四川省绵阳市三台县三台中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份四川省绵阳市三台县三台中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 的值为， 在△中，若，则=， 若，则， 如果，，那么的值为， 已知，， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
三台中学高2022级高一下期 3月 教学质量检测
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 ，共60分）
一.单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】.
故选：A
2. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ）
A. 1069千米 B. 1119千米 C. 2138千米 D. 2238千米
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式直接求解.
【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，
所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）.
故选：D
3. 在△中，若，则=（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，结合所给的三角函数值，根据三角形内角的取值范围，确定出，，再利用三角形内角和求得结果.
【详解】△中，若，，
则，所以，所以，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有根据三角函数值确定角的大小，三角形内角和，属于基础题目.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系结合公式即可求解.
【详解】解：由题知
所以
解得：
所以
故选：C.
5. 五星红旗的五颗星是最美的星，每颗五角星是由一个正五边形及五个全等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边与正五边形的边重合，如图，已知等腰三角形的顶角为36°，顶角的余弦值为，则五角星中间的正五边形的一个内角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合已知角度的余弦值以及余弦的二倍角公式，即可求得结果.
【详解】根据题意可得：等腰三角形的每个底角为；
由题可知：，由余弦的二倍角公式可得：
；
又正五边形的一个内角和互为补角，是，
故.
故选：C.
6. 函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则（ ）.
A. B. 1 C. 0 D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性和奇偶性求得正确答案.
【详解】是周期为的奇函数，，
所以.
故选：B
7. 如果，，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据角的范围得到，再利用降幂公式结合半角的范围可求的值.
【详解】由可知是第二象限角，，
所以.
，为第三象限角，.
故选：.
【点睛】本题考查三角函数值的符号、二倍角的降幂公式，注意根据角的范围来确定三角函数的值的正负，本题属于基础题.
8. 已知，.若存在，使得，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先将函数进行化一处理，由得，由可得解.
【详解】，
当时，，
存在，使得，
则，解得
故选：B.
二.多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. “若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”
【答案】AD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义判断A，根据单位向量的定义判断B，根据相等向量的定义判断C，根据相等向量及平行四边形的性质判断D.
【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；
对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；
对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，
若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.
故选：AD
10. 要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将每个点横坐标伸长为原来的倍
B. 向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍
C. 每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换可得出结论.
【详解】法一：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；
法二：将函数的图象每个点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
故选：AD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 函数的最小正周期为π
B. 点是曲线的对称中心
C. 函数在区间内单调递增
D. 函数在区间内有两个最值点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由图可知，
所以，又，所以，
所以，，，得，，
又，所以，所以，
所以函数的周期为，A选项正确；
由，得，，，
取得，，对称中心为，取得，，对称中心为，
所以点不是曲线对称中心，B选项错误；
由，得，，，
当时，，函数在区间内单调递增，C选项正确；
由，可得，，
取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D选项错误.
.故选：AC
12. 已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.
【详解】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷中的横线上.
13. ____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接代入二倍角的正切公式即可求解.
【详解】依题意，
，
故答案为：.
14. 函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可.
【详解】若使函数有意义，需满足：，
解得；
故答案：
15. 已知都是锐角，，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，
，
，


由于为锐角，
故答案为：
16. 是关于对称的奇函数，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角恒等变换公式化简得，再由奇函数与对称性得，
【详解】因为，所以，
所以，
所以，又因为是关于对称的奇函数
所以.
故答案为：
四.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知α是第三象限角，.
(1)化简；
(2)若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】第一问利用

第二问∵∴从而，从而得到三角函数值．
解：（1）

（2）∵
∴从而
又为第三象限角
∴
即的值为
18. 已知向量，不共线，且，，.
（1）将用，表示；
（2）若，求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程组，由此求得的值.
【小问1详解】
因为，，所以；
【小问2详解】
因为，，，
所以，即，
又向量，不共线，所以，
解得，即的值为.
19. 函数且满足___________.
①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.
（1）确定的值并求函数的单调区间；
（2）求函数在上的值域.
【答案】条件选择见解析；（1），单调增区为，单调减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
化简.
（1）若选① ，根据周期公式可得；若选②，由，可得周期和，
再根据正弦函数的单调性可得单调区间；
（2）由的范围求出及的范围可得答案.
【详解】

.
（1）若选① ，则有，，即，
若选②，则有，
，即，
综上，
于是由，
解得，
即单调增区为，
由，
解得，
所以单调减区间为.
（2），
若，则，
则，
所以值域为.
【点睛】本题考查了的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.
20. 求解下列问题
（1）已知都是锐角，，求的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，然后求得，进而求得.
（2）先求得，由此求得.
【小问1详解】
都是锐角，，
，，
.
【小问2详解】
由，及，可解得，
，所以，
，
所以.
21. 已知函数的一系列对应值如下表：










1
3
1

1
3

（1）根据表格提供的数据求出函数的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格提供数据依次求得的值，从而求得的一个解析式.
（2）先求得的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得的取值范围.
【小问1详解】
设的最小正周期为T，得.由得.
又，解得，
令，即，，
又，令可得.所以.
【小问2详解】
因为函数的周期为，
又，则，所以.
令，因为，所以.
如图，在上有两个不同的解的条件是，
所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，
则，即实数的取值范围是.

22. 设．
（1）求使不等式成立的的取值集合；
（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.
（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.
【详解】解：.
（1）即：
，
所以原不等式的解集为：.
（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数，
∴.
设，由可得：，
则原不等式等价于：在上恒成立；
设，，则在递增，在递减，所以，
所以．
【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.