四川省成都外国语学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

成都外国语学校高2022级高二上期9月月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A. 2 B. －2 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．

【详解】解：由是纯虚数，得，解得．

故选：A.

2. 已知向量满足，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标运算求解.

【详解】因为，所以，

所以，

故选:A.

3. 在中，若，，，则C等于（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理即可求出角的大小.

【详解】由题意，

在中，，，，

由正弦定理得， ，

即，

∵，

∴，

∴或,

故选：D.

4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 该次课外知识测试及格率

B. 该次课外知识测试得满分的同学有名

C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D. 若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名

【答案】C

【解析】

【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各项的描述即可判断其正误.

【详解】由图知，及格率为，故A错误.

该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.

由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.

由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.

故选：C

5. 已知平面、，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（　　）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】B

【解析】

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．

【详解】对于A选项，若，，过直线作平面，使得，，

因为，，，则，

因为，，，则，，

，，，，则或、异面，A错；

对于B选项，若，，则，，故，B对；

对于C选项，若，，，则，因为，则或，C错；

对于D选项，若，，则或、相交（不一定垂直），D错.

故选：B.

6. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得平移后的函数为，再根据余弦函数的对称性列式求解即可

【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，因为图象关于y轴对称，所以，，则，

故选：A.

7. 在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ）

A. 三角形 B. 五边形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形

【答案】D

【解析】

【分析】取的中点E，的中点F，连接，证明在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面平面，即可确定答案.

【详解】根据题意，取的中点E，的中点F，连接，

则，所以，且,

故在同一平面内，

连接，因为分别为的中点，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，

所以，又因为平面，平面，

所以平面，

同理平面，

因为平面，

所以平面平面，

即平面截该正方体所得截面为梯形；

又由梯形中， ，

即平面截该正方体所得截面为等腰梯形,

故选：D

8. M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ）

A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心

【答案】C

【解析】

【分析】设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论.

【详解】设边的中点为，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，又点为边的中点，

所以点在边的垂直平分线上，

所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面的直径，，与底面所成的角为，则（    ）

A.  B. 该圆锥母线长为

C. 该圆锥的体积为 D. 该圆锥的侧面积为

【答案】AB

【解析】

【分析】由线面角的定义可得出，可求得的长，可判断A选项；分析可知是等边三角形，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；求出该圆锥的侧面积，可判断D选项.

【详解】对于A选项，如下图所示：

由圆锥的几何性质可知，与圆所在的底面垂直，

所以，与底面所成的角为，即，

因为，则，所以，，A对；

对于B选项，因为，且，则是边长为的等边三角形，

所以，该圆锥的母线长为，B对；

对于C选项，圆的面积为，故该圆锥的体积为，C错；

对于D选项，该圆锥的侧面积为，D错.

故选：AB.

10. 已知的角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 为等腰非等边三角形 D. 为等边三角形

【答案】BD

【解析】

【分析】利用正弦定理可得出，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用余弦定理可判断CD选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项.

【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，即，

又因为，所以，，A错；

对于CD选项，由余弦定理可得

，则，可得，

又因为，故为等边三角形，C错D对；

对于B选项，，B对.

故选：BD.

11. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（    ）

A.  B. 在上的投影向量为

C.  D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.

【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，

又，，所以，

对于 A：，设 ，

因为三点共线，

所以，解得，所以，故选项A正确；

对于B：设的夹角为，因为，，

所以，所以，即，

所以在上的投影向量为 ，故选项B正确；

对于：由题意， ，故选项C正确；

对于D： ，则，

若，则，又因为，

所以，不满足，故选项D不正确.

故选：ABC.

12. 在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 若∥，则平面

C. 若，则与平面所成角为

D. 若∥平面，则与所成角的正弦最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用等体积法分析判断，对于B，由条件可得点在平面上轨迹为，再判断与平面的位置关系即可，对于C，连接交于点，连接，，则可证得为直线与平面所成角，然后求解即可，对于D，连接，可证得平面∥平面，得点在平面上的轨迹为，得为与所成的角，从而可求得结果.

【详解】对于A，因为是侧面上一动点，平面∥平面，

所以点到平面的距离等于正方体的棱长，设棱长为，则

，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为∥，平面，所以当∥时，点在平面上的轨迹为，因为与不垂直，所以与平面不垂直，

所以与平面不垂直，所以B错误，

对于C，连接交于点，连接，，则，

所以为等边三角形，

因为平面，平面，所以，

因为，，平面，所以平面，

因为平面平面，，是侧面上一动点，

所以点的轨迹是，

所以平面就是平面，

因为平面，平面，所以，

因为，，平面，所以平面，

所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，

因为，所以，

因为为锐角，所以，即与平面所成角为，所以C正确，

对于D，连接，则∥，∥，

因为平面，平面，

所以∥平面，∥平面，

因为，平面，所以平面∥平面，

因为∥平面，所以平面，

因为平面平面，所以点在平面上的轨迹为，

因为∥，所以为与所成的角，

因为平面，平面，所以，

设正方体的棱长为1，设，则，

所以，

因为，所以当时，取得最小值，此时最小，

所以此时取得最小值为，

所以与所成角的正弦最小值为，所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查线线角，线面角的求法，考查棱锥的体积的求法，考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意结合线面点的关系确定动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.

【答案】1800

【解析】

【分析】利用比例求出学生总数.

【详解】，故该校高中学生总数是1800人.

故答案为：1800

14. 在△中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】分析：根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值．

详解：如图：∵，

∴，

则，

又∵B，P，N三点共线，

∴，

故得m=．

故答案为．

点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为

反之，若则A，P，B三点共线

（特别地令t=,称为向量中点公式）

15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______.

【答案】

【解析】

【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.

【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，

设，即，由题意得，

在中，由余弦定理得

即

即，解得或（舍去），

将三棱锥补成长方体如图2所示，

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，

则外接球的半径，

所以外接球的体积.

故答案为：

16. 已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为_________．

【答案】##

【解析】

【分析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，求出角，再利用等面积法即可得解.

【详解】因为，

由正弦定理得，

即，

即，

所以，

又，所以，

又，所以，

故，

由，

得，

即，

所以.
故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若平面，证明：.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；

（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.

【小问1详解】

设与交于点，连接，

因为底面是正方形，所以为的中点，

又因为为的中点，所以，                             

因为平面，平面，

所以平面. 

  【小问2详解】

因为底面是正方形，所以，                  

又因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且.

（1）若，求D点的坐标；

（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.

【小问1详解】

设，因为，于是，整理得，

即有，解得，

所以.

【小问2详解】

因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，，…，分成8组，得到如下的频率分布直方图：

（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.

【答案】（1），平均值为   

（2）第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出，再根据频率分布直方图计算平均值即可；

（2）根据百分位数定义计算即可.

【小问1详解】

由直方图可得，样本落在,的频率分别为,,,,,,,，由，解得，

则样本落在,的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为

，

【小问2详解】

为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；

的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.

因为，

则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，

于是.

又,

所以对应的用电量为350.

所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.

20. 已知函数的图象如图所示．

（1）求函数的解析式及单调递增区间；

（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），，   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据图得到，进而得到，，从而，再由求得解析式，再利用这些函数的性质求解单调区间；

（2）易得．根据对任意的恒成立，由求解.

【小问1详解】

由图可知：，所以，

所以，，由图易得，

则，又，

则，则，

所以，，

所以．

令，，

解得，，

所以的单调递增区间为，．

【小问2详解】

由题．

当，时，．

因为对任意的恒成立，

则，即所以．

21. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，再结合角的范围即可求解；

（2）利用三角形面积公式可得，再结合正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换化为，结合角的范围可得，从而可解.

小问1详解】

由正弦定理得，

可化为：，

即

又由于，

所以

可得

即 ，

由于，所以，

化简为，因为，则，

所以，所以.

【小问2详解】

由正弦定理知，所以，

那么
 

，

又由 ，解得 ，

所以 ，即，

故的面积的取值范围为.

22. 如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．

（1）若点H在线段BD上，求AD的长；

（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）方法一：由平面得，结合勾股定理可得，从而，为中点，由勾股定理计算可得；

方法二：在平面四边形中，设的中点为，连接并延长，交于，可得为的中点．在三棱锥中，，，得平面，平面平面，则点在直线上，当点在线段上，此时与重合，结合勾股定理计算可得；

（2）方法一：当点在内部，知平面，则，

设是的中点，，得平面，，则为二面角的平面角．利用等体积法得：，求得，从而得出答案；

方法二：当点在内部，知平面，为二面角的平面角．过点作交于，可证得平面，平面平面，过点作，交于点，则平面，由直线与平面所成的角，求得， 进而出，即可得解.

【小问1详解】

方法一：

平面，平面，，

中，，

中，，

，，

由于为等腰直角三角形，，为中点，

在中由勾股定理得，，，

在中由勾股定理得，，.

方法二：在平面四边形中，设的中点为，

连接并延长，交于.

为正三角形，为的中点，，

，，

为中点，为的中点.

在三棱锥中，，，且，

平面，又平面，

平面平面，点在直线上.

当点在线段上，此时与重合，

，

平面，平面，

，

在，，

在，，

【小问2详解】

方法一：

当点在内部，知平面，平面，则，

设是的中点，连接，

为正三角形，，

，平面，平面，

平面，，

为二面角的平面角.

设点到平面的距离为，则，

过点作，连接，

由平面，在的中垂线上，

设，则，

由等体积法得：，

，即，

，解得，所以,

.

方法二：

当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上.

，为二面角的平面角.

由于平面，，

过点作交于，连接，

，，

又因为，平面，

平面，平面平面，

过点作，交于点，

又平面平面，平面.

设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，

，解得，

在中，可设

由于，解得.  

在中，，

所以.