2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市江都区八校联谊七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3÷a＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a5D．a2⋅a3＝a6
2．下列生活中的现象不属于平移运动的是（ ）
A．升降式电梯的运动
B．教室开门时门的运动
C．笔直的传送带上，产品的移动
D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过
3．如图，不能推出a∥b的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠4
C．∠2＝∠4D．∠2+∠3＝180°
4．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．七年级2班学生杨冲家和李锐家到新华书店的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．2kmB．9kmC．5kmD．4km
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
7．已知21的末尾数字为2，22的末尾数字为4，23的末尾数字为8，…，则22024的末尾数字为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9．小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为 ．
10．计算：＝ ．
11．已知等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的第三边长为 cm．
12．将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND＝ °．
13．已知a+2b﹣3＝0，则2a×4b＝ ．
14．已知a＝3222，b＝8111，则a b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的度数为 ．
16．如果（x+2）x﹣5＝1，则x的值为 ．
17．如图，∠ACB＝90°，P为直线AB上一动点，连接PC，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则线段PC的最小值为 ．
18．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（3x3y3）2+（﹣2x2y2）3；
（2）．
20．（1）已知3m＝a，3n＝b，求32m+3n的值（用a、b表示）；
（2）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．如果2÷8x•16x＝25，求x的值．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）将△ABC平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，请补全△A'B'C'；
（3）连接AA'、BB'，则这两条线段之间的关系是 ；
（4）点P为格点，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有 个．
22．推理填空：如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（ ），
∴∠2＝∠4（ ）．
∴CE∥BF（ ）．
∴∠C＝∠3（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
23．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数．
（2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数．
24．如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD＝360°．
25．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数．
26．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数．
27．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝lg216，对数式2＝lg525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝lga（M•N）
又∵m+n＝lgaM+lgaN，
∴lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
请解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 ；
（2）求证：lga＝lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg69+lg68﹣lg62＝ ．
28．已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．
（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；
（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝ ．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a3÷a＝a2
C．（﹣2a2）3＝﹣8a5D．a2⋅a3＝a6
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
解：A、a+2a＝3a，故A不符合题意；
B、a3÷a＝a2，故B符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故C不符合题意；
D、a2⋅a3＝a5，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
2．下列生活中的现象不属于平移运动的是（ ）
A．升降式电梯的运动
B．教室开门时门的运动
C．笔直的传送带上，产品的移动
D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过
【分析】根据平移的定义，即可解答．
解：A、升降式电梯的运动，属于平移运动，故A不符合题意；
B、教室开门时门的运动，属于旋转运动，故B符合题意；
C、笔直的传送带上，产品的移动，属于平移运动，故C不符合题意；
D、火车在笔直的铁轨上飞驰而过，属于平移运动，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．
3．如图，不能推出a∥b的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠4
C．∠2＝∠4D．∠2+∠3＝180°
【分析】根据平行线的判定方法，逐项判断即可．
解：
A、∠1和∠3是一对同位角，当∠1＝∠3时，可判断a∥b，故A正确；
B、当∠1＝∠4时，可推得∠1+∠3＝180°，但∠1和∠3不是一对同旁内角，所以不能判断a∥b，故B不正确；
C、∠2和∠4是一对内错角，当∠2＝∠4时，可判定a∥b，故C正确；
D、∠2和∠3是一对同旁内角，当∠2+∠3＝180°时，可判断a∥b，故D正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
4．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，
纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，
C选项符合高线的定义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
5．七年级2班学生杨冲家和李锐家到新华书店的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（ ）
A．2kmB．9kmC．5kmD．4km
【分析】根据题意得到那么杨冲，李锐两家的距离5﹣3≤S≤5+3，即可得出结果．
解：设杨冲，李锐两家的距离为S，
由题意，得：5﹣3≤S≤5+3，当杨冲家，李锐家和新华书店在同一条直线上时取等号；
∴2≤S≤8；
∴S不可能是9km；
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系的实际应用，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
7．已知21的末尾数字为2，22的末尾数字为4，23的末尾数字为8，…，则22024的末尾数字为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据题意，得到2n的末尾数字以2，4，8，6四个一组进行循环，进一步求出22024的末尾数字即可．
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64⋯，
∴2n的末尾数字以2，4，8，6四个一组进行循环，
∵2024÷4＝506，
∴22024的末尾数字为6；
故选：C．
【点评】本题考查数字类规律探究，发现规律是关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据外角定理可推出∠1、∠2、∠A三个角之间的关系，进而可求出结果．
解：如图，假设m与AC和AB的交点分别是E、F，ED与AB的交点是G．
由外角定理可得：
∠1＝∠AGE+∠A，∠AGE＝∠D+∠2；
∴∠1＝∠2+∠D+∠A＝∠2+2∠A，
∴∠1﹣∠2＝2∠A＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形中的折叠与外角定理，掌握折叠的性质和外角定理是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9．小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.000175秒，将这个数字用科学记数法表示为 1.75×10﹣4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000175＝1.75×10﹣4．
故答案为：1.75×10﹣4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
10．计算：＝ ﹣1 ．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可求出答案．
解：
＝
＝（﹣1）2023
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法法则和积的乘方的逆运算．解题过程中需要注意的是一个负数数的奇次幂依然等于这个负数是易错点．
11．已知等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的第三边长为 5 cm．
【分析】先根据三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可．
解：如果等腰三角形三边长分别是2cm、2cm、5cm，2+2＜5，不能构成三角形；
如果等腰三角形三边长分别是2cm、5cm、5cm，2+5＞5，能构成三角形；那么这时三角形的第三边长为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的三边关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答．
12．将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND＝ 105 °．
【分析】由直角三角形的性质得出∠F＝30°，∠B＝45°，由平行线的性质得出∠NDB＝∠F＝30°，再由三角形内角和定理即可求出∠BND的度数．
解：已知∠E＝60°，∠C＝45°，∠F＝30°，∠B＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠NDB＝∠F＝30°，
∴∠BND＝180°﹣∠B﹣∠NDB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
13．已知a+2b﹣3＝0，则2a×4b＝ 8 ．
【分析】根据已知得到a+2b＝3，根据2a×4b＝2a+2b，整体代入求解即可．
解：∵a+2b﹣3＝0，
∴a+2b＝3，
∴2a×4b＝2a×22b＝2a+2b＝23＝8；
故答案为：8．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．已知a＝3222，b＝8111，则a ＞ b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】将幂化为同指数，比较底数的大小即可．
解：∵a＝3222＝（32）111＝9111，b＝8111，
又9＞8，
∴a＞b．
故答案为：＞．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，有理数的大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的定义，有理数的大小比较的方法是关键．
15．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的度数为 70° ．
【分析】先利用内角和求出∠BEC，再求出∠AEB，再求∠1即可．
解：由三角形内角和定理得：
∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣25°﹣50°
＝105°，
∴∠AEB＝180°﹣∠CEB＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠AEB﹣∠A
＝180°﹣75°﹣35°
＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握内角和定理进行求解角的度数是解题关键．
16．如果（x+2）x﹣5＝1，则x的值为 ﹣1，﹣3，5 ．
【分析】根据分底数为±1，底数不等于0，三种情况进行讨论求解即可．
解：当x+2＝1时：x＝﹣1，此时（﹣1+2）1﹣5＝1，符合题意；
当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，此时（﹣1+2）﹣3﹣5＝（﹣1）﹣8＝1，符合题意；
当x+2≠0时，（x+2）x﹣5＝（x+2）0＝1，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5；
故答案为：﹣1，﹣3，5．
【点评】本题考查零指数幂、有理数的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
17．如图，∠ACB＝90°，P为直线AB上一动点，连接PC，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则线段PC的最小值为 ．
【分析】先根据勾股定理逆定理，得到△ACB为直角三角形，根据垂线段最短，得到CP⊥AB时，PC最小，利用等积法求解即可．
解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AB2＝AC2+BC2＝25，
∴△ACB为直角三角形，
∵P为直线AB上一动点，
∴当CP⊥AB时，PC最小，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查垂线段最短，勾股定理逆定理．
18．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数为 ．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴，，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴，
∴，
∵∠A＝α，
∴；
同理可得，，⋯，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（3x3y3）2+（﹣2x2y2）3；
（2）．
【分析】（1）先进行积的乘方，幂的乘方的运算，再合并同类项即可；
（2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可．
解：（1）原式＝9x6y6﹣8x6y6＝x6y6；
（2）原式＝．
【点评】本题考考查幂的运算，熟练掌握运算法则是关键．
20．（1）已知3m＝a，3n＝b，求32m+3n的值（用a、b表示）；
（2）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．如果2÷8x•16x＝25，求x的值．
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，进行求解即可；
（2）逆用幂的乘方，同底数幂的乘除法则，列出方程进行求解即可．
解：（1）∵3m＝a，3n＝b，
∴32m+3n＝（3m）2⋅（3n）3＝a2b3；
（2）∵2÷8x⋅16x＝2÷（23）x⋅（24）x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
∴x＝4．
【点评】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）△ABC的面积为 8 ；
（2）将△ABC平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，请补全△A'B'C'；
（3）连接AA'、BB'，则这两条线段之间的关系是 AA'∥BB'且AA'＝BB' ；
（4）点P为格点，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有 4 个．
【分析】（1）根据网格的特点结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据题意找到平移后点A，C的对应点A'，C'，顺次连接即可求解；
（3）根据平移的性质即可求解；
（4）根据网格的特点，找到过A点与BC平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解．
解：（1）△ABC的面积为：，
故答案为：8；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（3）根据平移的特点，可知AA'∥BB'，
故答案为：AA'∥BB'且AA'＝BB'；
（4）如图，符合题意的点P有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形面积公式、平移作图、平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
22．推理填空：如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠4（ 等量代换 ）．
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠C＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】结合对顶角相等可求得：∠2＝∠4，即可判定CE∥BF，可有∠C＝∠3，从而求得∠3＝∠B，即可判定AB∥CD．
解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换）．
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
23．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数．
（2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数．
【分析】（1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可；
（2）根据多边形的内角和为180°的整数倍，用2024°除以180°的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可．
解：（1）设新的多边形的边数为n，由题意，得：180°（n﹣2）＝2160°，
∴n＝14，
∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，
故：原多边形的边数为13或14或15；
（2）设多边形的边数为n，
∵2024÷180≈11.2，
∴n﹣2＝12，
∴n＝14，
∴少算的内角的度数为180°×12﹣2040°＝136°，
故多边形的边数为14，少算的内角度数为136°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和与切割问题是解题的关键．
24．如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD＝360°．
【分析】过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出AB∥CD∥PQ，故∠BAP+∠APQ＝180°，∠CPQ+∠PCD＝180°，据此可得出结论．
解：过点P作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠BAP+∠APQ＝180°，∠CPQ+∠PCD＝180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD＝360°，即∠PAB+∠APC+∠PCD＝360°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．
25．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）由题意易证得AB∥EF，则有∠ADE＝∠DEF，从而得∠DEF＝∠EFC，即可判定DE∥BC；
（2）结合已知条件与（1）的结论，可得DE∥BC，由三角形的内角和定理可求得∠B的度数，从而可得∠ADE的度数，再结合CD⊥AB，可得∠CDE＝180°﹣∠CDB﹣∠ADE，代入求解即可．
解：（1）∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴∠BDC＝∠FGC＝90°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴∠B+∠BCD＝90°，
又∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠EFC，
∴DE∥BC．
（2）∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A＝60°，∠ACB＝72°，
∴∠B＝48°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝42°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝42°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
26．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数．
【分析】求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据三角形内角和定理求出∠BCD，代入∠FCD＝∠BCE﹣∠BCD，求出∠FCD，根据三角形的内角和定理求出∠CDF即可．
解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×68°＝34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝72°，
∴∠BCD＝90°﹣72°＝18°，
∴∠FCD＝∠BCE﹣∠BCD＝16°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠FCD＝74°，
即∠BCE＝34°，∠CDF＝74°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数，题目比较典型，难度适中．
27．阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝lg216，对数式2＝lg525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝lga（M•N）
又∵m+n＝lgaM+lgaN，
∴lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
请解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 4＝lg381 ；
（2）求证：lga＝lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg69+lg68﹣lg62＝ 2 ．
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用对数运算法则求解．
解：（1）根据指数与对数关系得：4＝lg381．
故答案为：4＝lg381．
（2）设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝am÷an＝am﹣n．
∴lga＝lgaam﹣n＝m﹣n＝lgaM﹣lgaN．
∴lga＝lgaM﹣lgaN．
（3）原式＝lg6（9×8÷2）
＝lg636
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键．
28．已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．
（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；
（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝ 135°+α ．
【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明BF与GD的位置关系；
（2）和（3）均利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可．
【解答】（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°．
②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，
∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）∠H＝45°﹣α．
证明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，
∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，
∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．
∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．
又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，
整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，
∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．将之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，
得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．
（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，
∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，
∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．将之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），
得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．
故答案为：135°+α．
【点评】本题考查三角形内角和定理，知识点比较简单，但解题过程非常复杂．解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可．