甘肃省武威市凉州区武威第五中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据形如 式子叫做二次根式判断即．
【详解】解：A、，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、，是二次根式，符合题意；
D、根指数是3，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握其性质是解决问题的关键．
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
3. 已知，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】现将多项式化简，然后代入求解即可．
【详解】解：，
当时，
原式
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查整式的化简求值及完全平方公式与二次根式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减、乘除法以及合并同类二次根式进行计算即可．
【详解】解：、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除、加减是解题的关键．
5. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得出，然后根据完全平方公式因式分解代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，二次根式的性质，得出是解题的关键．
6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）

A. 的面积为10B.
C. D. 点到直线的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解：，，，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点到直线的距离是，
，
，
，
点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7. 如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：如图：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．
8. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 1C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出OB＋OC，再根据△OBC的周长计算即可；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，AD＝BC，
∵△BOC的周长为15，
∴BC＋OB＋OC＝15，
∴BC＝7，
∴AD＝BC＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出和，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
同理可求，，
点到的距离是h，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
二、填空题(共24分)
11. 化简二次根式的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简公式计算即可．
【详解】解：．
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟记化简方法是解题关键．
12. 若x，y为实数，且|x﹣2|+=0，则的值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】先依据非负数的性质求得x、y的值，然后依据有理数的乘方法则求解即可．
【详解】解：∵|x−2|＋＝0，
∴x−2＝0，y＋3＝0，
∴x＝2，y＝−3，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查的是绝对值和算术平方根的非负性，有理数的乘方，掌握多个非负数的和为0时，必须满足其中的每一项都等于0是解题的关键．
13. 计算：的结果为___．
【答案】1
【解析】
【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键．
14. 如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个小正方形的面积分别求出其边长，从而得出大正方形的边长．
【详解】解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，读懂题意，运用算术平方根的知识解题是关键．
15. 计算的结果是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
16. 如图，在中，，，则的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】直接根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和二次根式的运算，题目较为基础，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
17. 某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元．
【答案】420
【解析】
【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为420．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝_____．
【答案】4.5．
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据三角形的面积公式求出DE．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，
由勾股定理，得BC═12，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
×AC×CD+ ×AB×DE＝×AC×BC，
即×9×DE+ ×15×DE＝×9×12，
解得：DE＝4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
三、计算题(共16分)
19. （1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）24；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再算加减即可；
（3）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法计算，再算加减即可；
（4）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
四、作图题(共4分)
20. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A在格点上．用无刻度的直尺在图中以点A为一个顶点画一个面积为5的等腰直角三角形，要求点B，C在格点上．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的面积是5求得直角边长为，画出过点A且长度为的线段的矩形对角线长)，再以为直角边画一个等腰直角三角形即可．
【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为a，则有，
解得，
因此作图可以如下：即位所求作等腰直角三角形．
(答案不唯一，字母B和C也可交换，作出以下其中一个即可)

或

或

或
【点睛】本题考查格点作图、勾股定理，推导直角边长为是解题的关键．
五、解答题(共46分)
21. 已知a＝2＋，b＝2－．求a2b＋ab2的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算出a+b，ab，把a2b＋ab2变形为ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a＝2＋，b＝2－，
∴ab==1，a+b=4，
∴a2b+ab2
=ab（a+b），
=1×4
=4．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了整体代入的方法．
22. 先化简再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．

（1）求这块空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）24平方米
（2）总共需投入4800元
【解析】
【分析】（1）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）用总面积乘以每平方米草皮需要的钱数即可．
【小问1详解】
解：连接，

∵米，米，，
∴米，
∵米，米，且，
∴，
∴是直角三角形，，
∴这块空地的面积（平方米）；
【小问2详解】
（元），
答：总共需投入4800元．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
24. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC=20 m，BC=60 m，CD=30 m，请计算A，B两个凉亭之间的距离．
【答案】A、B两个凉亭之间的距离为20m
【解析】
【分析】在直角三角形ADC和BDC中，根据勾股定理先分别计算出AD和BD，然后由线段的差求出AB即可
详解】AD＝＝ (m)，
BD＝＝ ＝ (m)，
∴AB＝BD－AD＝ (m)，
故A、B两个凉亭之间的距离为 m
【点睛】由勾股定理解直角三角形是本题的考点，根据题意计算AD和BD是解题的关键.
25. 如图，在中，，，，求AC的长.
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理直接求解即可．
【详解】解：设AC的长为x，则AB的长为.
在直角中，.
∴.
∵，
∴
解得（舍去）
∴
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26. 如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．

（1）求图（1）中正方形面积为 ；边长为
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为
【答案】（1）10，
（2）
【解析】
【分析】（1）用割补法求出正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）E表示的数比大，用加上长度即为E表示的数．
【小问1详解】
解：∵正方形的面积是，
∴正方形边长为：；
【小问2详解】
解：∵正方形边长为，
∴，
∴E表示的数比大，即E表示的数为，
故答案：．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形的边长．
27. 如图，在中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为秒．

（1）求的长；
（2）用含的代数式表示的长；
（3）当是直角三角形时，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）利用勾股定理求解即可；
（）利用线段的和差定义求解即可；
（）利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：在中，， ，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．