC=OD，
由(1)可得：∠BOD=2∠BAD=120°，
∵BC=CD，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
又∵OA=OB=OC=OD，
∴△BOC和△DOC都为等边三角形，
∴OB=OA=OD=OC=CB=CD=10，
∵AB=16，OE⊥AB，
∴AE=BE=8，
在Rt△AOE中，AE=8m，AO=10m，
∴EO= OA2−AE2=6m，
∴S△AOB=12AB⋅OE=12×16×6=48(m2)．
(1)延长CD至M，由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，根据三角形外角的性质可得出答案；
(2)连接OC，证明△OBC≌△ODC(SSS)，得出∠B=∠D，∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，证出∠BOD=∠BCD，由菱形的判定可得出结论；
(3)连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，证明△BOC≌△DOC(SAS)，得出∠BOC=∠DOC=60°，由等边三角形的性质及勾股定理可得出答案．
此题考查了菱形的判定，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．
1.使二次根式 x−1有意义的x的取值范围是( )
A. x=1B. x≠1C. x>1D. x≥1
2.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 8B. 0.5C. 13D. 2
3.以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，5B. 6，12，13C. 6，8，10D. 12，20，25
4.在▱ABCD中，添加下列一个条件，仍不能判定平行四边形为矩形的是( )
A. AB=ADB. AB⊥BCC. AC=BDD. ∠B=∠C
5.若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为( )
A. 13B. 26C. 119D. 13或 119
6.如图，在▱ABCD中，∠A=60°，BC=2，BE平分∠ABC，交CD边于点E，则BE长为( )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
7.如图，在菱形ABCD中，AB=2 3，∠A=60°，E是AB的中点，BF平分∠ABD，连接DE，交BF于点M，则BM的长为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
8.如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为24cm，高AB为18cm，现在要以点A为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点A的正上方的点B处，则彩色胶带最短要( )
A. 15cm
B. 20cm
C. 25cm
D. 30cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：( 5− 3)( 5+ 3)=______．
10.命题“菱形的对角线互相垂直”，该命题的逆命题是______命题.(填“真”或“假”)
11.若n= m−2+ 2−m，则mn= ______．
12.古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：S= p(p−a)(p−b)(p−c)，S指三角形的面积，a，b，c是三角形各边长，p为周长的一半.海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式.已知△ABC的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得△ABC的面积为______．
13.将Rt△ACB，Rt△BDE按如图所示放置，点C在BD上，∠ACB=∠BDE=90°，∠BAC=∠DBE，AC=4，BC=3，CD=5，DE=6.O为AE的中点，连接OB，则OB的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 50+ 18−( 2− 3)．
15.(本小题5分)
计算： 3× 8− 27÷ 12．
16.(本小题5分)
求代数式a−2 a2−8a+16的值，其中a=−4．
17.(本小题5分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，请用尺规作图法作菱形ABEF，使得E，F分别在边BC和AD上.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：△ABE≌△CDF．
19.(本小题5分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB．
(1)求作等腰直角三角形ABC，其中∠A=90°；
(2)计算△ABC的面积．
20.(本小题5分)
如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”.图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形.若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求(a+b)2的值．
21.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF=∠DCE.求证：四边形AFCE是平行四边形．
22.(本小题7分)
小泽和爸爸在护城河边散步，小泽打算让爸爸帮忙一起估算出护城河的宽度.他们按照以下方法进行测量：小泽在河边选取一点A，在河的对岸爸爸选取一个点B，测量得知∠BAD=45°，小泽沿着河边继续向前走了20米到点C处，测得∠BCD=60°，请你帮他们计算出护城河的宽度BE.(结果保留根号)
23.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，且EF//DG，DE⊥EF．
(1)求证：四边形DEFG为矩形．
(2)已知∠BAC=45°,AB=AC=8 2，求S四边形DEFG．
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)对角线AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？请说明理由．
25.(本小题8分)
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．
(1)如图1，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C，E，设AC=b，BC=a，AB=c，请结合此图证明勾股定理；
(2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓(实线)的周长为48，OC=6，求这个图案的面积．
26.(本小题10分)
问题提出：
(1)如图1，飞镖图形ACBD，其中CD=AD=BD，若∠ACB=55°，则∠ADB= ______°.
问题探究：
(2)如图2，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD，点O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：四边形OBCD是菱形．
问题解决：
(3)如图3，某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形ABCD空地，数学兴趣小组的同学们测得AB=16m，BC=CD=10m，∠BAD=60°，现需要在四边形ABCD空地内取点O安装一个取水装置，使得点O到点A，B，C，D的距离相等，是否存在点O满足条件？若存在，求出△ABO的面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴可得x−1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于x的一次不等式，解出即可得出x的范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A． 8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 0.5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵1+2<5，
∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+122≠132，
∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+82=102，
∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵122+202≠252，
∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，三角形的三边关系；勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c(c最大)满足a2+b2=c2，则三角形是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为 52+122=13；
②若12为斜边，5和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为 122−52= 119，
则第三边长为13或 119．
故选：D．
分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，∠C=∠A=60°，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC
∴∠CEB=∠EBC，
∴BC=CE=2，
∵∠C=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE=2，
故选：B．
根据四边形ABCD为平行四边形可得DC//AB，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CEB=∠EBC，证明△CBE是等边三角形，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的意义得出∠CEB=∠EBC．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2 3，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，BF平分∠ABD，
∴BF，DE是AB的中线，∠ABF=30°，AF=DF= 3，
∴点M是BF的重心，BF= 3AF=3，
∴BM=23BF=2，
故选：C．
先证△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BF，DE是AB的中线，∠ABF=30°，AF=DF= 3，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∵圆柱的底面周长为24cm．
又∵高AB为18cm，即展开图中，BC=18cm，
∴AB= 242+182=30(m)．
故彩色胶带最短为30m．
故选：D．
把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：原式=5−3=2，
故答案为2．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10.【答案】假
【解析】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题，
故答案为：假．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
11.【答案】1
【解析】解：由题可知，
m−2≥02−m≥0，
解得m=2，
将m=2代入求得n=0，
则mn=20=1．
故答案为：1．
根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
12.【答案】3 154
【解析】解：∵a=2，b=3，c=4，
∴p=2+3+42=92，
∴△ABC的面积为 92×(92−2)×(92−3)×(92−4)=3 154．
故答案为：3 154．
直接利用海伦--秦九韶公式列式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
13.【答案】5 52
【解析】解：∵∠ACB=∠BDE=90°，∠BAC=∠DBE，AC=4，BC=3，CD=5，DE=6，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，BE= BD2+DE2= (BC+CD)2+DE2= 82+62=10，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠BAC=∠DBE，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE= AB2+BE2= 52+102=5 5，
∵∠ABE=90°，O为AE的中点，
∴OB=12AE=5 52，
故答案为：5 52．
根据勾股定理求出AB=5，BE=10，根据直角三角形的性质求出∠ABE=90°，根据勾股定理求出AE=5 5，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
14.【答案】解： 50+ 18−( 2− 3)
=5 2+3 2− 2+ 3
=7 2+ 3．
【解析】根据二次根式的加减法的运算法则计算即可．
本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】解：原式= 3×2 2−3 3× 2
=2 6−3 6
=− 6．
【解析】先把除法运算化为乘法运算，再各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
16.【答案】解：∵a=−4，
∴a−4=−4−4=−8<0，
∴a−2 a2−8a+16
=a−2 (a−4)2
=a−2(4−a)
=a−8+2a
=3a−8
=3×(−4)−8
=−12−8
=−20．
【解析】先根据a=−4，求出a−4的求值范围，然后把所求式子的被开方数分解因式，利用二次根式的性质化简，再把a的值代入计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
17.【答案】解：如图菱形ABEF即为所求．
【解析】连接AC，作线段AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，则四边形AECF即为所求．
本题考查尺规作图、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，OA=OC．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE=CF=14AC．
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF．
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
【解析】根据全等三角形的判定定理SAS证得结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，等腰直角三角形ABC即为所求．
(2)由勾股定理得，AC=AB= 42+22=2 5，
∴△ABC的面积为12×2 5×2 5=10．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的判定按要求画图即可．
(2)利用勾股定理求出AC，AB的长，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的判定、三角形的面积、勾股定理，掌握等腰直角三角形的判定是解答本题的关键．
20.【答案】解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴a2+b2=c2=100，(a−b)2=4，
∴a2+b2−2ab=4，
即100−2ab=4，
∴2ab=96，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196．
【解析】根据大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，得出a2+b2=c2=100，(a−b)2=4，得出2ab的值，即可得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，正确得出2ab=96是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠DAB=CD∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE，BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
即CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得∠B=∠D，AB=CD，BC=AD，再证明△ABF≌△CDE(ASA)，得AF=CE，BF=DE，进而证明CF=AE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得：BE⊥CD，
设CE=x米，
∵AC=20米，
∴AE=AC+CE=(x+20)米，
在Rt△ABE中，∠BAE=45°，
∴BE=AE⋅tan45°≈(x+20)米，
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE⋅tan60°= 3x(米)，
∴ 3x=x+20，
解得：x=10 3+10，
∴BE=x+20=(10 3+30)米，
∴护城河的宽度BE为(10 3+30)米．
【解析】根据题意可得：BE⊥CD，设CE=x米，则AE=(x+20)米，然后分别在Rt△ABE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC．
∵EF//DG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵DE⊥EF，
∴四边形DEFG为矩形．
(2)∵AB=AC=8 2,D是AB的中点，
∴AD=4 2．
∵∠BAC=45°，∠AGD=90°，
∴DG=4．
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=4 2，
∴S四边形DEFG=DE⋅DG=4 2×4=16 2．
【解析】(1)欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
(2)首先根据等腰直角三角形的性质求出DG=4；然后由三角形中位线定理得到DE=4 2；最后由矩形的面积公式求解即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，证明四边形DEFG为矩形是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，
同理，HG//AC，GH=12AC，
∴EF//HG，EF=HG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：当图中的四边形ABCD的对角线满足条件AC=BD时，这个中点四边形EFGH是菱形，
∵EF=12AC，EH=12BD，AC=BD，
∴EH=EF，
∴▱EFGH是菱形，
故答案为：AC=BD．
【解析】(1)连接AC，BD，利用三角形中位线定理可得EF//AC，EF=12AC，HG//AC，GH=12AC，则EF//HG，EF=HG，从而证明结论；
(2)根据菱形的判定可知，当四边形ABCD的对角线添加条件AC=BD时，这个中点四边形EFGH是菱形．
本题考查了平行四边形和菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定)；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．
25.【答案】(1)证明：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
又∵BC⊥l，DE⊥l，
∴∠BCA=∠DEA=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠ABC，
∴△ABC≌△DAE(AAS)，
∴BC=AE=a，AC=DE=b，
∴S梯形BCED=12(BC+DE)⋅CE=12(a+b)2=12a2+ab+12b2．
又∵S梯形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE=12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
∴a2+b2=c2；
(2)解：∵图形的周长为48，
∴4(AB+AC)=48，
∴AB+AC=12．
由图可知：OB=OC=6，
在Rt△OAB中，OB2+OA2=AB2，
即62+(6+AC)2=(12−AC)2，
∴36+36+12AC+AC2=144−24AC+AC2，
∴AC=2，
∴OA=8，
∴图案的面积S=4S△ABO=4×12×6×8=96．
【解析】(1)先判断出∠ABC=∠DAE，∠ACB=∠AED，再判断出△ABC≌△DAE，得：BC=AE=a，AC=DE=b，根据面积和即可得出结论；
(2)根据勾股定理列方程可得AC=2，最后由三角形的面积公式计算即可求解．
本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的证明和应用，全等三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形．
26.【答案】110
【解析】(1)解：如图，延长CD至M，
∵CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，
∵∠ACB=55°，
∴∠ACD+∠BCD=55°，
∵∠ADE=∠A+∠ACD，∠BDE=∠BCD+∠B，
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=2(∠ACD+∠BCD)=110°；
故答案为：110；
(2)证明：连接OC，
∵BC=CD，OA=OB=OD，OC是公共边，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC(SSS)，
∴∠B=∠D，∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∴∠BOD=∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC=CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
(3)解：存在点O满足条件．如图，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠BAD=60°，OA=OB=OC=OD，
由(1)可得：∠BOD=2∠BAD=120°，
∵BC=CD，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC(SAS)，
∴∠BOC=∠DOC=60°，
又∵OA=OB=OC=OD，
∴△BOC和△DOC都为等边三角形，
∴OB=OA=OD=OC=CB=CD=10，
∵AB=16，OE⊥AB，
∴AE=BE=8，
在Rt△AOE中，AE=8m，AO=10m，
∴EO= OA2−AE2=6m，
∴S△AOB=12AB⋅OE=12×16×6=48(m2)．
(1)延长CD至M，由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，根据三角形外角的性质可得出答案；
(2)连接OC，证明△OBC≌△ODC(SSS)，得出∠B=∠D，∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，证出∠BOD=∠BCD，由菱形的判定可得出结论；
(3)连接OA，OB，OC，OD，过点O作OE⊥AB于点E，证明△BOC≌△DOC(SAS)，得出∠BOC=∠DOC=60°，由等边三角形的性质及勾股定理可得出答案．
此题考查了菱形的判定，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．
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