四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
命题人： 审题人：
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试卷共4页，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，C，D三点共线
C. A，B，D三点共线D. B，C，D三点共线
3. 设，则（ ）
A B. C. D.
4. 在等边中，点是边的中点，且，则为（ ）
A. B. 16C. D. 8
5. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ）
A. 先将橫坐标缩短到原来倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，，则
C. 若，，则或
D. 若，其中，则
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量共线
C. 互为相反向量两个向量的模相等
D. 若向量满足，则
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
11. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数图像的对称中心为，
C. 该函数的增区间是，
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
12. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量的夹角为，且，则_______．
14. 已知，，且，，则______．
15. 已知，则_______．
16. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.
四、解答题：本题共6小图，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
18. 平行四边形中，．

（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
19. 已知 ．
（1）求的值；
（2）求的值．
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
（1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
（2）求的最大值，及此时的角.
21. 已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求m，n的值；
（2）若A，B，C三点共线，求的最大值．
22. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有一解，求实数的取值范围．
三台中学2023级高一下期第一次学月考试
数学
命题人： 审题人：
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试卷共4页，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式，求解即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查三角恒等变换，属于较易题.
2. 已知向量不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，C，D三点共线
C. A，B，D三点共线D. B，C，D三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，
易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由，
平方可得，
解得.
故选：A.
4. 在等边中，点是边的中点，且，则为（ ）
A. B. 16C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积定义即可求得的值.
【详解】等边中，点是边的中点，且，
则,，，
则
故选：C
5. 为了得到函数图象，只需要把函数图象（ ）
A. 先将橫坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】B
【解析】
【分析】利用平移变换和周期变换规则来判断.
【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象
先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错；
也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确.
故选：B.
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，，则
C. 若，，则或
D. 若，其中，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据相等向量，共线向量，数乘运算的定义分别进行判断即可.
【详解】对于A，当时，与可能不共线，
如，，满足，但不满足或，A错误；
对于B，若，此时，，但与可能不共线，B错误；
对于C，由向量数乘运算定义知C正确；
对于D，若，则，此时与可以是任意向量，D错误.
故选：C.
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
分析】
首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
8. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数零点的定义及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以
因为函数在区间上有且仅有两个零点，
所以，解得，
所以实数的最大值是.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量共线
C. 互为相反向量的两个向量的模相等
D. 若向量满足，则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】利用向量的概念判断ABC；利用判断D.
【详解】对于A：，正确；
对于B：零向量与任意向量共线，正确；
对于C：互为相反向量的两个向量，大小相同，方向相反，正确；
对于D：由可得当时，，正确；
故选：ABCD.
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用三角函数的特殊值即可求解；对于B ，D，利用两角和的正切公式即可求解；对于C，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】对于A ，，故 A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由，得，故D正确.
故选：BCD.
11. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数图像的对称中心为，
C. 该函数的增区间是，
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选:ACD
12. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C．
【详解】对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则
，又，
，，三点共线，，
且，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量的夹角为，且，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义列方程计算即可.
【详解】由已知，
解得.
故答案为：.
14. 已知，，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合同角三角关系和两角和差公式运算求解.
【详解】因为，，且，，
则，，
可得
，
即.
故答案为：.
15. 已知，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】先将条件利用两角和与差的正弦公式展开整理后可求出，然后将变形为用表示代入计算即可.
【详解】因为，
所以，
整理得，即，
所以.
故答案为：.
16. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.
【详解】设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1
因为小正方形与大正方形的面积之比为
所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为
由图可知
且,
两式相乘可得
化简可得
解得
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题.
四、解答题：本题共6小图，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用倍角公式化简即可；
（2）利用同角三角函数关系和两角和的余弦公式可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为是第二象限角，所以，且，
所以，
故
.
18. 在平行四边形中，．

（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【小问1详解】
因为分别是中点，
所以，
.
【小问2详解】
因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
19. 已知 ．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正切公式求解即可；
（2）根据二倍角的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
∵ ，∴.
【小问2详解】
.
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
（1）将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
（2）求的最大值，及此时的角.
【答案】（1）（）
（2）时，取得最大值
【解析】
【分析】（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解；
（2）借助三角函数性质即可求解.
【小问1详解】
在中，，，
，，
，
，
（）；
【小问2详解】
，
，
，
因为，
，
当，即时，
取得最大值.
21. 已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求m，n的值；
（2）若A，B，C三点共线，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知求得，再根据向量的线性运算可求得答案；
（2）由A，B，C三点共线得，存在不为零的数，使得，继而有，再得，根据二次函数的性质可求得其最大值.
【小问1详解】
因为，，所以，
又因为，所以，．
【小问2详解】
，，
由A，B，C三点共线，存在不为零的数，使得，
即，
则，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值．
22. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有一解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式及诱导公式，利用辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角函数的平移边换，将关于的方程在上恰有一解转化为在上恰有一解，利用三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
依题可知，
，
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
由（1）知， ，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
因为关于的方程在上恰有一解，
所以在上恰有一解，
即在上恰有一解，
因为，所以，
令，，则，
由三角函数的性质知，函数在上单调递增，在上单调递减；
而，
所以或解得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角恒等变换及三角函数的周期公式，将关于的方程在上恰有一解转化为在上恰有一解，再利用三角函数的性质即可.