辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项
1.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效.
2.本试卷共三大题，23小题，满分120分.考试时间120分钟.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3. 如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）

A. 4cm，5cm，8cmB. 3cm，4cm，5cmC. 3cm，4cm，8cmD. 3cm，5cm，8cm
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理可判断A，B，由三角形的三边关系可判断C，D不能组成三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵，故A不符合题意；
∵，故B符合题意；
∵，不能组成三角形，故C不符合题意；
∵，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式性质及同类二次根式可进行求解．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D、与不同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
5. 在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
6. 若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案
【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；
B、根据面积得到；
C、根据面积得到，整理得；
D、根据面积得到，整理得.
故选：A.
【点睛】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.
7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根，得到，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
8. 如图所示是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案．
【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25，
∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，
∴两个小正方形的面积和为25，
∴阴影部分的面积为：25+25=50．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
9. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A. （﹣1，2）B. （，2）
C. （3﹣，2）D. （﹣2，2）
【答案】A
【解析】
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）．
【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M，
∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），
∴AH=2，HO=1，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴MG=-1，
∴G（-1，2），
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
10. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )

A. 2－B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，

由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：2________5．
【答案】
【解析】
【分析】先分别利用根式表示两个数，根据表示的结果再比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的大小比较．
12. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．
【详解】解：如图，
∵，，
设点表示的数是，
∴，
∴，
∴或，
∵点在原点的左侧，
∴点表示的数为，
故答案为；
【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键．
13. 已知等腰三角形的腰长是13cm，底边长10cm，则该等腰三角形的面积是_______cm2．
【答案】60
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一定理和勾股定理即可求得底边的高，从而求得三角形面积．
【详解】解：如图所示：AB=AC=13cm，BC=10cm
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°
∴，
∴，
∴△ABC的面积=，
故答案为：60．
【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题关键．
14. 一元二次方程的两根、，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，得到+=2，=-1，把+和的值代入，求出代数式的值．
【详解】解：∵、是一元二次方程()的两根，
∴+=2，=-1，
∴2-1=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．
15. 如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，将立体图形问题转化成平面问题，作出长方体展开图是求解的关键；将长方体展开，分情况讨论，第一种是蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点，连接展开图的点求出长度；第二种情况是，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点，连接展开图点，求出长度，再对比最小距离即可求解．
【详解】解：①如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时：
最短路径为：；
②如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时：
最短路径为：；
∵
∴最短路径为10，
故答案是：10．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16. 计算与解方程
（1）计算：；
（2）解方程：.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则及选择适当的方法解一元二次方程．
（1）根据根式乘法法则及合并同类二次根式的法则直接计算即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案．
【小问1详解】
解：
=
=
【小问2详解】
解：
∴，．
17. 如图，在中，对角线，交于点，过点直线分别交，的延长线于点，，与相等吗？为什么？
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而证明，即可证明．
【详解】解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，对角线，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 求代数式a+的值，其中a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2022．
【答案】（1）小亮；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由知，据此可得，从而做出判断；
（2）根据二次根式的性质可得答案；
（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．
【详解】解：（1）∵，∴，
则，
所以小亮的解法是错误的．
故答案为小亮；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质．
故答案为．
（3）
∵
∴
∴
∴原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
19. 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为5个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理．
设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，，则，，
这堆油桶的高度为
．
因此，遮雨棚的高度起码要有．
20. 小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：长方形的周长为；
【小问2详解】
解：长方形的面积：，
大理石的面积：，
壁布的面积：，
整个电视墙的总费用：（元）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
21. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
（1）当秒时，求的长度（结果保留根号）；
（2）当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
（3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？
【答案】（1）
（2）
（3）当t为5或11时，能使
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质：
（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）当点P在线段的垂直平分线上时，则，再根据勾股定理列方程即可求解；
（3）分当点P在C点的左侧时， 当点P在C点的右侧，两种情况利用等面积法求出，再利用勾股定理建立方程求解即可。
【小问1详解】
解：由题意得，当秒时，,
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：当点P在线段的垂直平分线上时，则，
，
∴，，
∠ACB＝90°，
∴由勾股定理得，
∴，
解得；
∴当点P在线段的垂直平分线上时；
【小问3详解】
解：当点P在C点的左侧时，．
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去）；
当点P在C点的右侧，．
同理可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：舍去），；
∴当t为5或11时，能使．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1），等边三角形；（2），理由见解析；（3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）根据折叠的特点得到，进而得到，根据折叠的性质和平行线的性质得到，，进而证明出是等边三角形；
（2）利用正方形和折叠的特点，证明便可得出答案；
（3）当点是边的三等分点时，一共有两种情况，运用三角形全等和勾股定理便可计算出结果．
【详解】（1）由题意知，
∵，，，
∴，
∴，
∴
由折叠可得，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴是等边三角形；
（2）解：
理由：由折叠性质得，．
四边形是正方形，
．
．
又，
∴．
；
（3）解：的长为或．
情况一：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，，
，解得；
情况二：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
故有：，解得；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，，探究与之间的数量关系．
有两名同学给出如下的证明思路：
如图2，小鹏同学思考的时候，因为线段比较分散，所以通过平移将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图2，过点作，且使，连接；
如图3，小亮同学思考的时候，因为题目中有60°角，所以通过构造等边三角形将线段转移在同一个三角形中，然后观察图形的特点，将问题解决．如图3，过点A作，且使，连接；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的几何图形去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：
如图4，与相交于点，，，，，，求线段的长；
【学以致用】
（3）如图5，中，，、分别在、上，、交于点，，，若，，求的长．
【答案】（1），证明见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）若选择小鹏同学的解题思路，过点作，且使，连接，，则四边形是平行四边形，进而可得到，，最后根据两点之间线段最短，即得答案；若选择小亮同学的解题思路，过点A作，且使，连接，，则四边形是平行四边形，进而可得到，，最后根据两点之间线段最短，即得答案；
（2）过点A作，过点D作，两直线交于点F，连接，则四边形是平行四边形，得到，，进一步证明，求出，得到，，因此可得的长，即得的长；
（3）过点B作，过点C作，两直线交于点N，连接，过点N作的垂线，垂足为点M，则四边形是平行四边形，可求得，，进一步证明是等腰直角三角形，求得，利用勾股定理可求得的长，最后证明是等边三角形，即得答案．
【详解】（1）；
若选择小鹏同学的解题思路，证明过程如下：
如图2，过点作，且使，连接，，则四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
若选择小亮同学的解题思路，证明过程如下：
如图3，过点A作，且使，连接，，则四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
（2）过点A作，过点D作，两直线交于点F，连接，则四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点B作，过点C作，两直线交于点N，连接，过点N作的垂线，垂足为点M，则四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形是解答本题的关键．你会用折纸的方式做出不同的角度吗？
问题背景
素材一
长方形是我们熟悉的四边形，两组对边相等，四个角都是90度，因为这个特性我们可以折出很多漂亮的图形；
素材二
正方形也是我们熟悉的四边形，四条边相等，四个角都是90度，因为正方形比长方形还特殊，所以就能折出更漂亮的图形；
操作一
如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，，延长与交于点；
操作二
小明将长方形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照操作一中的方式操作，并延长与交于点，连接．
解决问题
任务一
在操作一中，的度数为______，的形状是______；
任务二
在操作二中，判断与的数量关系，并说明理由；
任务三
在操作二的探究中，若正方形的边长为，当点是边的三等分点时，求的长．