2022-2023学年广东省深圳市南山区丽湖中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山区丽湖中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. b2⋅b3=b6B. (a2)3=a6C. −a2÷a=aD. (a3)2⋅a=a6
3.下列算式可用平方差公式的是( )
A. (n+2m)(m−2n)B. (−m−n)(m+n)
C. (−m−n)(m−n)D. (m−n)(−m+n)
4.在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃)，王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如表：
王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是( )
A. 没有加热时，油的温度是10℃B. 加热50s，油的温度是110℃
C. 估计这种食用油的沸点温度约是230℃D. 加热110s，油的温度是220℃
5.如图，下列条件中，能判断AB/​/CD的是( )
A. ∠BAD=∠BCD
B. ∠BAC=∠ACD
C. ∠1=∠2
D. ∠3=∠4
6.下列说法中正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7.如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B=35°，∠BNM=28°，则∠AMB′的度数为( )
A. 30°
B. 37°
C. 54°
D. 63°
8.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
9.如图，AB/​/CD/​/EF，则下列各式中正确的是( )
A. ∠1=180°−∠3
B. ∠1=∠3−∠2
C. ∠2+∠3=180°−∠1
D. ∠2+∠3=180°+∠1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.计算20220+(−12)−1= ______．
11.若x2+mx+1是完全平方式，则m=______．
12.如图，直线a/​/b，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=65°，则∠2= ．
13.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度xkm的几组对应值如表：
若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.3km时，登山队所在位置的气温约为______℃.
14.阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24−1)(24+1)(28+1)=(28−1)(28+1)=216−1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)=______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算：
(1)(π−3)0+(12)−2+(−1)2022；
(2)x⋅x2⋅x3+(x2)3−2(x3)2；
(3)(a+3b−2c)(a+3b+2c)；
(4)20222−2021×2023．
16.(本小题6分)
化简求值：
[(x+2y)2−(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)−4y2]÷2x，其中x=−2，y=12．
17.(本小题6分)
(1)如图，利用尺规作图：过点B作BM//AD.(要求：不写作法保留作图痕迹)；
(2)若直线DE/​/AB，设DE与M交于点C.试说明：∠A=∠BCD．
18.(本小题7分)
把下列每步推理的依据填在每步后面的括号里．
(1)如图①，已知DF/​/AB，DE/​/AC．
因为DF/​/AB，
所以∠FDE=∠BED(______)，
因为DE/​/AC，
所以∠BED=∠A(______)，
所以∠FDE=∠A(______)；
(2)如图②，已知∠A=∠F，∠C=∠D．
因为∠A=∠F，
所以AC//DF(______)，
所以∠D=∠1(______)，
又因为∠C=∠D，
所以∠1=∠C(______)，
所以BD//CE(______).
19.(本小题7分)
巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整).据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是________；
(2)朱老师的速度为________米/秒，小明的速度为________米/秒；
(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
20.(本小题8分)
如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．
(1)通过观察比较图(b)与图(a)中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______.(用含a，b的等式表示)
(2)(应用)请应用这个公式完成下列各题：
①若a+2b=3，2b−a=2，则a2−4b2的值为______；
②若4m2=12+n2，2m+n=4，则2m−n的值为______．
(3)(拓展)计算：1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12．
21.(本小题9分)
【阅读探究】如图1，已知AB/​/CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN//AB，
因为AB/​/CD，
所以MN/​/CD．
所以∠EMN=∠AEM=45°，∠FMN=∠CFM=25°．
所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM、∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：______．
【方法运用】如图2，已知AB/​/CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD两平行线之间，求∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作∠AEM和∠CFM的平分线EP、FP，交于点P(交点P在两平行线AB、CD之间)若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：B．
两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可．
本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.b2⋅b3=b5，故本选项不合题意；
B.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
C.−a2÷a=−a，故本选项不合题意；
D.(a3)2⋅a=a7，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：(−m−n)(m−n)=(−n)2−m2，
故选：C．
由平方差公式的结构即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解平方差公式，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：从表格可知：t=0时，y=10，
即没有加热时，油的温度为10°C，
所以A不符合题意．
观察表格可发现：每增加10秒，温度上升20℃，
所以当t=50时，油温度y=10+20×5=110℃，
所以B不符合题意．
当t=110时，温度y=10+20×11=230≠220，
所以C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
分析表格即可得出结论．
本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、根据∠BAD=∠BCD，不能判断AB/​/CD，不符合题意；
B、根据∠BAC=∠ACD，可得AB/​/CD，符合题意；
C、根据∠1=∠2，可得AD//BC，不符合题意；
D、根据∠3=∠4，可得AD//BC，不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定方法进行判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】D
【解析】解：A、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不符合题意；
D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合题意；
故选：D．
根据平行公理、垂线的性质、点到直线的距离的定义和垂线段最短判断求解即可．
此题考查了平行公理、垂线的性质、点到直线的距离的定义和垂线段最短等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：因为△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处，
所以△BMN≌△B′MN，
所以∠BMN=∠B′MN，
因为∠B=35°，∠BNM=28°，
所以∠BMN=180°−35°−28°=117°，∠AMN=35°+28°=63°，
所以∠AMB′=∠B′MN−∠AMN=117°−63°=54°，
故选：C．
由折叠的性质，得△BMN≌△B′MN，得∠BMN=∠B′MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≌△B′MN．
8.【答案】D
【解析】解：(1)如图①，
左图的阴影部分的面积为a2−b2，裁剪后拼接成右图的长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
因此有a2−b2=(a+b)(a−b)，
所以①符合题意；
(2)如图②，
左图的阴影部分的面积为a2−b2，裁剪后拼接成右图的底为(a+b)，高为(a−b)的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，
因此有a2−b2=(a+b)(a−b)，
所以②符合题意；
(3)如图③，
左图的阴影部分的面积为a2−b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，，高为(a−b)的梯形，因此面积为12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，
因此有a2−b2=(a+b)(a−b)，
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故选：D．
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前、后阴影部分的面积是得出正确答案的关键．
按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案．
9.【答案】D
【解析】解：因为AB/​/CD，
所以∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°−∠2，
因为EF//CD，
所以∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3−∠1，
所以180°−∠2=∠3−∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故选：D．
根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC=180°，∠BDC+∠1=∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
10.【答案】−12
【解析】解：原式=1−12−1
=−12．
故答案为：−12．
根据零指数幂及有理数的加减法则进行计算即可．
本题考查的是零指数幂及有理数的加减法，熟知以上知识是解题的关键．
11.【答案】±2
【解析】解：由于(x±1)2，
=x2±2x+1，
=x2+mx+1，
所以m=±2．
故答案为：±2．
本题考查完全平方公式，这里根据首末两项是x和1的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即：x=±2⋅x⋅1，由此得m=±2．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用，本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
12.【答案】25°
【解析】解：已知直线a/​/b，
所以∠3=∠1=65°(两直线平行，同位角相等)，
∠4=90°(已知)，
∠2+∠3+∠4=180°(已知直线)，
所以∠2=180°−65°−90°=25°．
故答案为：25°．
【分析】此题考查了学生对平行线性质的应用，关键是由平行线性质得出同位角相等求出∠3．
先由直线a/​/b，根据平行线的性质，得出∠3=∠1=65°，再由已知直角三角板得∠4=90°，然后由∠2+∠3+∠4=180°求出∠2．
13.【答案】−8.8
【解析】解：根据表格中的数据得：向上攀登0.5km，温度下降3℃，
则有−7−(2.3−2.0)÷0.5×3=−8.8℃，
故答案为：−8.8
根据表格中的数据得到向上攀登0.5km，温度下降3℃，进而求出所求．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】616−15
【解析】解：根据题意得：原式=15×(6−1)(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)
=15×(62−1)(62+1)(64+1)(68+1)
=15×(64−1)(64+1)(68+1)
=15×(68−1)(68+1)
=15×(616−1)
=616−15．
故答案为：616−15
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
15.【答案】解：(1)(π−3)0+(12)−2+(−1)2022
=1+4+1
=6；
(2)x⋅x2⋅x3+(x2)3−2(x3)2
=x6+x6−2x6
=0；
(3)(a+3b−2c)(a+3b+2c)
=[(a+3b)−2c][(a+3b)+2c]
=(a+3b)2−(2c)2
=a2+6ab+9b2−4c2；
(4)20222−2021×2023
=20222−(2022−1)×(2022+1)
=20222−(20222−12)
=20222−20222+12
=1．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
(3)利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
(4)利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：[(x+2y)2−(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)−4y2]÷2x，
=[(x2+4xy+4y2)−(x2−4xy+4y2)−(x2−4y2)−4y2]÷2x，
=(x2+4xy+4y2−x2+4xy−4y2−x2+4y2−4y2)÷2x，
=(−x2+8xy)÷2x，
=−12x+4y，
当x=−2，y=12时，
原式=−12×(−2)+4×12=1+2=3．
【解析】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式的法则去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把x、y的值代入即可．
17.【答案】解：(1)如图，BM即为所求；
(2)由(1)知∠A=∠CBN，
所以DE/​/AB，
所以∠BCD=∠CBN，
所以∠A=∠BCD．
【解析】(1)以点B为顶点，在BC左侧作∠CBN=∠A即可得；
(2)由∠CBN=∠A、∠BCD=∠CBN可得答案．
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图及平行线的判定与性质．
18.【答案】(1)两直线平行，内错角相等;
两直线平行，同位角相等;
等量代换;
(2)内错角相等，两直线平行 ;
两直线平行，内错角相等;
等量代换;
同位角相等，两直线平行．
【解析】解：(1)如图①，已知DF/​/AB，DE/​/AC．
因为DF/​/AB，
所以∠FDE=∠BED(两直线平行，内错角相等)，
因为DE/​/AC，
所以∠BED=∠A(两直线平行，同位角相等)，
所以∠FDE=∠A(等量代换)；
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；
(2)如图②，已知∠A=∠F，∠C=∠D．
因为∠A=∠F，
所以AC//DF(内错角相等，两直线平行)，
所以∠D=∠1(两直线平行，内错角相等)，
又因为∠C=∠D，
所以∠1=∠C(等量代换)，
所以BD//CE(同位角相等，两直线平行)．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
(1)根据平行线的性质、等量代换即可求解；
(2)根据平行线的判定、等量代换及平行线的判定即可求得结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质及平行线的判定定理．
19.【答案】解：(1)t；s；
(2)2；6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师，
根据题意得6t=200+2t，解得t=50(s)，
则50×6=300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【解析】【分析】
本题考查了变量之间的关系，函数的图象，属于中档题．
(1)利用变量的定义求解；
(2)根据图象，得到朱老师在110秒跑了220米，小明70秒跑了420米，然后根据速度公式分别计算他们的速度；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到6t=200+2t，解方程求出t，然后计算6t即可．
【解答】
解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度420−200110=2(米/秒)，小明的速度为42070=6 (米/秒)；
故答案为(1)t，s；(2)2，6；
(3)见答案．
20.【答案】解：(1)(a+b)(a−b)=a2−b2 ；
(2)① −6； ② 3；
(3)1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12
=(100+99)×(100−99)+(98+97)×(98−97)+⋯+(2+1)×(2−1)
=100+99+98+97+⋯+4+3+2+1
=5050．
【解析】解：(1)图(a)的阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图(b)是成为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以(a+b)(a−b)=a2−b2，
故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；
(2)①因为a+2b=3，2b−a=2，
所以a2−4b2=−(4b2−a2)
=−(2b+a)(2b−a)
=−3×2
=−6，
故答案为：−6；
②因为4m2=12+n2，即4m2−n2=12，
所以(2m+n)(2m−n)=12，
又因为2m+n=4，
所以2m−n=12÷4=3，
故答案为：3；
(3)见答案。
(1)用代数式分别表示图(a)，图(b)中阴影部分的面积即可；
(2)利用平方差公式将原式化为−(2b+a)(2b−a)即可；
(3)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
21.【答案】解：【阅读探究】∠EMF=∠AEM+∠CFM；
【方法运用】
过点M作MN//AB，如图2所示：
因为AB/​/CD，
所以MN/​/CD，
所以∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，
因为∠BEM=180°−∠AEM，∠DFM=180°−∠CFM，
所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°−∠AEM+180°−∠CFM=360°−∠AEM−∠CFM，
所以∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系为：∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；
【应用拓展】
因为EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，
所以∠AEP=12∠AEM，∠CFP=12∠CFM，
过点P作PH/​/AB，如图3所示：
因为AB/​/CD，
所以PH/​/CD，
所以∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，
所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP=12∠AEM+12∠CFM=12(∠AEM+∠CFM)，
由【方法运用】得：∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM，
所以∠AEM+∠CFM=360°−∠EMF=360°−60°=300°，
所以12(∠AEM+∠CFM)=12×300°=150°，
所以∠EPF=150°．
【解析】解：【阅读探究】
过点M作MN//AB，如图1所示：
因为AB/​/CD，
所以MN/​/CD，
所以∠EMN=∠AEM=45°，∠FMN=∠CFM=25°，
所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=∠AEM+∠CFM，
故答案为：∠EMF=∠AEM+∠CFM；
【方法运用】见答案;
【应用拓展】见答案．
【阅读探究】过点M作MN//AB，由平行线的性质等∠EMN=∠AEM=45°，∠FMN=∠CFM=25°，则∠EMF=∠EMN+∠FMN=∠AEM+∠CFM；
【方法运用】过点M作MN//AB，由平行线的性质等∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，再由平角的定义即可求解；
【应用拓展】过点P作PH/​/AB，由平行线的性质得∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，则∠EPF=12(∠AEM+∠CFM)，再由【方法运用】得∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM，则∠AEM+∠CFM=360°−∠EMF=300°，进而求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
向上攀登的高度x/km
0.5
1.0
1.5
2.0
气温y/℃
2.0
−1.0
−4.0
−7.0