2021-2022学年陕西省安康市汉阴县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省安康市汉阴县八年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列各式中，一定是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下面各组数中，是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 命题“如果，，那么”的逆命题是

A. 如果，，那么 B. 如果，那么，
C. 如果，，那么 D. 如果，那么，

5. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 一轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

7. 已知，，是数轴上三点，点是线段的中点，点，对应的实数分别为和，则点对应的实数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则等于

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. ______．
10. 如图，在中，，，则点到边的距离为______ ．
    
     

11. 若，，则______用含、的代数式表示．
12. 在中，，，则______．
13. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是______．
    
     

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
15. 如图，在中，，，求的长以及的面积．
     

16. 三角形的周长为，已知两边的长分别为和，求第三边的长．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在中，，，求边上高的长．
    
    
     

18. 设长方形的面积为，相邻两边长分别为、，已知，，求．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦米处车尾到大厦墙面，升起云梯到火灾窗口已知云梯长米，云梯底部距地面的高米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
     

20. 已知：，，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿方向匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？

22. 如图，在四边形中，，，，，且求证．
     

23. 如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．
    求长方体盒子的容积；
    求这个长方体盒子的侧面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，、分别为边、的中线，分别交、于点、．
    若，，，求证：；
    若，，，求的长．
     

25. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数、，使，，使得，，那么便有：．
    例如：化简．
    解：首先把化为，这里，，由于，即，．
    ．
    填空：______，______．
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
26. 用四个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
    结合图，运用乘法公式求证：；
    如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形若该图形的周长为，，求该图形的面积；
    如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：选项，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，的根指数是，不是，故该选项不符合题意；
故选：．
根据形如的式子叫做二次根式判断即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：，不是勾股数，不符合题意；
B.，，，不是勾股数，不符合题意；
C.，不是勾股数，不符合题意；
D.，是勾股数，符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

3.【答案】

【解析】

解：、不能化简，是最简二次根式，符合题意；
B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数大于或等于，也不是最简二次根式．
 

4.【答案】

【解析】

解：命题“如果，，那么”的逆命题是“如果，那么，”，
故选：．
根据互逆命题概念解答即可．
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

5.【答案】

【解析】

解：、与不能合并，所以选项错误；
B、与不能合并，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的性质对进行判断；利用分母有理化对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

6.【答案】

【解析】

解：如图所示：，海里，海里，
，即是直角三角形，
海里．
故选：．
根据题意画出图形，判断出三角形的形状解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理解答，体现了数形结合的优点．
 

7.【答案】

【解析】

解：、两点对应的实数是和，
，
点是线段的中点，
，
点所对应的实数是：，
故选：．
先求得的长度，点是线段的中点，即可得出的长，再用的长度加上可得出点所对应的实数．
本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
 

8.【答案】

【解析】

解：在中，，，
，
是由翻折，
，，
设，
在中，，

，
．
故选：．
根据翻折的性质可知：，，设，在中利用勾股定理解决．
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
 

9.【答案】

【解析】

解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的性质，可得答案．
本题好查了算术平方根，  是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：如图，过点作，垂足为点，

，，
，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理求出斜边的值，再用三角形面积公式即可求解．
本题考查的是勾股定理和三角形的面积公式，灵活运用面积公式是解这道题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：，，
．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘法运算法则将原式变形计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：在中，，，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理解答．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
，，
．
答：按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是．
故答案为：．
根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．
本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
 

14.【答案】

解：原式
．
 

【解析】

直接利用乘法公式计算，再去绝对值，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

15.【答案】

解：在中，，，，
，
的面积
 

【解析】

根据勾股定理得到的值，再根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】

解：三角形周长为，两边长为，
第三边长为：，
答：第三边长为．
 

【解析】

已知周长和两边长，第三边可列式为，再根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的应用，关键是根据题意列式，再根据二次根式的性质化简求解．
 

17.【答案】

解：如图，等腰中，，，
过作于，则，
在中，，，
则．
故BC边上高的长的高为．
 

【解析】

过作于，由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理的运用，涉及面较广，但难度适中，是一道不错的中考题，解题的关键是作出边上的高线，构造直角三角形．
 

18.【答案】

解：长方形的面积为，边长，
另一边长

．
 

【解析】

长方形的面积为长宽，已知面积为，一边为，求另一边可列即可得答案．
本题考查了二次根式的应用，关键是结合题意列式求解，注意结果要根据分母有理化化简为最简二次根式．
 

19.【答案】

解：，
；
根据勾股定理，得
米，
米；
答：发生火灾的住户窗口距离地面米．
 

【解析】

根据和的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的长．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

20.【答案】

解：，，



，
代数式的值为．
 

【解析】

利用平方差公式进行计算即可解答．
本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

21.【答案】

解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
．
设，则，，
由勾股定理得：，
，
解得，             
答：机器人行走的路程是．
 

【解析】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法．
根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出设，则，，根据勾股定理列方程即可得出结论．
 

22.【答案】

证明：在中，根据勾股定理：，
在中，，，
，
根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，
．
 

【解析】

在中，根据勾股定理求出的值，再在中根据勾股定理的逆定理，判断出．
本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

23.【答案】

解：由题意可知：长方体盒子的容积为：

，
答：长方体盒子的容积为．

长方体盒子的侧面积为：

，
答：这个长方体盒子的侧面积为．
 

【解析】

结合题意可知该长方体盒子的长为，宽为，高为，而长方体的容积为长宽高，即可得答案；
该长方体盒子的侧面为长方形，长为，宽为，共个面，即可得答案．
本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
 

24.【答案】

证明：、分别为边、的中线，，，
，，
，
，
是直角三角形，
；
解：，，，
，，
、分别为边、的中线，
，，
，，
，
，
．
 

【解析】

根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可求解；
根据中点的定义和勾股定理即可求解．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

25.【答案】

【解析】

解：，
；
故答案为：，；
．
仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可；
仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
 

26.【答案】

证明：，
，
即，
；

，
设，则，

在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
；

设正方形面积为，设其他八个全等的三角形面积为，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
 

【解析】

根据正方形的面积公式证明解答即可；
根据勾股定理和三角形面积公式解答即可；
设正方形面积为，设其他八个全等的三角形面积为，根据题意得出方程解答即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．