2022-2023学年广东省深圳市南山区育才集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山区育才集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 淋巴细胞是机体免疫应答功能的重要细胞成分，是对抗外界感染和监控体内细胞变异的一线“士兵”，最小的淋巴细胞直径仅则下列用科学记数法表示4μm正确的是( )
A. B. C. D. 4×106m
2. 计算(−a)2⋅a3的结果是( )
A. a5B. a6C. −a5D. −a6
3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，5cmB. 4cm，4cm，10cm
C. 3cm，1cm，3cmD. 3cm，4cm，9cm
4. 如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数为( )
A. 22°B. 34°C. 56°D. 72°
5. 下列说法正确的是( )
①若线段AB与CD没有交点，则AB/​/CD．
②平行于同一条直线的两条直线互相平行．
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
④过直线外一点作已知直线的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
A. ①②③④B. ①②④C. ②③D. ②④
6. 如图，AB/​/CD，BC/​/AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 若x2−kx+16是完全平方式，则k的值为( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是( )
A. 点GB. 点DC. 点ED. 点F
9. 课本中给出了用直尺和圆规作∠AOB
的平分线的方法．
该作图依据是( )
A. SASB. AASC. ASAD. SSS
10. 如图，在△ABC中，AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点Q的运动速度为( )
A. 4cm/sB. 3cm/sC. 4cm/s或3cm/sD. 4cm/s或6cm/s
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两段M、N的距离.如果OP=ON，OQ=OM，，则池塘两段M、N的距离为______ ．
12. 小佳计划用根长为20m的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长y(m)与宽x(m)之间的关系式为______ ．
13. 如果一个角的补角是122°，那么这个角的余角是______ ．
14. 已知10x=5，，那么102x−y= ______ ．
15. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，将三角形纸片ABC沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，已知设，当△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”时，x的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16. 先化简，再求值：[(2a+3b)(2a−3b)−(2a−b)2−3ab]÷(−2b)，其中a=2，b=−1．
四、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
；
．
18. (本小题8.0分)
完成下面的解题过程：
如图，AD//BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1=∠2，∠3=∠4.CD与BE平行吗？为什么？
解：CD//BE，理由如下：
∵AD/​/BC(已知)，
∴∠4=______(______)
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=______(______)
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE (______)
即∠BCE=______
∴∠3=______
∴CD//BE(______)
19. (本小题8.0分)
周末，小华坐公交车到深圳湾公园游玩，他从家出发0.8小时后到达南山书城.看了一会书后继续坐公交车到深圳湾公园，小华离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往深圳湾公园.如图是他们离家路程s(km)与小华离家时间t(h)的关系图，请根据图回答下列问题：
(1)图中自变量是______ ，因变量是______ ；
(2)小华家到深圳湾公园的路程为______ km，小华在南山书城停留的时间为______ h；
(3)小华出发______ 小时后爸爸驾车出发；
(4)小华爸爸驾车的平均速度为______ km/h；小华爸爸驾车经过______ 小时追上小华；
(5)小华从家到南山书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为______ ．
20. (本小题7.0分)
如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠1=10°，求∠C的度数．
21. (本小题8.0分)
在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：______ ．
(2)若图1中a，b满足a+b=9，ab=15，求a2+b2的值；
(3)如图2，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=14，两正方形的面积分别为S1、S2，且S1+S2=40，求图中阴影部分面积．
22. (本小题10.0分)
在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段CB上时，BD与CE有何数量关系，请说明理由．
(2)在(1)的条件下，当∠BAC=90°时，那么∠DCE= ______ 度.
(3)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请探究α与β之间的数量关系.并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：用科学记数法表示4μm正确的是
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】A
【解析】解：(−a)2⋅a3=a2⋅a3=a5．
故选：A．
利用同底数幂的乘法运算，即可求得答案；注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、2+3=5，故A不符合题意；
B、4+4<10，故B不符合题意；
C、1+3>3，故C符合题意；
D、3+4<9，故D不符合题意．
故选：C．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°−34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选：A．
先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：①在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则AB/​/CD，故①说法错误；
②平行于同一条直线的两条直线平行，故②说法正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法错误；
④过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故④说法正确；
故说法正确的有：②④，
故选：D．
根据平行线的判定与性质，平行公理及推论，垂线的性质，点到直线的距离解答即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，点到直线的距离，垂线的性质，平行公理及推论，解答的关键是对相应的知识的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，BC/​/AD，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD．
在△ABD和△CDB中，
∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，
∴△ABD≌△CDB(ASA)，
∴AD=BC，AB=CD．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在△ADE和△CBF中，
AD=CBDE=BFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SSS)，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠ABF=∠CDEBF=DE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CBDF=BEAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SSS)，
在△AEF和△CFE中，
AE=CFEF=FEAF=CE，
∴△AEF≌△CFE(SSS)，
即6对全等三角形，
故选：C．
根据全等三角形的判定定理即可依次证明三角形全等，即可求解．
本题考查的是全等三角形的判定，能正确根据定理进行推理是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵x2−kx+16=x2−kx+42是完全平方式，

∴k=±8．
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，
则AN与BM的交点为D，
故点D是△ABC的重心，
故选：B．
取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D为△ABC的重心．
本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．
9.【答案】D
【解析】解：如图：连接BM，CM，

由作法得OC=OD，CM=DM，
又∵OM=OM，
∴△COM≌△DOM(SSS)，
∴∠COM=∠DOM，
即射线OE就是∠AOB的平分线．
故选：D．
首先利用基本作图得到OC=OD，CM=DM，则根据SSS可证得△COM≌△DOM，再根据全等三角形的性质，即可证得结论．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=24cm，∠B=∠C，BC=16cm，点D为AB的中点，
，
设点P、Q的运动时间为t s，
∴BP=4t，
，
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD=CP时，16−4t=12，
解得：t=1，
则BP=CQ=4，
故点Q的运动速度为：4÷1=4；
②当BP=PC时，
∵BC=16cm，
∴BP=PC=8，
∴t=8÷4=2．
故点Q的运动速度为12÷2=6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故选：D．
设点P、Q的运动时间为t s，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
11.【答案】30cm
【解析】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为：30cm．
利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
12.【答案】y=−x+10
【解析】解：由题意得：2(x+y)=20，
∴x+y=10，
∴这个长方形的长y(cm)与宽x(cm)之间的关系式为：y=−x+10．
故答案为：y=−x+10．
根据长方形的周长得出函数关系式即可．
此题考查函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
13.【答案】32°
【解析】解：∵一个角的补角是122°，
∴这个角是58°，
∴这个角的余角是32°，
故答案为：32°．
先根据补角的概念求出这个角的度数，再根据余角的概念求解即可．
本题主要考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的概念．
14.【答案】53
【解析】解：∵10x=5，，
．
故答案为：53．
根据幂的乘方、同底数幂的除法解决此题．
本题主要考查幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：，
∴∠C=110°，
根据折叠的性质可得，∠A=∠EDF=35°，
当△BED为“准直角三角形”时，有或，
或，
∴x=27.5或x=20，
①当x=27.5，即时，
，
，
，
此时，，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x=20，即∠BED=20°时，
，
，
，
此时2∠CDF+∠CFD=90°，
∴△CDF是“准直角三角形”．
综上，当△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”时，x的值为20．
故答案为：20．
根据三角形内角和定理得∠C=110°，根据折叠的性质可得，∠A=∠EDF=35°，当△BED为“准直角三角形”时，x=27.5或x=20，分别代入求出∠CDF和∠CFD的度数，再根据“准直角三角形”的定义即可求解．
本题主要考查三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角性质，理解“准直角三角形”的定义，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
16.【答案】解：原式=[4a2−9b2−(4a2−4ab+b2)−3ab]÷(−2b)
=(4a2−9b2−4a2+4ab−b2−3ab)÷(−2b)
=(−10b2+ab)÷(−2b)
=5b−12a，
当a=2，b=−1时，
原式=5×(−1)−12×2
=−5−1
=−6．
【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2是解题关键．
17.【答案】解：
=x6+4x6
=5x6．


=2−1+2
=3．
【解析】(1)根据整式的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法．
(2)根据实数的混合运算法则，先计算绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减．
本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、实数的混合运算、绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握整式的混合运算法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、实数的混合运算法则、绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂是解决本题的关键．
18.【答案】∠BCE 两直线平行，同位角相等 ∠BCE 等量代换 等式性质 ∠ACD ∠ACD 内错角相等，两直线平行
【解析】解：CD//BE，理由如下：
∵AD/​/BC(已知)，
∴∠4=∠BCE(两直线平行，同位角相等)
∵∠3=∠4(已知)，
∴∠3=∠BCE(等量代换)
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE (等式性质)
即∠BCE=∠ACD
∴∠3=∠ACD
∴CD//BE(内错角相等，两直线平行)
故答案为：∠BCE；两直线平行，同位角相等；∠BCE；等量代换；等式性质；∠ACD；∠ACD；内错角相等，两直线平行．
依据AD//BC，可得∠4=∠BCE，依据∠3=∠4，可得∠3=∠BCE，进而得到∠BCE=∠ACD，∠3=∠ACD，进而得出CD//BE．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
19.【答案】t s 30 1.7 2.5 30 23 s=15t(0≤t≤0.8)
【解析】解：(1)由图可得，自变量是t，因变量是s，
故答案为：t，s；
(2)由图可得，小华家到深圳湾公园的路程为30km，小华在南山书城停留的时间为2.5−0.8=1.7(h)；
故答案为：30，1.7；
(3)由图可得，小华出发2.5小时后爸爸驾车出发；
故答案为：2.5；
(4)小华爸爸驾车的平均速度为303.5−2.5=30(km/h)；
小华从南山书城到深圳湾公园的平均速度为30−124−2.5=12(km/h)；
爸爸驾车经过1230−12=23(h)追上小华；
故答案为：30；23；
(5)小华从家到南山书城时的速度为：，
所以小华从家到南山书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s=15t(0≤t≤0.8)．
故答案为：s=15t(0≤t≤0.8)．
故答案为：s=15t(0≤t≤0.8)．
(1)根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
(2)根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
(3)根据梯形即可得到爸爸驾车出发的时间；
(4)根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追击问题关系式即可解答；
(5)利用小华从家到南山书城时的速度可得答案．
本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义，利用数形结合的方法解答．
20.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠1=10°，
∴∠BAE=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAE=40°，∠BAC=80°，
．
【解析】根据三角形内角和定理，求出∠BAC即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质．高的性质等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，学会转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)根据题意得：a2+b2=(a+b)2−2ab；
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)∵a+b=9，ab=15，
；
(3)根据题意得：AC+BC=14，，
，即，
解得：，
则．
(1)如图1，阴影部分面积直接求和间接求，得到等量关系即可；
(2)利用得到的等量关系求出所求即可；
(3)根据题意求出AC+BC=14，，利用得到的等量关系求出AC⋅BC的值，即可求出阴影部分面积．
此题考查了因式分解的应用，以及完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
22.【答案】90
【解析】解：(1)BD=CE，理由：
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为：90；
，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°−α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°−α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，

∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
(1)(2)易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得BD=CE，∠ACE=∠B，即可解题；
(3)①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°−α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题；
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
作法
图形
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．
(2)分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M．
(3)作射线就是∠AOB的平分线．