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四川省成都外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附答案）
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这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设数列满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
2．已知等差数列，则等于（ ）
A．B．0C．2D．5
3．设数列满足，且，则（ ）
A．-2B．C．D．3
4．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3B．9C．D．
5．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A．B．C．D．
6．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元B．元
C．元D．元
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（ ）
A．1B．0C．1007D．﹣1006
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，三选选对一个得2分，双选选对一个得3分，有选错的得0分.
9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q= .
13．设数列的前项和为，若，，则 ．
14．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的有 .
①若，则从开始出现数字2；
②若，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列；
④若，则均不包含数字4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
16．（15分）已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．（15分）京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米．
(1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）
18．（17分）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）已知数列和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an−bn+4,
4bn+1=3bn−an−4
（1）求的通项公式；
（2）若记的前n项和为Sn，试证： ．成都外国语学校高二（下）第三学月考试答案
单选
ABAB CDAA
多选
BD 10.ACD 11ABD
填空
2 13. 14.②③④
解答
15.【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16.【详解】（1）方案一：选条件①.
设等差数列的公差为，
由，解得，所以.
因为，，所以当时，
由，得，即，所以.
当时，，整理得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
方案二：选条件②.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以.
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
因为，，，
所以当时，，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以
17.【详解】（1）（万立方米），
又即.
（2）若存在实数，使得数列为等比数列，
则存在非零常数，使得，整理得到，
而，故即.
当，则，
而，故即，
故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列.
（3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列，
故即，此时为递增数列.
令，则，
当时，，
当时，，
故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
18.【详解】（1），
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
19.【详解】（1）数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，①
4bn+1＝3bn﹣an﹣4．②
由①+②得：
所以4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），
整理得，
所以数列{an+bn}是以a1+b1＝1为首项，为公比的等比数列．
所以③．
同理①﹣②得（an+1﹣bn+1）＝（an﹣bn）+2，
即（an+1﹣bn+1）﹣（an﹣bn）＝2（常数），
所以数列{an﹣bn}是以a1﹣b1＝1为首项，2位公差的等差数列．
所以an﹣bn＝2n﹣1．④
③+④得，
所以．
（2）由数列{an}的前n项和为Sn，
所以＝＝．
＝，
所以＜，
所以
当，
所以成立．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
2．已知等差数列，则等于（ ）
A．B．0C．2D．5
3．设数列满足，且，则（ ）
A．-2B．C．D．3
4．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3B．9C．D．
5．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）．
A．B．C．D．
6．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元B．元
C．元D．元
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（ ）
A．1B．0C．1007D．﹣1006
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，三选选对一个得2分，双选选对一个得3分，有选错的得0分.
9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q= .
13．设数列的前项和为，若，，则 ．
14．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的有 .
①若，则从开始出现数字2；
②若，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列；
④若，则均不包含数字4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
16．（15分）已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③.
这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．（15分）京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米．
(1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）
18．（17分）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）已知数列和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an−bn+4,
4bn+1=3bn−an−4
（1）求的通项公式；
（2）若记的前n项和为Sn，试证： ．成都外国语学校高二（下）第三学月考试答案
单选
ABAB CDAA
多选
BD 10.ACD 11ABD
填空
2 13. 14.②③④
解答
15.【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16.【详解】（1）方案一：选条件①.
设等差数列的公差为，
由，解得，所以.
因为，，所以当时，
由，得，即，所以.
当时，，整理得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以.
方案二：选条件②.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以.
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），
所以.
方案三：选条件③.
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
因为，，，
所以当时，，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以
17.【详解】（1）（万立方米），
又即.
（2）若存在实数，使得数列为等比数列，
则存在非零常数，使得，整理得到，
而，故即.
当，则，
而，故即，
故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列.
（3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列，
故即，此时为递增数列.
令，则，
当时，，
当时，，
故至少到年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
18.【详解】（1），
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
19.【详解】（1）数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，①
4bn+1＝3bn﹣an﹣4．②
由①+②得：
所以4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），
整理得，
所以数列{an+bn}是以a1+b1＝1为首项，为公比的等比数列．
所以③．
同理①﹣②得（an+1﹣bn+1）＝（an﹣bn）+2，
即（an+1﹣bn+1）﹣（an﹣bn）＝2（常数），
所以数列{an﹣bn}是以a1﹣b1＝1为首项，2位公差的等差数列．
所以an﹣bn＝2n﹣1．④
③+④得，
所以．
（2）由数列{an}的前n项和为Sn，
所以＝＝．
＝，
所以＜，
所以
当，
所以成立．
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