四川省绵阳市三台中学校2024届高三下学期第三学月（4月）月考理科数学试题（原卷版+解析版）

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理科数学
命题人：黄琨伦 审题人：侯进先
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷共（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. 1D. i
【答案】C
【解析】
【分析】求出复数的代数形式，进而可得其虚部.
【详解】，其虚部为.
故选：C.
2. 集合，则（ ）
A. B. 1C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，解得，再代入检验即可.
【详解】因为，所以，则，解得，
当时，，，不符合题意，
当时，，，符合题意．
故选：B
3. 若实数满足，则的最小值是（ ）
A. 0B. C. -1D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出不等式对应的可行域，平移动直线后可得的最小值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过点时，有最小值，
又由可得，故的最小值为，故选D.
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考虑二元函数的几何意义．
4. 为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了《西游记》《红楼梦》《水浒传》和《三国演义》部名著．甲同学准备从中任意选择部进行阅读，那么《红楼梦》被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出从4部名著中任选2部的选法，再求出《红楼梦》被选中的选法，进而可得得出结果.
【详解】从4部名著中任选2部共有种选法，
其中《红楼梦》被选中的选法有种，
所以《红楼梦》被选中的概率为.
故选：C
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
6. 为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是（ ）
A. 2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B. 2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C. 2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的
D. 2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
【答案】C
【解析】
【分析】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，A选项，分别计算出2022年和2023年种植收入，得到A正确；B选项，计算出，B正确；C选项，分别计算出2022年和2023年外出务工收入，得到C错误；D选项，分别计算出2022年和2023年其他收入，得到D正确.
【详解】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，
对于A，2022年种植收入为，2023年种植收入为，A正确；
对于B，2023年养殖收入和第三产业收入之和为，B正确；
对于C，2022年外出务工收入为，2023年外出务工收入为，
是2022年外出务工收入的，C不正确；
对于D，2022年其他收入为，2023年其他收入为，
由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多，D正确．
故选：C．
7. 是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（ ）
A. B. C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，求出点纵坐标，利用勾股定理求出即可得解.
【详解】如图，

由抛物线，可知，准线方程，
因为，所以，
代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，
则，所以,
又，所以,
所以的周长为，
故选：D
8. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
9. 数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，下列说法错误的是（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 是等差数列D. 成等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，设的公比为，则，根据得到A正确；B选项，根据进行判断；C选项，计算出，，C正确；D选项，举出反例.
【详解】A选项，设的公比为，则，
则，故，
故数列为等比数列，A正确；
B选项，，故数列为等比数列，B正确；
C选项，，
故，
是等差数列，C正确；
D选项，当时，，
此时，，故不为等比数列，D错误.
故选：D
10. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.
【详解】取的中点，连接、，

则
，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的取值范围为．
故选：C
11. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.
【详解】设是的中点，连接，由于，
所以，所以是二面角的平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以 两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.
设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，
故选：A
12. 若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数存在零点，转化为方程在内有解，设函数，则有解，得到在内有解，问题转化为求在上的最小值，利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值.
【详解】由得，
设，则，∴在上单调递增，
∴，∴，，，即．
所以存在零点等价于方程有解，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以．
故选：B
【点睛】方法点睛：函数有零点，转化为方程在上有解，设函数，则方程就转化为有解，结合函数的单调性，转化为.再设，问题就转化为求函数的最小值问题，结合导数，分析函数单调性可解决问题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在等差数列中，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故答案为：6
14. 若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解．
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．
设切点为，
∴切线斜率为，
由题知，解得或(舍)．
∴，此时点到直线距离．
故答案为：．
15. 已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
16. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率
【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则，
所以.由直线AB的斜率，得，
则直线OM的斜率.
设，，则
两式相减，得，化简得，
即，
所以该双曲线的离心率.
故答案为：
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：．
【答案】（1）列联表见解析；有
（2）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；
（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.
【小问1详解】
依题意可得列联表如下：
，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，
则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若点D在AC上，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B；
（2）利用图形中的向量关系，有，由向量数量积和余弦定理化简得结果.
【小问1详解】
因为，即，
由正弦定理可得：，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以．
【小问2详解】
因为，则，
可得，

则，即，
整理得，
由余弦定理可得，则，
即，所以．
19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）解法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【小问1详解】
因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
20. 平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交轨迹于点和，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式及已知列方程，化简整理即可得轨迹方程；
（2）讨论直线的斜率是否存在，设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式及四角形面积，求最值即可.
【小问1详解】
设，由题意有且，
化简得，即．
【小问2详解】
当其中一条直线的斜率不存在时，则、一条为长轴长、另一条为过的通径长，
令，则，可得，故通径长为，而长轴长为，易得．
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线为，
，化简整理得，
设，则，
，
，则直线的斜率为，同理，
，
令，则，当，即时等号成立，
而，则四边形面积的最小值为.
21. 已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）记两个极值点分别为，（），求证：.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求导，将函数由两个不等极值转化为导函数有两个不等零点，再进一步转化为两函数图象的交点问题
（2）合理构造函数，将证明不等式转化为求函数的最值问题，再利用导数进行求解.
【小问1详解】
解：依题，函数的定义域为，
所以有两个不同根，即方程在有两个不同根，
即函数与函数的图象在上有两个不同交点，
若令过原点且切于函数图象直线斜率为，
只须.令切点，所以，
又，所以，
解得，于是，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）可知，分别是方程的两个根，即.
作差得，即.
所以不等式，等价于，
下面先证，即证，
令，∵，∴，
即证（），
令（），则，
∴在上单调递增，
∴，即得证，从而得证；
再证，即证，即证（），
令（），则，
∴在上单调递减，
∴，即得证，从而得证，
综上所述，成立，即.
（二）选考题：共10分．请考生在题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）曲线与直线交于两点，若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先消去得曲线的普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设直线的极坐标方程为，，其中为直线的倾斜角，代入曲线的极坐标方程，根据根与系数的关系列式求解即可.
【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）设直线的极坐标方程为，，
其中为直线的倾斜角，
代入曲线得，
设所对应的极径为，
则，，
因为，
即，满足，
当时，，，
当时，，，
故的值为或．
【点睛】本题考查了参数方程、普通方程及极坐标方程的互化，重点考查了极径、极角的运算，属基础题.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，正实数a，b，c满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；
（2）先求出，再利用基本不等式证明不等式.
【详解】解：（1）
当时，由，得，此时无解；
当时，由，得，此时的解为；
当时，由，解得，此时的解为.
综上，不等式的解集为；
证明：（2）∵，
故的最小值为，∴.
∵，
，
等号当且仅当，即时等号成立.
∵，
∴，
∴，即.
【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题主要运用了综合法.乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
0
1
2
3