2024年广东省梅州市丰顺县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省梅州市丰顺县中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）中国的领水面积约为370000km2，用科学记数法可表示为（ ）
A．37×104km2B．3.7×104km2
C．3.7×105km2D．37×105km2
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列尺规作图，能确定∠BAD＝∠CAD的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6≤m＜7C．6＜m≤7D．3≤m＜4
8．（3分）将关于x的分式方程＝0去分母可得（ ）
A．3x+（x﹣2）＝0B．3x﹣（x﹣2）＝0
C．3（x﹣2）+x＝0D．3（x﹣2）﹣x＝0
9．（3分）下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
10．（3分）如图，分别以△ABC的三边AB、BC．AC为边向外侧作正方形AFGB．正方形BHLC．正方形ACDE，连接EF，GH、DL，再过A作AK⊥BC于K．延长KA交EF于点M．
①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLO；
②EM＝MF；
③当AB＝3，BC＝5．∠BAC＝90°时，S阴影部分＝20．
其中正确的结论共有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围为 ．
12．（3分）分解因式：a2b﹣4b＝ ．
13．（3分）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40，则图（1）中对角线AC的长为 ．
14．（3分）如图，P（﹣3a，a）是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为20π，则k的值为 ．
15．（3分）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，∠D＝35°，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应为 °．
16．（3分）观察下列图形中的数字排列规律，在第（9）个图中，a+b﹣c的值是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：（﹣2024）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
18．（6分）已知＝2，求（+）÷的值．
19．（6分）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
20．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
21．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
五、解答题（三）本大题共3小题，23题8分，24题10分，25题12分，共20分。
23．（8分）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD与以OC为半径的⊙O交于D、E两点，AC与BD交于点O，连接CE，CD．
（1）填空：AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：△BCE∽△BDC；
（3）若CD＝2CE，⊙O的半径为3．求BC的长．
24．（10分）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表：
（1）填空：BN＝ dm，sinB＝ ．
（2）试求：正方形CDEF和正方形DEFG的边长比？
（3）若在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长．
25．（12分）综合与实践：
如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点D在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；
（3）小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB＝∠ABC，请帮助小明求出∠DCB＝∠ABC时点D的坐标．
2024年广东省梅州市丰顺县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．（3分）中国的领水面积约为370000km2，用科学记数法可表示为（ ）
A．37×104km2B．3.7×104km2
C．3.7×105km2D．37×105km2
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000＝3.7×105，
故选：C．
3．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：C．
4．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质与化简方法以及立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.＝|﹣3|＝3，因此选项A不符合题意；
B.3﹣＝2，因此选项B不符合题意；
C.＝﹣2，因此选项C不符合题意；
D.×＝＝，因此选项D符合题意．
故选：D．
5．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
6．（3分）下列尺规作图，能确定∠BAD＝∠CAD的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．
【解答】解：A选项作图痕迹可知，D为BC中点，即BD＝CD，不能确定∠BAD＝∠CAD，故A不符合题意；
B选项作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，即BD＝AD，不能确定∠BAD＝∠CAD，故B不符合题意；
C选项作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故C符合题意；
D选项作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，故D符合题意；
故选：C．
7．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6≤m＜7C．6＜m≤7D．3≤m＜4
【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜m，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜m．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜m≤7．
故选：C．
8．（3分）将关于x的分式方程＝0去分母可得（ ）
A．3x+（x﹣2）＝0B．3x﹣（x﹣2）＝0
C．3（x﹣2）+x＝0D．3（x﹣2）﹣x＝0
【分析】原方程两边同乘x（x﹣2）即可求得答案．
【解答】解：原方程两边同乘x（x﹣2）得：3x﹣（x﹣2）＝0，
故选：B．
9．（3分）下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案．
【解答】解：由于13岁和14岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定，
因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：＝12，
所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数．
故选：C．
10．（3分）如图，分别以△ABC的三边AB、BC．AC为边向外侧作正方形AFGB．正方形BHLC．正方形ACDE，连接EF，GH、DL，再过A作AK⊥BC于K．延长KA交EF于点M．
①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLO；
②EM＝MF；
③当AB＝3，BC＝5．∠BAC＝90°时，S阴影部分＝20．
其中正确的结论共有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【分析】①运用正方形性质和勾股定理即可判断结论①不正确；
②过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，可证得△AER≌△CAK（AAS），△EMR≌△FMT（AAS），即可判断结论②正确；
③分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，运用全等三角形的判定和性质可证得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，再运用面积法可得AK＝，再利用S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL，即可判断结论③错误．
【解答】解：①由正方形的性质可得：S正方形AFGB+S正方形ACDE＝AB2+AC2，S正方形BHLC＝BC2，
∵∠BAC不一定是直角，
∴AB2+AC2＝BC2不一定成立，故结论①不正确；
②如图，过点E作ER⊥AK于R，过点F作FT⊥AK于T，
则∠ERA＝∠ATF＝90°，
∴∠EAR+∠AER＝90°，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠EAR+∠CAK＝90°，
∴∠AER＝∠CAK，
在△AER和△CAK中，
，
∴△AER≌△CAK（AAS），
∴ER＝AK，
同理可得：FT＝AK，
∴ER＝FT，
在△EMR和△FMT中，
，
∴△EMR≌△FMT（AAS），
∴EM＝MF，故结论②正确；
③∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，
∴AC＝，
如图，分别过点A、G、D作AP⊥BH于P，AK⊥BC于K，AN⊥CL于N，GQ⊥BH于Q，DM⊥CL于M，
同理可得GQ＝BP＝AK，DM＝CN＝AK，
∵BC•AK＝AB•AC，
∴AK＝，
∴S阴影部分＝S△AEF+S△BGH+S△CDL＝×3×4+×5×+×5×＝18，故结论③错误；
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围为 a≥7 ．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，a﹣7≥0，
解得a≥7．
故答案为：a≥7．
12．（3分）分解因式：a2b﹣4b＝ b（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）．
故答案为：b（a+2）（a﹣2）．
13．（3分）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40，则图（1）中对角线AC的长为 20 ．
【分析】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得AB2+CB2＝2AB2＝AC2＝402，则AB＝20，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝20，于是得到问题的答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴AB2+CB2＝AC2，
∵AB＝CB，AC＝40，
∴2AB2＝402，
∴AB＝20，
在菱形ABCD中，AB＝CB＝20，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝20，
故答案为：20．
14．（3分）如图，P（﹣3a，a）是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为20π，则k的值为 ﹣24 ．
【分析】由题意点P（﹣3a，a）是反比例函与⊙O的一个交点，可得﹣3a2＝k．构建方程求出a2可得结论．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
，
解得：．
∵点P（﹣3a，a）是反比例函与⊙O的一个交点，
∴﹣3a2＝k．
，
∴．
∴k＝﹣3×8＝﹣24，
故答案为：﹣24
15．（3分）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，∠D＝35°，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应为 50 °．
【分析】首先根据三角形外角的性质得到∠ACD＝∠ABD﹣∠D＝40°，然后利用平角的概念求解即可．
【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°，
∴∠ACD＝∠ABD﹣∠D＝40°
∵AC⊥CE
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝50°．
故答案为：50．
16．（3分）观察下列图形中的数字排列规律，在第（9）个图中，a+b﹣c的值是 ﹣895 ．
【分析】观察所给图形中，每个位置数字的变化规律，发现规律即可解决问题，
【解答】解：由所给图形可知，
因为1＝，﹣2＝1×（﹣2），4＝﹣2×（﹣2），…，
所以右上角的数字依次扩大﹣2倍，
故第（n）个图中右上角的数字为：（﹣2）n﹣2．
同理可得，图（n）中下方的数字为：（﹣2）n．
又因为﹣1＝﹣2+1，5＝4+1，﹣7＝﹣8+1，…，
所以左上角的数字比下方的数字大1，
故第（n）个图中左上角的数字为：（﹣2）n+1．
所以第（n）个图中，a+b﹣c＝（﹣2）n+（﹣2）n+1﹣（﹣2）n﹣2＝2×（﹣2）n﹣（﹣2）n﹣2+1．
当n＝9时，
原式＝2×（﹣2）9﹣（﹣2）9﹣2+1＝﹣895．
即第（9）个图中，a+b﹣c的值是﹣895．
故答案为：﹣895．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：（﹣2024）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解答】解：（﹣2024）0+﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2×+5
＝1+2﹣1+5
＝7．
18．（6分）已知＝2，求（+）÷的值．
【分析】先把条件变式，再代入求解．
【解答】解：∵已知＝2，
∴x＝3y，
∴（+）÷
＝
＝
＝
＝1．
19．（6分）某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．
【分析】先根据斜坡AB的坡角和长度求出点B离AD的高度，然后根据求底部不能到达的物体的高度求出CF的高度，即可求出DC的长．
【解答】解：如图，设点B到AD的距离为BG，
在Rt△ABG中，BG＝ABsin∠BAG＝30×＝15米，
设BF＝x米，则CF＝x米，EF＝（x﹣4）米，
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝，
即，
∴x＝6+，
∴CD＝DF+CF＝15+6+＝（21+）米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
20．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【分析】（1）利用抽查的学生总数＝A等级的人数÷对应的百分比计算，即可求D等级的人数；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：
（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．
21．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝可得反比例函数的解析式为y＝，即得m＝＝4；
（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直线CD的解析式是y＝x+2，即得D（0，2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），有，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y＝的图象上．
【解答】解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝得：
﹣2＝，
解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵C（4，m）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝4；
∴反比例函数的解析式为y＝，m＝4；
（2）B在反比例函数y＝的图象上，理由如下：
连接AC，BD交于H，如图：
把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴直线CD的解析式是y＝x+2，
在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形ABCD是菱形，
∴H是AC中点，也是BD中点，
由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），
设B（p，q），
∵D（0，2），
∴，
解得，
∴B（8，2），
在y＝中，令x＝8得y＝2，
∴B在反比例函数y＝的图象上．
五、解答题（三）本大题共3小题，23题8分，24题10分，25题12分，共20分。
23．（8分）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD与以OC为半径的⊙O交于D、E两点，AC与BD交于点O，连接CE，CD．
（1）填空：AB与⊙O的位置关系为 AB与⊙O相切 ；
（2）求证：△BCE∽△BDC；
（3）若CD＝2CE，⊙O的半径为3．求BC的长．
【分析】（1）作OF⊥AB于点F，由角平分线的性质得OF＝OC，则点F在⊙O上，即可证明AB与⊙O相切，于是得到问题的答案；
（2）由DE是⊙O的直径，得∠DCE＝∠ACB＝90°，则∠BCE＝∠OCD＝90°﹣∠ACE，因为∠OCD＝∠D，所以∠BCE＝∠D，而∠EBC＝∠CBD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCE∽△BDC；
（3）由⊙O的半径为3，得DE＝6，由相似三角形的性质得＝＝＝，则BC2＝BE•BD，BE＝BC，所以BC2＝BC（BC+6），求得BC＝4．
【解答】（1）解：作OF⊥AB于点F，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BD平分∠ABC交AC于点O，
∴OF＝OC，
∴圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径OC，
∴点F在⊙O上，
∵OF是⊙O的半径，且AB⊥OF，
∴AB与⊙O相切，
故答案为：AB与⊙O相切．
（2）证明：∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠OCD＝90°﹣∠ACE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D，
∴∠BCE＝∠D，
∵∠EBC＝∠CBD，
∴△BCE∽△BDC．
（3）解：∵⊙O的半径为3，
∴DE＝2×3＝6，
∵CD＝2CE，
∴＝，
∵△BCE∽△BDC，
∴＝＝＝，
∴BC2＝BE•BD，BE＝BC，
∴BC2＝BC（BC+6），
解得BC＝4或BC＝0（不符合题意，舍去），
∴BC的长为4．
24．（10分）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表：
（1）填空：BN＝ 15 dm，sinB＝ ．
（2）试求：正方形CDEF和正方形DEFG的边长比？
（3）若在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长．
【分析】（1）过点N作NH⊥BC于点H，易证四边形MNHC是矩形，得出CH＝MN＝2dm，CM＝NH＝9dm，∠NHB＝∠NHC＝90°，推出BH＝12dm，再由勾股定理求出BN＝15dm，然后由锐角三角函数的定义即可得出结果；
（2）设DE与NH相交于点A，正方形CDEF的边长为a dm，则DE＝CD＝CF＝a dm，四边形MNAD、四边形CHAD都为矩形，求出EA＝（a﹣2）dm，NA＝（9﹣a）dm，再证∠NEA＝∠B，然后由锐角三角函数的定义列出方程即可得出a，设正方形MNPQ边长为b dm，则DE＝EF＝b dm，证∠B＝∠CED，由锐角三角函数的定义列出方程求出b，即可得出答案；
（3）在△BEF余料上再截取一个正方形FKJL，由（2）得FK与BF重合，点J在BE上时，截取的正方形最大，设正方形EKJL的边长为n dm，然后由锐角三角函数的定义列出方程即可得出n．
【解答】解：（1）如图1，过点N作NH⊥BC于点H，
∵∠M＝∠C＝90°，NH⊥BC，
∴四边形MNHC是矩形，
∴CH＝MN＝2dm，CM＝NH＝9dm，∠NHB＝∠NHC＝90°，
∴BH＝BC﹣CH＝14﹣2＝12（dm），
在Rt△BHN中，由勾股定理得：BN＝＝＝15（dm），
∴sinB＝＝＝，csB＝＝＝，
故答案为：15，；
（2）如图2，设DE与NH相交于点A，正方形CDEF的边长为a dm，
则DE＝CD＝CF＝a dm，四边形MNAD、四边形CHAD都为矩形，
∴MN＝AD＝2dm，AH＝CD＝a dm，
∴EA＝DE﹣AD＝（a﹣2）dm，NA＝NH﹣AH＝（9﹣a）dm，
在Rt△BHN中，tanB＝＝＝，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴∠NEA＝∠B，
∴tan∠NEA＝＝tanB＝，
∴＝，
解得：a＝6；
如图3，设正方形MNPQ边长为b dm，
则DE＝EF＝b dm，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠BFE＝∠EFG＝90°，DE∥BN，
∴∠B＝∠CED，
在Rt△BFE中，sinB＝＝＝，
∴BE＝b，
在Rt△DCE中，cs∠CED＝＝＝csB＝，
∴CE＝b，
∵CE+BE＝BC＝14，
∴b+b＝14，
解得：b＝，
∴正方形CDEF和正方形DEFG的边长比为＝；
（3）如图4，在△BEF余料上再截取一个正方形FKJL，
由（2）得FK与BF重合，点J在BE上时，截取的正方形最大，
设正方形EKJL的边长为n dm，
则FK＝JK＝n dm，
∵BF＝BC﹣CF＝14﹣6＝8（dm），
∴BK＝BF﹣FK＝（8﹣n）dm，
在Rt△BJK中，tanB＝＝，
∴＝，
解得：n＝，
∴在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形的边长为dm．
25．（12分）综合与实践：
如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点D在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；
（3）小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB＝∠ABC，请帮助小明求出∠DCB＝∠ABC时点D的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△BCD面积＝DH×OB，即可求解；
（3）当点D在x轴上方时，则点D′和点C关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点D在x轴下方时，由CH＝BH，求出点H（，0），即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，
由点B、C（0，2）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+2），
则△BCD面积＝DH×OB＝2（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故△BCD面积有最大值，当x＝2时，△BCD面积的最大值为4；
（3）当点D在x轴上方时，
则点D′和点C关于抛物线对称轴对称，
则点D′（3，2）；
当点D在x轴下方时，
设CD交x轴于点H，设点H（x，0），
∵∠DCB＝∠ABC，
则CH＝BH，
则（4﹣x）2＝x2+4，
解得：x＝，
即点H（，0），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y＝﹣x+2②，
联立①②得：﹣x2+x+2＝﹣x+2，
解得：x＝0（舍去）或，
即点D的坐标为：（，﹣）；
综上，点D的坐标为：（3，2）或（，﹣）．
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图


说明
图中的正方形CDEF和正方形DEFG四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
MN＝2dm，CM＝9dm，BC＝14dm，∠C＝∠M＝90°
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图


说明
图中的正方形CDEF和正方形DEFG四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
MN＝2dm，CM＝9dm，BC＝14dm，∠C＝∠M＝90°