2022-2023学年四川省成都七中初中学校九年级（下）第一次月考数学试卷(含解析 )

2022-2023学年四川省成都七中初中学校九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，华为某新款手机采用了纳米制程芯片，纳米就是米，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，正六边形内接于圆，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点、、、在上，，点是的中点，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，为的切线，，分别为切点，，点到圆心的距离，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，直线交圆于，，则圆的半径为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心若，四边形的周长是，则四边形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）

9.  已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为        ．

10.  如图，已知四边形内接于，，则的度数是______ ．

11.  如果分式有意义，那么的取值范围是        ．

12.  如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为        ．

13.  如图，在菱形中，按如下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，； 作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为        ．

14.  已知关于的方程的两实数根为，，若，则 ______ ．

15.  如图，把双曲线虚线部分沿轴的正方向、向右平移个单位，得一个新的双曲线实线部分，新的双曲线与轴的交点为        ．

16.  有张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为，另有一个被均匀分成份的转盘，上面分别标有数字，，，转动转盘，指针所指的数字记为若指针指在分割线上则重新转一次，则点落在抛物线与轴所围成的区域内不含边界的概率是        ．

17.  如图，已知，，，点是边上任意一点，连接，将沿翻折，得到当时，的长为        ．

18.  如图，已知，，，点，分别为，上的动点，且始终保持，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

20.  本小题分
某中学抽取了名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图：

请根据图表中的信息解答下列问题：
频数分布表中，        ；扇形统计图中，“”部分对应的扇形圆心角的度数为        ，“”部分所占百分比为        ；若该中学有名学生，则每周课外阅读时间不低于的大约有        人；
已知组的学生中，只有名男生，其余都是女生用画树状图或列表的方法求从组中随机选取名学生，恰好都是女生的概率．

21.  本小题分
如图，某编辑部办公楼矩形前有一建筑物矩形，建筑物垂直于地面，在办公楼底处测得建筑物顶的仰角为，在办公楼天台处测得建筑物的俯角为，已知办公楼高度为，求建筑物的高度参考数据，，

22.  本小题分
如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆于点，为垂足，交于点使．
求证：直线是圆的切线；
若，，与的交点为，求，的长．

23.  本小题分
综合与探究
如图，在矩形中，，，分别以，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象交于点，交于点．
求的值与点的坐标；
在轴上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标；
在的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间定价元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加元为正整数且．
当宾馆每天收入为元，求的值．
如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．

25.  本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，点是抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
如图，连接，点在直线上方的抛物线上，连接，，当面积最大时，求点坐标；
如图，连接、，在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
模型建立：
如图，在中，是上一点，，求证：；
类比探究：
如图，在菱形中，、分别为边、上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点．
求证：；
若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：四个数大小关系为，
则比小的数是，
故选：．
根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较各数大小即可．
此题考查了实数大小比较，能够将四个数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：正六边形内接于圆
的度数等于

故选：．
由正六边形，可求出的度数，再得到的度数．
理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

点是的中点，
，
．
故选：．
连接，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接
为的切线



的半径为
故选B．
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，可知，故在中，根据三角函数公式，可将半径求出．
本题主要考查圆的切线长定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是的弦的中点，
根据垂径定理：，
设圆的半径是，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是．
故选：．
因为是的弦的中点，根据垂径定理，，在中，有，进而可求得半径．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
，四边形与四边形相似，
，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
故选：．
先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
 

9.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长．
故答案为：．
利用弧长公式，求解即可．
本题考查弧长公式，解题关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
．
，
．
故答案为：．
先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出，，然后根据同角的补角相等得出．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于，列不等式求解即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为轴，
，
，
，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
由抛物线的对称轴为轴可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线，
，，
菱形中，，
，，
在中，，
故答案为：．
根据垂直平分线的性质可知，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两实数根为，，
，，
．
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，将其代入已知等式，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

15.【答案】 

【解析】解：把双曲线虚线部分沿轴的正方向、向右平移个单位，得一个新的双曲线：，
令，则，
新的双曲线与轴的交点为；
故答案为：．
先根据平移的性质得出双曲线的解析式，再把代入求得的值，即可求得新的双曲线与轴的交点．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟知左加右减的平移规律是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：
示意图如下





根据题意，树状图如下：



一共有种结果，分别是，，，，，，，，，，，，以上每种结果等可能性，
当时，
，
所以，没有点落在抛物线与轴围成的区域内，
当时，，
所以，点落在抛物线与轴围成的区域内，
当时，
，
所以，点落在抛物线与轴围成的区域内，
当时，，
所以，点、落在抛物线与轴围成的区域内，
综上所述，点一共有种情况，落在抛物线与轴围成的区域内的点有、、、，共个，
所以落在抛物线与轴围成的区域内．
利用树状图，作出所有等可能的情况，然后据二次函数图象上点的坐标特征求出落在抛物线与轴围成的区域内的点的个数，再根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法以及概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确理解题意，画出示意图是解本题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：由翻折可知：
，
，
，
∽，
，
过点作交延长线于点，

，，
，
，
在中，，
，
；
如图，

由翻折可知：
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
的长为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，根据翻折的性质证明∽，过点作交延长线于点，根据勾股定理即可求出的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用分类讨论是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图．

过点作，使，连接，作于．
在与中，
，
≌，
，
，
当、、在同一直线上时，最小为，
，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
过点作，使，连接，交于点作于，则≌，所以，，因此当、、在同一直线上时，最小为，由勾股定理即求出答案．
本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；
，
解不等式，
得，
解不等式，
得，
该不等式组的解集为． 

【解析】先计算相反数、平方根、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减；
先分别对两个不等式进行求解，再求得此题最后结果．
此题考查了实数混合运算和不等式组的求解能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并进行正确地求解．
 

20.【答案】       

【解析】解：，
扇形统计图中，“”部分对应的扇形圆心角的度数为，
“”部分所占百分比为，
若该校有名学生，那么每周课外阅读时间超过小时的人数大约为人，
故答案为：、、、；
画树状图如下：

共有个等可能的结果，恰好都是女生的结果有个，
恰好都是女生的概率为．
根据组的人数之和为可求出，用乘以组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；用组人数除以总人数可求得其对应的百分比；用总人数乘以样本中、组人数和所占比例．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到都是女生的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表，解决本题的关键是掌握概率公式．
 

21.【答案】解：设，
过点作于点，如图所示：
则，四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得：，
即建筑物的高度约为． 

【解析】设，过点作于点，则，四边形是矩形，则，，证，再由锐角三角函数定义得，然后由得，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
解：连接，
，，，
，，
，
，
是的直径，
，，
，，，
，
，
，，
∽，
，
，
的长为，的长为． 

【解析】由，，得，则，所以，即可证明直线是的切线；
连接，由，，得，则，所以，因为，所以，再证明∽，得，则．
此题重点考查同角的余角相等、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：把代入中，得：．
．
当时，．
．
作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，此时的周长最小．
方法一：

过点作轴于点．
设，则，．
，点与点关于轴对称，
．
．
，
．
，，
．
．
．
．
．
方法二：
设的函数关系式为．
，点与点关于轴对称，
，
把，代入中，
得：，解得：，
，
当时，，
．
设，
，，
，
若为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
，即，
解得，
；
，即，
解得，
或；
若为菱形的对角线，则有，
即，
解得，
；
综上，点的坐标为或或或． 

【解析】直接将点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求点的坐标即可；
作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，，此时的周长最小，过点作轴于点，通过证明，利用相似三角形的性质求解即可；
设，有两点间距离公式分别表示出，
若为菱形的一边，则有两种情况，，，若为菱形的对角线，则有，分别建立方程求解即可．
本题考查了求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式及菱形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可得，
宾馆每个房间定价增加元后，这天游客租住了间房，每间房间的利润是元，
由题意可得，，
解得，，
为正整数且，
，
答：宾馆每天的收入为元时，；
设利润为元，
由题意可得，
该函数图象开口向下，对称轴为，
为正整数且，，
时取得最大值，此时，，
答：房价定为元时，宾馆每天的利润最大． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加元，也就会有个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到元可以列出相应的方程，从而求出答案；
根据题意，可以得到利润和之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
 

25.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
顶点；
令，则，
解得：或．
．
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
点在直线上方的抛物线上，
设，．
过点作轴于点，交于点，则，
，，
．
面积．
，
当时，面积最大．
此时点的坐标为；
在抛物线上存在点，使，理由：
分两种情况：
设，
如图，当交轴于时，

，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
设，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为：，
则，
，
，
，
舍，，
当时，，
；
当与轴交于点时，过作于，如图，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
当时，，
，
综上所述，存在点或，使得． 

【解析】利用待定系数法和配方法解答即可；
利用待定系数法求得直线的解析式，设，过点作轴于点，交于点，则，得到，理由三角形的面积公式求得面积，利用二次函数的性质求得值，则点坐标可得；
利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：设，当交轴于时，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法得到直线的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；当与轴交于点时，过作于，利用中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，，
∽，
，
；
证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：由得：，
，，
，
，
由可知，，
，
即，
解得：，
由得：，
同理得：，
，
，
，
由知，，
∽，
，
即，
解得：，
． 

【解析】证明∽，得，即可得出结论；
连接，由菱形的性质得，，再证，然后证∽，得，即可得出结论；
由可知，，得，求出，再证∽，得，求出，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．