2023-2024学年广东省梅州市梅江区中考数学一模试卷+

这是一份2023-2024学年广东省梅州市梅江区中考数学一模试卷+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算中，计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由21000个LED灯珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城．将数据21000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.学校举办跳绳比赛，九年班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是( )
A. 181B. 175C. 176D.
5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？( )
A. 8B. 10C. 7D. 9
6.已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
7.如图，在中，，，，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是( )
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根
C. 没有实数根D. 有一个实数根
9.如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点若的面积是24，，则PE的长是( )
A. B. 2C. D. 3
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接则下列结论：①；②；③；④若BE：：3，则；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的其中正确的结论是( )
A. ①②④⑤
B. ①②③⑤
C. ①②③④
D. ①③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：______.
12.在函数中，自变量x的取值范围是______.
13.一元二次方程配方为，则k的值是______.
14.若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是__________.
15.如图，在中，，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接若，则__________.
16.如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在x轴上且，，，…按此规律，过点，，，…作x轴的垂线分别与直线交于点，，，…记，，，…的面积分别为，，，…则______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
18.本小题8分
先化简，再求值：，其中
19.本小题8分
如图，在▱ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且，求证：
20.本小题8分
为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩单位：分：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
分析数据：
解决问题：
直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
21.本小题8分
今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度
如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，，垂足为点B，，，，求AB的高度．精确到
参考数据：，，，
22.本小题8分
如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与交于点G，若
求证：①∽；
②CD是的切线．
求的值．
23.本小题8分
2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时从甲组出发时开始计时图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程千米、千米与时间小时之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
由于汽车发生故障，甲组在途中停留了______小时；
甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
24.本小题8分
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明
尝试证明：
请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
如图3，在中，，D是边BC上一点．连接AD，将沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若，，求DE的长；
②若，，求DE的长用含m，的式子表示
25.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
求此抛物线的解析式；
若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转得到，点A的对应点是点
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：，故A不正确；
B.，故B不正确；
C.，故C正确；
D.，故D不符合题意；
故选：
利用完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：；
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：将这组数据从小到大排列为：169，172，175，176，180，182，
中位数，
故选：
将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得或舍，
共有10支队伍参加比赛．
故选：
设共有x支队伍参加比赛，根据“循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得
为正数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且
故选：
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
连接CD，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
【解答】
解：连接CD，如图所示：

，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
的长为：，
故选：
8.【答案】B
【解析】解：关于x的方程根的判别式，
有两个不相等实数根，
故选：
由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的实数根；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9.【答案】A
【解析】解：如图，过点E作于G，
，AD平分，
，，
，，
点E是AB的中点，
是AD的中点，
，
是CD的中点，
，
，
，
≌，
，
，
的面积是24，
，
，
，
，
由勾股定理得：
故选：
如图，过点E作于G，证明≌，得，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①四边形ABCD 是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
在和中，
，
≌，
，
，
①的结论正确；
②，，
点A，B，P，O四点共圆，
，
②的结论正确；
③过点O作，交AP于点H，如图，
，，
，
，
，
，
，，，
在和中，
，
≌，
③的结论正确；
④：：3，
设，则，
，
过点E作于点G，如图，
，
，
，
在中，
，
④的结论不正确；
⑤四边形ABCD 是正方形，
，，
≌≌≌
由①知：≌，
，
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的
⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得
故答案为：
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13.【答案】1
【解析】解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：
根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
本题考查解一元二次方程-配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
14.【答案】2
【解析】解：，
，
，
若的整数部分为a，小数部分为b，
，，
，
故答案为：
根据的范围，求出的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，解题的关键是求出a、b的值．
15.【答案】
【解析】【分析】
如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握常见图形的尺规作图方法是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接BE，
，
，，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
，
在中，，
，
为直角三角形ABC斜边上的中线，
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
把代入直线中可得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，再从数字上找规律进行计算即可解答．
本题考查了规律型：点的坐标，含30度角的直角三角形，根据已知分别求出，，，的值，然后从数字上找规律是解题的关键．
17.【答案】解：

【解析】先计算算术平方根和平方，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
18.【答案】解：
，
当时，
原式
【解析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，

【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
20.【答案】解：分的有4人，97分的有3人，
，，
分的人数最多，
众数为4，即，
，
综上所述，，，，；
成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：；
估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：人
【解析】根据20名学生的成绩的具体数据求出a、b，根据众数的定义求出c，根据中位数的定义求出d；
根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：设，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得：
的高度约为984米．
【解析】设，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出CB，BD的长度，利用列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择恰当的关系式是解题的关键．
22.【答案】证明：①，
，
，
∽；
②，
，
，
，
是半圆的半径，
是的切线；
解：过点F作交OC于H，
设圆的半径为2a，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，即，
解得：，
，

【解析】①根据平行线的性质得到，根据对顶角相等得到，根据相似三角形的判定定理证明∽；
②根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点F作交OC于H，设圆的半径为2a，根据勾股定理用a表示出AE，进而求出AD，根据相似三角形的性质求出EF，再根据相似三角形的性质求出DG，进而求出FG，计算即可．
本题考查的是切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
23.【答案】解：；
设直线EF的解析式为，
点、点均在直线EF上，
，
解得直线EF的解析式是；
点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
点C的纵坐标为；
点C的坐标是；
设直线BD的解析式为；
点、点在直线BD上，
；
解得；的解析式是；
点在直线BD上且点B的横坐标为，代入得，
甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有千米千米，
在点D有千米千米，
按图象所表示的走法符合约定．
【解析】由于线段AB与x轴平行，故自3时到时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为时；
观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点，，利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令，即可求出点C的纵坐标，又因点，这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，，求出此时的，在点D有，也求出此时的，分别同25比较即可．
本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
24.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
解：①将沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
，，
由可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
；
②将沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
，，，
，
由可知，，
，
，
又，
，
，

【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
①由折叠的性质可得出，，由可知，，由勾股定理求出，则可求出答案；
②由折叠的性质得出，则，方法同①可求出，则可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：直线分别与x，y轴交于点A，B，
当时，；当时，，
，，
抛物线恰好经过这两点．
，
解得，
；
①将绕着点C逆时针旋转得到，
，，，轴，
，
当时，，
点E在抛物线上；
②过点A作，交y轴于P，连接PE，AE，
，，
，，
，
，
，
，
当点A、P、E三点共线时，最小，
设直线AE的解析式为，
，
，
，
当时，，

【解析】根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；
①由旋转的性质可得，当时，，可知点E在抛物线上；
②根据，得，则，当点A、P、E三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线AE的解析式，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为AP的长是解题的关键．成绩分
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数人
2
2
2
a
1
3
b
2
1
平均数
众数
中位数
93
c
d