2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数a的相反数为−2022，则a的值为( )
A. 2022B. −2022C. ±2022D. 12022
2.如图所示的钢块零件的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知A、B两点的坐标分别是(−x,3)和(x,3)，则下面四个结论：
①A、B不一定关于x轴对称；
②A、B可能关于y轴对称；
③A、B之间的距离d取值范围为d>0；
④因为距离一定是正值，所以A、B两点的距离一定为正整数．
其中正确的是( )
A. ①④B. ①③C. ②④D. 以上选项均错误
4.小王的作业本上有4道题：(1)a6+a3=a2；(2)a3⋅a4=a12；(3)(a+1)2=a2+1；(4)(a5)2=a10，对此，你对小王的作业评价是( )
A. 因为当a=0时所有等式均成立，所以小王作业全对
B. 因为当a=1时仅有(2)(4)成立，所以小王作业(2)(4)正确
C. 小王作业只对了一道
D. 小王作业全错
5.成都某高中实验班有50个人，全班均参加语文知识竞赛，有5位同学的成绩为：5，3，6，7，4(单位：分)，则下面说法正确的是( )
A. 该班同学平均分为5分B. 这5位同学成绩中位数为5分
C. 该班最高分一定是10分D. 该班同学平均分大约为5分
6.方程1x−3=2x+1的解为( )
A. x=−5B. x=5C. x=−7D. x=7
7.将一副三角板(厚度不计)如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为( )
A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°
8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−2,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是( )
A. abc>0
B. b=2a
C. 9a+3b+c<0
D. 8a+c=0
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.当x= ______时，式子4−2x3与x−24互为倒数.(若不存在x使得满足题意，请在横线上填写“不存在”)
10.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是______．
11.如果一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图象不经过第二象限，那么k、b应满足的条件是______．
12.如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，做射线AP交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，坐标已被污损，图中已标出x轴和y轴的方向，请你判断在下方还是上方的曲线是xy=1的局部图象：______.(请回答：“上方”或“下方”或“无法判断”)
14.请判断下面说法正确与否：y=kx+9与y=3x的交点在第一象限或第四象限______.(判断对错)
15.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m.中间竖有一堵砖墙高MN=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是______．
16.如图，正三角形ABC的边长为2，点E是AB边上的动点(不与端点A、B重合)，在CE上方作正三角形CEF.当点E由点B向点A运动过程中.求△AEF面积的最大值为______．
17.一个三角形三边长分别是5，6，7，其面积为______．
18.如图，一张矩形纸片ABCD中，BCAB=m(m为常数).将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．
(1)当m=34，若tan∠BEH=43，EF=2 5，则BH的长为______．
(2)当点H落在BC的中点时，且CPCD=13，则m= ______．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
14.(1)计算：|−0.5|+(π−3)0− 9−cs60°；
(2)解不等式：x−12−1>x．
15.我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学．其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类：A.非常满意；B.很满意；C.一般；D.不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图(如图12所示).请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人；m=______；n=______；
(2)补全条形统计图；
频数分布统计表
(3)若该校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人；
(4)为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
16.如图所示，∠ABC=90°，AB上有一点D，DB=3m，∠DCB=37°，∠ACB=θ.(AB>BD)
(1)用含θ的表达式表示出AC的长度；
(2)用含θ的表达式表示出点D到AC的距离．
17.如图所示，在圆A中，有一内接三角形BCD，半径为R，请证明：CD=2Rsin∠CBD，并求内接三角形BCD面积的取值范围．
18.一条过(0,1)的直线y=kx+1交y=1x于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)求S△OAB面积的取值范围；
(3)记直线于y轴交于T点，若T是AB的三等分点，探究k是否存在，若存在，可能取哪些值？
24.x+y=3k，2x+y=4，若x为正整数且y也是正整数，求k取值范围．
25.在平面直角坐标系xOy中，有一函数y=ax2过点(m,n)．
(1)若m，n是一元二次方程x2−8x+15=0的两个实数根，求a的可能取值．
(2)过(1,1)作直线l，讨论直线l与函数的交点个数(此时a为确定的实数)．
(3)过原点作一条直线l1交该函数于另一点A，再过A作垂直于OA的直线l2交抛物线另一点于B，请试探究△OAB面积的取值范围.(此时a为确定的实数)
26.如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似.设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵2022的相反数是−2022，
∴a的值为2022．
故选：A．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：从上面看是：
．
故选：D．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的视图是俯视图是关键．
3.【答案】D
【解析】解：①纵坐标相同，则A、B不关于x轴对称，故错误，不符合题意；
②横坐标互为相反数，纵坐标相同，则A、B一定关于y轴对称，故错误，不符合题意；
③当x=0时，两点重合，则A、B之间的距离d取值范围为d≥0，故错误，不符合题意；
④A、B两点有可能重合，故距离有可能为0，故错误，不符合题意；
故选：D．
根据点坐标的轴对称性，两点间的距离分别判断即可．
此题主要考查了点的坐标—轴对称，两点之间的距离，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】C
【解析】解：(1)a6+a3无法合并，故错误，
(2)a3⋅a4=a7，故错误，
(3)(a+1)2=a2+1+2a，故错误，
(4)(a5)2=a10，故正确，
而A，B选项中的说法只对特殊值有效，故不正确，
∴小王作业只对了一道，
故选：C．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式和幂的乘方法则分别计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式和幂的乘方，要熟练掌握相应的运算法则，并判断计算正确与否．
5.【答案】B
【解析】解：这5名学生平均分为5+3+6+7+45=5，但由于缺乏最高分，最低分以及总分，故无法估计该班学生的平均分，故A错误，D错误，不符合题意；
这5位同学成绩从小到大为3，4，5，6，7，则中位数为(5分)，故正确，符合题意；
该班最高分不一定是10分，故错误，不符合题意；
故选：B．
根据平均数，中位数的求法分别判断．
本题考查了平均数，中位数，掌握各自的求法，理解题中情境是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：x+1=2(x−3)，
去括号得：x+1=2x−6，
移项合并得：−x=−7，
解得：x=7，
检验：把x=7代入得：(x−3)(x+1)≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠C=30°，
∴∠α=180°−45°−30°=105°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠α的度数．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故A、B错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点(−2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0)，
∴当x=3时，y=9a+3b+c>0，故C错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，
∴4a−2b+c=0，
∵b=−2a，
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，故D正确，
故选：D．
由抛物线的开口向下，对称轴−b2a=1，抛物线交y轴的正半轴，判断a，b、c与0的关系，得到b=−2a，abc<0，即可判断A、B；
根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断C；
根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)以及b=−2a，得到4a+4a+c=0，即可判断D．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
9.【答案】不存在
【解析】解：由题意可得：4−2x3×x−24=1，
∴(4−2x)(x−2)=12，
∴x2−4x+10=0，
∵Δ=(−4)2−4×1×10=−24<0，
∴此方程无解，
∴不存在这样的x值，
故答案为：不存在．
根据倒数的性质得到4−2x3×x−24=1，化简后得到一元二次方程，利用判别式判断出方程无解，可得结果．
本题考查了倒数，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
10.【答案】80°
【解析】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，
∵∠DCE=∠O+∠CDO=2∠O，
∴∠DEC=2∠O，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°，
∴∠O=25°，
∴∠DCE=∠DEC=50°，
∴∠CDE=180°−50°−50°=80°，
故答案为80°．
由等腰三角形的性质可得∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，由外角性质可得∠O=25°，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
11.【答案】k>0，b≤0
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图象不经过第二象限，
∴k>0，b≤0，
故答案为：k>0，b≤0．
根据一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图象不经过第二象限，即可确定k>0，b≤0．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF/​/BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=6，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 102−62=8，
∴AE=2OA=16．
故答案为：16．
证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
13.【答案】无法判断
【解析】解：如图，作一，三象限的角平分线，分别交两个图象于点A和点F.过点A作AB⊥x轴于点B，交上方双曲线于点C，过点F作FN⊥y轴于点E，交下方双曲线于点D．
(1)假设下方双曲线为对应解析式为y=1x(x>0)，设上方双曲线为y=kx(x>0)，由题意可知，k>1．
根据题意，点A在直线y=x上，
∴x=1x(x>0)，
解得x=1，
∴点A坐标为(1,1)，
∴点C坐标为(1,k)，点D坐标为(1k,k)，
∴1>1k，
∴k>1，
即此时，下方双曲线为xy=1的局部图象；
(2)假设当上方双曲线为对应解析式为y=1x(x>0)，设下方双曲线为y=kx(x>0)，由题意可知，0同理，点F坐标为(1,1)，
∴点M坐标为(1,k)，
∴k<1，
此时，上方双曲线为xy=1的图象；
综上可知，上、下方双曲线都可以为xy=1的局部图象；
故答案为：无法判断．
根据双曲线的轴对称性，作一，三象限的角平分线，分别交两个图象于点A和点F.过点A作AB⊥x轴于点B，交上方双曲线于点C，过点F作FN⊥y轴于点E，交下方双曲线于点D.分别讨论当上下方双曲线是xy=1的情况，确定k与1的大小关系，通过讨论发现，上下方双曲线均可以是xy=1的局部图象，故说明无法判断．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是利用数形结合思想解决问题．
14.【答案】解：(1)|−0.5|+(π−3)0− 9−cs60°=0.5+1−3−12=−2；
(2)x−12−1>x
x−1−2>2x
−2x+x>3
∴x<−3．
【解析】(1)本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、算术平方根四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
(2)根据一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法先移项，再化简(同乘除)．
本题考查了解简单不等式的能力和实数的混合运算，解答不等式题目时学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15.【答案】300 120 0.2
【解析】解：(1)受问卷调查的总人数为30÷0.1=300(人)，
m=300×0.4=120，
n=60300=0.2，
故答案为：300，120，0.2；
(2)如图，
(3)3000×(0.2+0.4)=1800(人)．
答：估计该校学生中A类和B类共有1800人；
(4)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有2种，
所以甲、乙两位同学同时被抽中的概率=212=16．
(1)用D类人数除以它的频率得到调查的总人数，再用总人数乘以B类的频率得到m的值，然后用A类的人数除以总人数得到n的值；
(2)利用B、D类人数补全条形统计图；
(3)用3000乘以A、B的频率和即可；
(4)通过列表展示所有12种等可能的结果，找出甲、乙两位同学同时被抽中的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
16.【答案】(1)解：在Rt△BDE中，∠DBC=90°，DB=3m，∠DCB=37°，
∴BC=DBtan37∘=3tan37∘m，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=θ(AB>BD)，
∴AC=BCcs∠ACB=3tan37∘csθ=3tan37∘csθm；
(2)解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=θ(AB>BD)，
∴AB=BC⋅tanθ=3tanθtan37∘m，
则AD=AB−BD=3tanθtan37∘−3=3tanθ−3tan37°tan37∘，
设点D到AC的距离为ℎ，
由S△ADC=12AC⋅ℎ=12AD⋅BC得，
ℎ=AD⋅BCAC=3tanθ−3tan37°tan37∘×3tan37∘3tan37∘csθ
=3tanθcsθ−3tan37°csθtan37∘．
【解析】(1)利用正切和余弦定义分别表示BC、AC即可；
(2)再利用正切定义表示出AD、AB，然后利用三角形的等面积法求解即可．
本题考查锐角三角函数、三角形的面积公式，熟练掌握锐角三角函数的定义以及应用是解答的关键．
17.【答案】证明：如图1所示，连接CA并延长交⊙A于点E，
∴∠CBD=∠CED，
∵CE为直径，
∴△CDE是直角三角形，
∵sin∠CED=CDCE=CD2R，
∴sin∠CBD=CD2R，
∴CD=2Rsin∠CBD，

如图2所示，△BCD以CD为底时，当对应的高线BE经过圆心A时S△BCD最大，
∵BE⊥CD，
∴BC=BD，
∴BC=BD，△BCD是以CD为底边的等腰三角形；
同理，△BCD以BC为底时，当对应的高线DF经过圆心A时S△BCD最大，
同理可证，△BCD是以BC为底边的等腰三角形时，S△BCD最大，
综上所述，△BCD是等边三角形时，圆内接三角形面积最大；

如图3所示，当△BCD是等边三角形时，连接AD，BA并延长交CD于点E，
由圆内接正三角形的性质，
得：BE⊥CD,CE=ED,∠ADE=12∠BDC=30°，
∴DE=AD⋅cs∠ADE= 32R，AE=AD⋅sin∠ADE=R2，
∴S△BCD=12CD×BE=12×2DE×(AB+AE)= 32R×(R+R2)=3 34R2；

综上所述，0【解析】连接CA并延长，构造以CD为直角边的圆内接直角三角形，根据圆周角性质即可证明CD=2Rsin∠CBD；圆内接三角形面积最大时，是等边三角形，用假设法验证非等边三角形面积并非最大，进而求得圆内接等边三角形的面积即可．
本题主要考查圆周角的性质，垂径定理，圆内接三角形中等边三角形面积最大，解题的关键是构造以直径为斜边的直角三角形，解题的难点是用假设法证明圆内接三角形中等边三角形面积最大．
18.【答案】解：(1)∵直线y=kx+1交y=1x于A，B两点，
∴kx2+x−1=0，
∴Δ=b2−4ac=1+4k>0，
∴k>−14，
∵直线y=kx+1中，k≠0，
∴k>−14且k≠0．
(2)由(1)得，kx+1=1x，
∴x1=−1+ 1+4k2k，x2=−1− 1+4k2k，
∵S△OAB=12×1×|x1−x2|，
∴S△OAB=12×| 1+4kk|=12| (1k)2+4(1k)|，
∵k>−14且k≠0，
∴1k<−4或1k>0，
∴(1k)2+4(1k)>0，
∴S△OAB=12×| 1+4kk|=12| (1k)2+4(1k)|>0．
(3)如图：

当k>0时，存在T是AB的三等分点，
∵T(0,1)是AB的三分点，
∴①ATAB=TDBC=xAxA−xB=13；
②ATAB=TDBC=xAxA−xB=23；
∵xA=−1+ 1+4k2k，xB=−1− 1+4k2k，
∴①−1+ 1+4k2 1+4k=13；
②−1+ 1+4k2 1+4k=23，
解得：①k=2；②k无解；
∴k=2，
当k<0时，T点在线段AB之外，
∴不满足条件；
综上所述，当k=2时，存在T是AB的三等分点．
【解析】(1)直线y=kx+1交y=1x于A，B，得kx+1=1x；整理得：kx2+x−1=0；根据有两个交点，则Δ>0，即可求出k的取值范围；
(2)由(1)得kx+1=1x，解得：x1=−1+ 1+4k2k，x2=−1− 1+4k2k；根据S△OAB=12×1×|Ax−Bx|，即可得到S△OAB面积的取值范围；
(3)分类讨论：当k>0和k<0，存在T是AB的三等分点，根据相似三角形的性质，即可求出k．
本题考查函数和相似三角形的知识，解题的关键掌握反比例函数和一次函数的综合应用，二次函数的性质，相似三角形的性质．
19.【答案】错误
【解析】解：在y=3x中，k=3>0，
∴y=3x的图象经过第一、三象限，
∴交点不可能在第四象限，
故说法错误，
故答案为：错误．
根据正比例函数图象经过的象限即可判断．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握根据k值确定函数图象经过的象限．
20.【答案】s≥26m
【解析】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，
原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，
∴AC= AB2+BC2= 242+102=26m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．
故答案为：s≥26m．
连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．
本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
21.【答案】 34
【解析】解：∵△ABC，△CFE是等边三角形，
∴BC=AC，EC=FC，∠ACB=∠FCE=60°，
∴∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACF，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴四边形AECF的面积为：S=S△AEC+S△AFC=S△AEC+S△BEC=S△ABC，
∴S△AEF的面积等于四边形AECF面积−S△CEF=S△ABC−S△CEF，
当CE⊥AB时，CE最小，S△CEF最小，S△AEF最大，
∵AB=BC=2，
∴CE= 3，
过点E作EH⊥FC于点H，
∴EH= ( 3)2−( 32)2=32，
∴S△CEF=12× 3×32=3 34，
∵S△ABC=12×2× 3= 3，
∴S△AEF= 3−3 34= 34，
故答案为： 34．
根据△ABC，△CFE是等边三角形，得BC=AC，EC=FC，∠ACB=∠FCE=60°，根据等量代换，全等三角形的判定，得△BCE≌△ACF，得四边形AECF的面积为：S=S△AEC+S△AFC=S△AEC+S△BEC=S△ABC，根据S△AEF的面积等于四边形AECF面积−S△CEF=S△ABC−S△CEF，当S△CEF最小时，S△AEF的面积最大，即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用．
22.【答案】6 6
【解析】解：如图，AB=5，AC=6，BC=7，AD为高，
设BC=x，则CD=7−x，
在△ABD和△ACD中，
AB2−BD2=AC2−CD2，
即52−x2=62−(7−x)2，
解得：x=197，
∴AD= AB2−BD2=12 67，
∴S△ABC=12×BC×AD=12×7×12 67=6 6，
故答案为：6 6．
画出图形，作出高，利用△ABD和△ACD的公共边，利用勾股定理列出方程，进一步求出高，再利用面积公式计算．
本题考查了勾股定理解三角形，解题的关键是利用勾股定理列出方程，求出三角形的高．
23.【答案】83 2 77
【解析】解：(1)过点F作FG⊥AB于G，
则DF=AG，FG=AD=BC，EF=2 5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
在Rt△BEH中，
∵tan∠BEH=43，
∴BHBE=43，
∴设BH=4x，BE=3x，x>0，
则EH= BH2+BE2=5x，
由折叠的性质得，∠MHE=∠A=∠D=∠M=90°，AE=EH=5x，DF=MF，BC=AD=MH，
∴AB=AE+BE=8x，
∵BCAB=34，BHBE=43，
∴BCAB=BEBH，
∴BC8x=3x4x，
解得BC=6x，
∴CH=BC−BH=6x−4x=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠CHP+∠CPH=90°，
∵∠MHE=∠A=90°，
∴∠CHP+∠BHE=90°，
∴∠CPH=∠BHE，
∴△CHP∽△BEH，
∴CHBE=CPBH=PHEH，
即2x3x=CP4x=PH5x，
解得CP=83x，PH=103x，
∴PM=MH−PH=6x−103x=83x，
∵∠M=∠C=90°，∠MPF=∠CPH，
∴△CHP∽△MFP，
∴CHMF=CPPM，
即2xMF=83x83x，
解得MF=2x，
∴DF=MF=2x，
∴GE=AB−AG−BE=AB−DF−BE=3x，
在Rt△EFG中，FG2+EG2=EF2，
∴(6x)2+(3x)2=(2 5)2，
解得x=23，
∴BH=4x=4×23=83；
故答案为：83；
(2)∵CPCD=13，
设CP=t，则CD=AB=3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH=BH=12BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴CHBE=CPBH，
即12BCBE=t12BC，
∴BC2=4BE⋅t①，
∵AE=AB−BE，AE=EH，CD=AB=3t，
∴AE=EH=3t−BE，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2，
∴(3t−BE)2=BE2+(12BC)2②，
解①②得BE=97t，
∴BC2=4BE⋅t=4×97t×t=367t2，
∴BC=6 77t，
∴m=BCAB=6 77t3t=2 77．
故答案为：2 77．
(1)过点F作FG⊥AB于G，则DF=AG，FG=AD=BC，EF=2 5，根据在Rt△BEH中，tan∠BEH=43，得到BHBE=43，设出BH=4x，BE=3x，x>0，利用勾股定理求得EH= BH2+BE2=5x，进一步求得AB=AE+BE=8x，BC=6x，再证得△CHP∽△BEH，利用相似三角形的性质求得CP=83x，PH=103x，得到PM=MH−PH=6x−103x=83x，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得x=23即可求得BH；
(2)根据CPCD=13，设CP=t，则CD=AB=3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2=4BE⋅t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到(3t−BE)2=BE2+(12BC)2②，解①②即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
24.【答案】解：2x+y=4，
∵x为正整数且y也是正整数，
解得：x=1y=2，
∴1+2=3k，
解得：k=1．
【解析】根据x，y为正整数解二元一次方程2x+y=4．
本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出相应的正整数解．
25.【答案】解：(1)x2−8x+15=0，
即(x−3)(x−5)=0，
解得：x1=3，x2=5，
∴m=3，n=5或m=5，n=3，
∵y=ax2过点(m,n)
当m=3，n=5时，5=9a
解得：a=59
当m=5，n=3时，3=25a
解得：a=325，
综上所述，a=59或a=325；
(2)设过(1,1)的直线l，解析式为y=k(x−1)+1，
联立y=ax2y=k(x−1)+1，
即ax2−kx+k+1=0，
∴Δ=b2−4ac=k2−4a(k+1)，
∵a，k的值不确定，
∴Δ>0，=0，<0都有可能，
∴随a的取值变化而变化，直线l与函数的交点个数可以是0个，也可以是1个，也可以是2个；
(3)△OAB面积的取值范围为大于0的任何实数．
【解析】(1)先根据因式分解法解一元二次方程，根据题意得出m=3，n=5或m=5，n=3，然后分类讨论代入函数解析式，待定系数法即可求解；
(2)设过(1,1)的直线l，解析式为y=k(x−1)+1，根据已知，Δ>0，=0，<0都有可能；
(3)△OAB面积的取值范围为大于0的任何实数．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】解：假设这样的点E存在，由三个三角形相似知：ADAE=BEBC，即ax=b−xa，
∴x2−bx+a2=0，
由于Δ=b2−4a2，
即(1)当b=2a时，Δ=0，这样的点E只有一个；
(2)当b>2a时，Δ>0，这样的点E只有两个；
(3)当b<2a时，Δ<0，这样的点E不存在．
【解析】根据相似三角形的性质建立a、b、x的二次方程，由根的判别式分析讨论点E的情况．
本题主要利用了相似三角形的性质和一元二次方程的根与系数的关系求解．类别
频数
频率
A
60
1
B
m
0.4
C
90
0.3
D
30
0.1
甲
乙
丙
丁
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)