甘肃省武威市凉州区武威第七中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算，即可进行解答．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序以及将二次根式化为最简二次根式的方法．注意．
3. 设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. 2abD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求出ab的值，再把要求的式子化成，即可求出答案．
【详解】∵a，b，∴ab=，2×．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，把化成是本题的关键，是一道基础题．
4. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由全等三角形的性质可设 结合正方形的性质可得 解方程可得 如图，过作于 则 求解 由，解得：，可得 再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可得：正方形，正方形，
∴

∵四个全等的直角三角形，
∴设

整理得：
解得：（负根不合题意，舍去）

如图，过作于
则

由，
可得：
解得：，


故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，二次根式的化简，等面积法的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用正方形的性质解决问题是关键．
5. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x-2，再根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】设斜边长为x，则一直角边长为x-2，
根据勾股定理得，62+（x-2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6. 以下列线段长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 32，42，52B. 13，5，12C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【详解】A、因为32=9，42=16，52=25，92+162≠252，不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项正确；
C、因为（）2+（）2（）2，不故能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为，不能构成直角三角形，此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
7. 若成立，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．
【详解】∵
∴x-2≤0
∴
故选A．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．
8. 能使有意义的实数的值有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可；
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，即符合题意的只有一个值．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
9. 如图所示，，在数轴上点A所表示的数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求得数轴上表示的点B与点A的距离，再利用实数与数轴的关系即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得数轴上表示的点B与点A的距离是解题的关键．
10. 如图，矩形中，E，F是上的两个点，，，垂足分别为G，H，若，，，且，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM直角三角形，四边形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ=CF=2，FH=QG，然后在Rt△EMQ中，根据勾股定理求得EQ=，即可得到EG+QG=EG+FH=．
【详解】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ=，
即EG+QG=EG+FH=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解．
二、填空题（共24分）
11. 计算：=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：=；故答案为．
点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键．
12. 已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
13. 如图，中，，，的面积是___________．
【答案】48
【解析】
【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
在中根据勾股定理得：
，
∴．
故答案为：48．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，根据勾股定理求出．
14. 已知有理数x、y满足，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出关于x，y的方程，求解方程得出x，y的值，再代入求值即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的性质，绝对值的性质；由性质得出方程求解是解题的关键．
15. 已知a，b，c为三角形三边，则=______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
【详解】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．
16. 在△ABC中，∠C=90°，，则=___________．
【答案】8
【解析】
【分析】在直角三角形中,根据勾股定义可得: ,根据c=2,可求出，将其代入即可求解．
【详解】在直角三角形中,
因为∠C=90°，，
所以,
所以,
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理．
17. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___．
【答案】10
【解析】
【分析】由正方形性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
18. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为______________．
【答案】110
【解析】
【分析】延长AB交KL于O，延长AC交ML于N，得四边形AOLN是矩形，证明全等直角三角形，然后求出矩形的边长KJ和KL，再求矩形的面积，注意图形中的矩形和正方形，充分利用矩形和正方形的性质解题．
【详解】解：如图，延长AB交KL于O，延长AC交ML于N，得四边形AOLN是矩形，
∵四边形BFGC是正方形，
∴BC=BF=FG=CG，∠CBF=∠BFG=∠FGC=∠BCG=90°，
∴∠ABC+∠OBF=∠OFB+∠LFG=∠FGL+∠NGC=∠ACB+∠NCG=90°，
∵∠BAC=∠AOL=∠L=∠ANL=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠OBF+∠OFB=∠LFG+∠LGF=∠NCG+∠NGC=90°，
∴∠ABC=∠OFB=∠FGL=∠NCG，
∴△CAB≌△BOF≌△FLG≌△GNC，
∴BO=FL=GN=AC=4，OF=LG=CN=AB=3，
∴JK=4+3+4=11，KL=3+3+4=10，
∴矩形KLMJ的面积为11×10=110，
故答案为：110．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造矩形得到全等三角形是解题的关键．
三、计算题（共16分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化简各二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式的性质，乘法法则以及合并同类二次根式法则是解题的关键．
四、作图题（共6分）
20. 如图，每个小方格的边长都是1，求：
（1）求的周长；
（2）①画出边上的高，并求的面积；
②画出边上的高，并求出高．
【答案】（1）
（2）①4，图见解析；
②，图见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理、三角形的面积的知识点．
（1）根据勾股定理可求，再根据三角形周长的定义可求的周长；
（2）①先画出边上的高，再根据三角形的面积公式求出的面积；
②先画出边上的高，再根据三角形的面积公式求出高．
【小问1详解】
解：，，，
故的周长为；
【小问2详解】
①如图所示，是边上的高，的面积；
②如图所示，是边上高，高．
五、解答题（共44分）
21. 先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【答案】|x﹣1|，3
【解析】
【分析】首先根据完全平方公式进行化简，再把x＝﹣2代入即可求得．
【详解】解：
＝
＝|x﹣1|，
当x＝﹣2时，原式＝|﹣2﹣1|＝3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，去绝对值符合号法则，解题的关键是注意进行开平方运算时，代数式要加绝对值符号．
22. 已知实数x、y满足，，求9x＋8y的值．
【答案】6
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得， 且，
∴且 ，
∴，
解得x＝±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
y＝3，
∴9x+8y＝9×（﹣2）+8×3＝﹣18+24＝6．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式，理解分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
23. 如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
【答案】53
【解析】
【分析】由BC=20、CD=16、BD=12由勾股定理逆定理易证∠BDC=90°，再设AD=x，则AC=AB=AD+BD=12+x，在Rt△ACD中由勾股定理建立方程，解出x的值，即可求得△ABC的周长了.
【详解】解：设AD=xcm ,
∵BD2+CD2=122+162=400，BC2=202=400，
∴BD2+CD2=BC2 ，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC=90°，∠ADC=90°，
∴在 Rt△ACD中：AD2+CD2 =AC2 ，
∴x2+162=(x+12)2，解得：x=
∴AB=AC=12+=
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++20=.
【点睛】本题解题的要点是由“BC=20、CD=16、BD=12”利用勾股定理的逆定理证得∠BDC=90°，从而得到∠ADC=90°，这样结合AB=AC即可由勾股定理建立方程使问题得到解决.
24. 如图，在中，于点，，，求与的长．
【答案】的长为，的长为
【解析】
【分析】根据勾股定理求出即可；根据勾股定理求出，求出即可．
【详解】，，，，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
．
答：的长为，的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．
25. 已知CD是的边AB上的高，若，，，求AB长．
【答案】8或2
【解析】
【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图；②当△ABC是钝角三角形，如图，分别根据勾股定理计算AD和BD即可．
【详解】解：分两种情况：
当△ABC是锐角或直角三角形，如图，
∵CD⊥ AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵CD=，AC=，
∴=5，
∵，
∴，
∴AB=AD+BD=5+3=8；
当△ABC是钝角三角形，如图，
同理得：BD=3，AD=5，
∴AB=AD－BD=5－3=2．
综上所述，AB=8或2．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
26. 阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米．求这块地草坪绿化的价钱．
【答案】3600元
【解析】
【分析】用勾股定理计算AC的长，再用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再用三角形面积公式计算凹四边形ABCD的面积，最后计算这块地草坪绿化的价钱．
【详解】解：连接AC，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
（元）．
答：这块地草坪绿化的价钱为3600元．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练运用三角形面积公式，熟练计算绿地造价．
27. 如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，当平分时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
（3）当t的值为5或11时，平分．
【解析】
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解；
（3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
∴，
在中，，
由勾股定理，得，
故答案为：；
小问2详解】
解：在中，，
由勾股定理，得．
若，则，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
【小问3详解】
解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．