甘肃省武威市凉州区凉州区高坝中学联片教研2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，利用算术平方根的定义对A和C进行判断，利用二次根式的加法对B进行判断，利用二次根式的除法对D进行判断．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A选项，原式，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3. 如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A. 48B. 54C. 24D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据这个图形的面积，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，，，
，
，，，
，
为直角三角形，
这个图形的面积，
故选：C．
4. 下列四组数中，勾股数是（ ）
A. 2，3，5B. 6，8，10C. 0.3，0.4，0.5D. ，，3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，，不是正整数，故该选项是错误的；
D、，不是正整数，故该选项是错误的；
故选：B．
5. 如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是根据线段之间的关系，求出，根据勾股定理求出，再根据图中的阴影部分的周长为，即可．
【详解】∵直角三角形的长直角边为，短直角边为，
∴，，
∴，
∴，
∴图中的阴影部分的周长为，
故选：B．
6. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
7. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 四边形是矩形
B. 四边形的内角和小于四边形的内角和
C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D. 四边形的面积等于四边形的面积的
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中点四边形，连接，根据三角形中位线的性质得到，，，继而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：连接，设交于点，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
A． 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360度，故该选项不正确，不符合题意；
C． 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
D． 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
8. 如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）

A. 3B. 12C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先证明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】解：∵的对角线、相交于点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故选：A．
【点晴】本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
9. 如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：如图：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．
10. 在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
二、填空题(共24分)
11. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是灵活运用运算法则．
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
13. 计算结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法，掌握二次根式的加减法运算法则是解题关键，先将二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面____________．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据的坡度为，，可得的长，再根据改为坡度为可以求出的长，根据勾股定理即可求出新坡面．
【详解】解：的坡度为，，
，
，
，
斜坡改为坡度为的斜坡，
，
，
．
新坡面为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，点、为边上点，连接、，将边沿翻折，使点的对称点在边上的点处；再将边沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，5，则的长为_______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题关键是理清折叠前后对应的线段和角相等，等面积法的应用．先利用勾股定理求出的值，再根据翻折的性质得，，，，由等腰三角形的性质，易得，，进而由等腰三角形判定得，再利用等面积法得，即可求出的值，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据，即可得出答案．
【详解】解：，，5，
，
由翻折得，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
16. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，由折叠的性质可得，
是中点，
，
在中，，
解得．
故线段的长为4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键．
17. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点为的中点，点，为上的点，且，连接，．若的面积为60，则图中阴影部分面积是________．
【答案】15
【解析】
【分析】连接，设与交于点，证明，可得，然后根据平行四边形的性质分析，利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：如图，连接，设与交于点，
四边形是平行四边形，
点为的中点，，
点为的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
阴影部分面积．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积公式，解题的关键是证明．
三、计算题(共8分)
19. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简,完全平方公式应用．
（1）根据题意先去括号,再将每个二次根式化简进行运算即可;
（2）根据题意先利用完全平方公式对进行运算,再对进行有理化,先算乘法再算加减即可得到本题答案．
【小问1详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
【小问2详解】
解:,
,
,
,
故答案为:．
四、作图题(共4分)
20. 如图，图1、图2是两张大小完全相同的6×6方格纸，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫做格点多边形．网格中有一个边长为2的格点正方形，按下列要求画出拼图后的格点平行四边形（用阴影表示）
（1）把图1中的格点正方形分割成两部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图1中画出这个格点平行四边形；
（2）把图2中格点正方形分割成三部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图2中画出这个格点平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）B、C、D保持不动，延长CD边的对边，使AB=CD，则四边形ABCD是格点平行四边形；
（2）把正方形的一边作为平行四边形的对角线，这边的对边中点作为平行四边形的一个顶点，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可.
【详解】（1）解：如图1中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）
（2）解：如图2中平行四边形ABCD即为所求（ 答案不唯一 ）
【点睛】本题考查作图，解题关键在于熟悉所做图形的基本性质与判定.
五、解答题(共54分)
21. 已知是整数，求自然数n的值．
【答案】10，9，6，1
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解．
【详解】由题意得，
又n为自然数，
∴，
∵是整数 ，
∴，，，，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1．
22. 挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知a，b是实数，且，化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件．
（1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可；
（2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可．
【小问1详解】
解：由题意，得
，
，
，
解得．
【小问2详解】
解：由题意，得 ，且，
且，
，
，，
，，
．
23. 木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右图为其示意图．若，线段的长为15cm，线段的长为20cm，试求出小木条的最短长度．
【答案】12cm
【解析】
【分析】根据垂线段最短，所以当时，最短，利用勾股定理和等积法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
要使得小木条AD最短，则此时，
，
即，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握垂线段最短，是解题的关键．
24. 如图在四边形中，为对角线，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）先根据勾股定理求出的值，再求出的长，即可计算出周长；
（2）根据即可得出结论．
【小问1详解】
，，，，
在中
根据勾股定理得：
，
在中
，
四边形的周长为．
【小问2详解】
，
和为直角三角形，
，
，
∴．
25. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
26. 如图，点E，F在平行四边形的对角线上，，求证：四边形为平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，灵活地选择方法是解决问题的关键．连接，交于点O，由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，进而可得出结论．
【详解】证明：连接，交于点O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
27. 如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
28. 如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求得；
（3）过点作，证明，在四边形中求出，证明是等边三角形，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
过点作，
和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等、勾股定理，解题的关键是综合运用正方形的性质、三角形全等、勾股定理的知识点．