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2022-2023学年河南省南阳市唐河县文峰高级中学高一（下）期中数学模拟试卷（一）（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省南阳市唐河县文峰高级中学高一（下）期中数学模拟试卷（一）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A. y=x+sin2xB. y=x2+sinxC. y=x2−csxD. y=2|x|sinx
2.已知空间向量a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则cs=( )
A. 12B. 13C. 14D. −12
3.下列化简结果错误的是( )
A. AB+BC+CA=0B. (AB+MB)+BO+OM=AB
C. OA−OD+AD=0D. AB−AD−DC=BC
4.函数f(x)=2cs(π3−x)的单调递增区间是( )
A. [2kπ+π3,2kπ+4π3](k∈Z)B. [2kπ+π3,2kπ+2π3](k∈Z)
C. [2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)D. [2kπ−2π3,2kπ+4π3](k∈Z)
5.若△ABC的面积为 3，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
6.满足条件a=4,b=3 2,A=45°的△ABC的个数为( )
A. 一个B. 两个C. 不存在D. 无法判断
7.要得到函数y=3cs(x−π4)的图象，只需将y=3sin12x的图象上所有的点( )
A. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)
B. 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度
D. 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度
8.已知O是△ABC内一点，2OA+3OB+mOC=0，若△AOB与△ABC的面积之比为47，则实数m的值为( )
A. −103B. 103C. −203D. 203
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A. 2a−3b=4e且a+2b=−2e
B. 存在相异实数λ，μ，使λa−μb=0
C. xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0)
D. a=(1,−2)，b=(−1,2)
10.若α为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A. sinα>csαB. sinα>tanαC. sinα+csα>0D. csα+tanα>0
11.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若sinA=csB，则△ABC为直角三角形
C. 若sin2A+sin2B+cs2C<1，则△ABC为钝角三角形
D. 若AB= 3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为 34或 32
12.已知A，C两点位于直线l两侧，B，D是直线l上两点，且△ABD的面积是△CBD的面积的2倍，若AC=(12−1x−sinx)AB+(1+f(x))AD，下列说法正确的是( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)在(π2,π)单调递减
C. f(x)在(0,2π)有且仅有两个零点D. f(x)是周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得______．
14.已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则EF⋅(EA+AB)= ______．
15.函数f(x)=4cs2x+4csx−3−a，当x∈[−π4,2π3]时，f(x)=0恒有解，则实数a的范围是______．
16.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2csAbc=csBab+csCac，则角A= ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，以x轴非负半轴为始边作角α(π2<α<π)，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为− 55．
(1)求tanα的值；
(2)求−sin(−α)+3sin(π2+α)sin(3π2+α)+sin(π−α)的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4S= 3(b2+c2−4)，a=2．
(1)求角A的值；
(2)若三角形ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
已知向量a=( 3,−1)，b=(1,λ)(λ∈R)．
(1)若a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；
(2)已知AB=ma+b，AC=a+mb，其中A，B，C是坐标平面内不同的三点，且A，B，C三点共线，当λ=m时，求m的值．
20.(本小题12分)
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)．
(1)用AB，AC表示AD；
(2)若AE=λAB，AF=μAC，求1λ+2μ的值．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=6，csB=34，点D在BC边上，AD=4，∠ADB为锐角．
(1)求线段BD的长度；
(2)若DC=7，求sinC的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示．
(1)求ω和φ的值；
(2)求函数f(x)在[−π,π]上的单调递增区间；
(3)设φ(x)=f(x−π12)−f(x+π12)，已知函数g(x)=2φ2(x)−3φ(x)+2a−1在[π6,π2]上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，函数的定义域为R，由于y=x为奇函数，y=sin2x为奇函数，则y=x+sin2x为奇函数，不合题意；
对于B，函数的定义域为R，而f(−x)=(−x)2+sin(−x)=x2−sin，则f(x)≠f(−x)，且f(x)≠−f(−x)，符合题意；
对于C，函数的定义域为R，由于y=x2为偶函数，y=csx为偶函数，则y=x2−csx为偶函数，不合题意；
对于D，函数的定义域为R，由于f(−x)=2|−x|sin(−x)=−2|x|sinx=−f(x)，则其为奇函数，不合题意；
故选：B．
根据函数奇偶性的定义逐项分析判断即可．
本题考查函数奇偶性的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得−c=a+b，
因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，
所以c2=a2+b2+2a⋅b，
即16=4+9+2a⋅b，
所以a⋅b=32，
则cs=a⋅b|a||b|=14．
故选：C．
由已知结合向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题．
利用平面向量线性运算对四个选项依次化简判断即可．
【解答】
解：对于选项A，AB+BC+CA=0，故正确；
对于选项B，(AB+MB)+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AB，故正确；
对于选项C，OA−OD+AD=OA+DO+AD=0，故正确；
对于选项D，AB−AD−DC=AB+DA+CD=CB，故错误；
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=2cs(π3−x)=2cs(x−π3)
令2kπ−π≤x−π3≤2kπ，k∈Z
得：2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z
故选：C．
化简，结合余弦函数的性质即可求解单调递增区间．
本题考查了余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC的面积为 3，BC=a=2，C=60°，
∴12absinC= 3，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=4+4−4=4，
则AB=c=2，
故选：C．
利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：因为a2=b2+c2−2bccsA，即16=18+c2−6c，
解得c=3+ 7或c=3− 7，
所以满足条件的△ABC有两个．
故选：B．
利用余弦定理运算求解即可判断．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于AC，先将y=3sin12x的图象上所有的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y=3sinx的图像，
再将y=3sinx图象上所有的点向左平移π4个单位长度得到y=3sin(x+π4)=3sin(x−π4+π2)=3cs(x−π4)的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将y=3sin12x的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=14sinx的图像，
后续平移变换必得不到y=3cs(x−π4)的图像，故BD错误．
故选：C．
利用三角函数平移伸缩变换的性质，结合诱导公式求解即可．
本题考查函数的图象变换，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由2OA+3OB=−mOC得25OA+35OB=−m5OC，
设−m5OC=OD，则OD=25OA+35OB，
由于25+35=1，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵OC与OD反向共线，m>0，
∴|OD||OC|=m5，∴|OD||CD|=m5m5+1=mm+5，
∴S△AOBS△ABC=|OD||CD|=mm+5=47⇒m=203．
故选：D．
由2OA+3OB+mOC=0确定O点的位置，再利用△AOB与△ABC的面积之比列方程求得m的值．
本题主要考查了三点共线定理的应用，考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，因为2a−3b=4e且a+2b=−2e，解得a=27e,b=−87e，
此时一定能使a，b共线，故A正确；
对于B选项，存在相异实数λ，μ，使λa=μb，由向量共线定理即可判定a，b共线，故B正确；
对于C选项，当x=y=0时，a，b不一定共线，则C错误；
对于D选项，a=−b，由向量共线定理即可判定a，b共线，故D正确．
故选：ABD．
对于A选项，可直接解出a=27e,b=−87e，则a，b共线；对于BD选项，由向量共线定理即可判定；对于C选项，当x=y=0时，不一定成立；
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线的判断，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
因为α为第二象限角，则sinα>0，csα<0，tanα<0，由此即可判断选项A，B，D，然后举特例即可判断选项C．
【解答】
解：因为α为第二象限角，则sinα>0，csα<0，tanα<0，
所以sinα>csα，sinα>tanα，故A，B正确，D错误，
当α=5π6时，sinα+csα=12+(− 32)=1− 32<0，故C错误，
故选：AB．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A：sin2A=sin2B，∴A=B⇒△ABC是等腰三角形，或2A+2B=π⇒A+B=π2，即△ABC是直角三角形．故A不对；
对于B：由sinA=csB，∴A−B=π2或A+B=π2.∴△ABC不一定是直角三角形；
对于C：sin2A+sin2B<1−cs2C=sin2C，∴a2+b2对于D：由正弦定理，得
sinC=c⋅sinBb= 32.而c>b，∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°．
∴S△ABC=12bcsinA= 32或 34.D正确．
故选：CD．
通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，设AC与直线l交于E，
由于△ABD的面积是△CBD的面积的2倍，则AE=2EC，
又AC=(12−1x−sinx)AB+(1+f(x))AD，
∴AE=23AC=23(12−1x−sinx)AB+23[1+f(x)]AD，
∴23(12−1x−sinx)+23[1+f(x)]=1，
∴f(x)=1x+sinx，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又f(−x)=−1x−sinx=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，故A正确；
因为函数y=1x,y=sinx在 (π2,π)上为减函数，
所以f(x)在 (π2,π)上单调递减，故B正确；
由f(x)=1x+sinx=0，可得sinx=−1x，
所以函数f(x)在 (0,2π)的零点数即为y=sinx与y=−1x的交点数，
结合函数y=sinx,y=−1x的图象可得f(x)在 (0,2π)有且仅有两个零点，故C正确；
因为f(x)=1x+sinx，函数sinx为周期函数，而函数1x不是周期函数，故f(x)不是周期函数，故D错误．
故选：ABC．
根据题意，设AC与直线l交于E，利用向量共线定理可得23(12−1x−sinx)+23[1+f(x)]=1，进而可得f(x)=1x+sinx，然后利用函数奇偶性的定义可判断A，利用基本函数的单调性可判断B，利用数形结合可判断C，利用函数周期性的可判断D，综合可得答案．
本题考查函数与方程、向量的应用，涉及函数奇偶性、零点个数的判断，属于中档题．
13.【答案】sin2−cs2
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)
= 1+2sin2⋅(−cs2)
= 1−2sin2cs2
= sin22+cs22−2sin2cs2
= (sin2−cs2)2
=|sin2−cs2|，
∵sin2>0，cs2<0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2．
故答案为：sin2−cs2．
利用三角函数的诱导公式化简，再由平方关系化为完全平方式，开方得答案．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：如图，以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则根据题意可得A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，F(1,2)，
∴EF=(1,1)，EA=(0,−1)，AB=(2,0)，
∴EA+AB=(0,−1)+(2,0)=(2,−1)，
∴EF⋅(EA+AB)=1×2+1×(−1)=1．
故答案为：1．
建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可．
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，坐标法的应用，属中档题．
15.【答案】[−4,5]
【解析】解：设csx=t，∵x∈[−π4,2π3]，∴t∈[−12,1]，
则f(x)=4cs2x+4csx−3−a
=4t2+4t−3−a=4(t+12)2−4−a，t∈[−12,1]，
又∵f(x)=0恒有解，
∴a=4(t+12)2−4有解，t∈[−12,1]，
∵−4≤4(t+12)2−4≤5，∴−4≤a≤5．
即实数a的范围是[−4,5]．
故答案为：[−4,5]．
利用换元法得到f(x)=4(t+12)2−4−a，t∈[−12,1]，再把f(x)=0恒有解转化为a=4(t+12)2−4有解，最后求出二次函数的值域即可．
本题主要考查了换元法的应用，由角的范围求解三角函数的范围，及二次函数在闭区间上的值域的求解．
16.【答案】π3
【解析】解：因为2csAbc=csBab+csCac=ccsB+bcsCabc，
所以2a⋅csA=c⋅csB+b⋅csC，
由正弦定理得2sinAcsA=sinCcsB+sinBcsC，
即2sinAcsA=sin(B+C)=sinA，
因为sinA>0，
所以csA=12，
因为A为三角形内角，
则角A=π3．
故答案为：π3．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求csA，进而可求A．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵点P的横坐标为− 55，
∴csα=− 55，又π2<α<π，
∴sinα= 1−cs2α=2 55，
∴tanα=sinαcsα=2 55− 55=−2；
(2)−sin(−α)+3sin(π2+α)sin(3π2+α)+sin(π−α)=sinα+3csα−csα+sinα=tanα+3tanα−1=−2+3−2−1=−13．
【解析】(1)利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；
(2)利用诱导公式化简，然后转化为用tanα表示，代入tanα的值计算即可．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由4S= 3(b2+c2−4)，a=2，得2bcsinA= 3(b2+c2−a2)=2 3bccsA，tanA= 3，A=π3．
(2)因为三角形ABC的面积为 3，所以12bc× 32= 3，则bc=4，
又a=2，A=π3，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即4=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，所以b+c=4，
因此△ABC的周长为a+b+c=6．
【解析】(1)运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
(2)由三角形的面积公式和余弦定理，可得c+b，进而得到三角形的周长．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵a=( 3,−1)，b=(1,λ)，且a与b的夹角为锐角，
∴a⋅b= 3−λ>0，解得λ< 3，
当a//b时， 3λ=−1，得λ=− 33，此时b=(1,− 33)= 33( 3,−1)= 33a，
a与b的夹角为0，也满足a⋅b>0，但不满足题意，则λ≠− 33．
综上，λ< 3且λ≠− 33；
(2)由题意知，AB=ma+b=( 3m,−m)+(1,λ)=( 3m+1,λ−m)，
AC=a+mb=( 3,−1)+(m,λm)=( 3+m,λm−1)，
∵A、B、C三点共线，∴AB//AC，则( 3m+1)(λm−1)=( 3+m)(λ−m)，
当λ=m时 3m+1=0或m2−1=0，
当 3m+1=0时，AB=0，点A与点B重合，与题意矛盾；
当m2−1=0时，m=1或m=−1．
若m=1，AB=AC，点B与点C重合，与题意矛盾；
若M=−1，AB=−AC，满足题意．
综上，m=−1．
【解析】(1)由a⋅b>0求得λ的范围，去掉使a，b共线同向的λ值，则答案可求；
(2)求出AB，AC的坐标，由AB//AC结合λ=m求得m值，去掉使A、B、C中有重合点的m值即可．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，训练了利用数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABD中，由AD=AB+BD，
又BD=2DC，
所以BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=AB−23AB+23AC=13AB+23AC；
(2)因为AD=13AB+23AC，
又AE=λAB，AF=μAC，
所以AB=1λAE，AC=1μAF，
所以AD=13λAE+23μAF，
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以13λ+23μ=1，即1λ+2μ=3．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解；
(2)根据(1)的结论，转化用AE，AF表示AD，根据D，E，F三点共线找出等量关系．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
21.【答案】解：(1)△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB，
所以16=36+BD2−2×6×BD×34，
解得BD=5或BD=4；
当BD=4时，cs∠ADB=BD2+AD2−AB22BD×AD=−18，此时∠ADB>π2，不符合题意，舍去，
当BD=5时，cs∠ADB=BD2+AD2−AB22BD×AD=18，此时∠ADB<π2，符合题意，
所以BD=5；
(2)因为DC=7，由(1)知BD=5，所以BC=12，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB，所以AC2=36+144−2×6×12×34，
所以AC=6 2，
在△ABC中，由正弦定理有ABsinC=ACsinB，又csB=34，所以sinB= 74，
所以6sinC=6 2 74，解得sinC= 148．
【解析】(1)由已知结合余弦定理先求BD；再分BD=4，BD=5求出cs∠ADB的值，判断是否符合题意，得出BD的值；
(2)由余弦定理得AC=6 2，再由正弦定理可求sinC．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由图象可知：T2=2π3−π6=π2，T=π，则ω=2π T=2，
又2×π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，得φ=2kπ+π6，又|φ|<π2，
所以φ=π6，
(2)f(x)=sin(2x+π6)，由2kπ−π2⩽2x+π6⩽2kπ+π2，k∈Z，
解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
令k=−1，得−4π3≤x≤−5π6，因−π≤x≤π，则−π≤x≤−5π6，
令k=0，得−π3≤x≤π6，
令k=1，得2π3≤x≤7π6，因−π≤x≤π，则2π3≤x≤π，
所以f(x)在[−π,π]上的单调递增区间为[−π,−5π6]，[−π3,π6]，[2π3,π]．
(3)φ(x)=f(x−π12)−f(x+π12)
=sin[2(x−π12)+π6]−sin[2(x+π12)+π6]
=sin2x−sin(2x+π3)
=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
则g(x)=2sin2(2x−π3)−3sin(2x−π3)+2a−1，
由函数g(x)在[π6,π2]上存在零点，
则2a=−2sin2(2x−π3)+3sin(2x−π3)+1，在[π6,π2]上有解，
令t=sin(2x−π3)，由x∈[π6,π2]，则2x−π3∈[0,2π3]，即t∈[0,1]，
则y=−2t2+3t+1=−2(t−34)2+178∈[1,178]，
所以1≤2a≤178，即12≤a≤1716，
故a的最小值为12，最大值为1716．
【解析】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数平移变换，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，二次函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
(1)根据图象利用相邻对称轴间的距离是半个周期，以此求出ω的值，然后利用最高点求出初相位φ的值；
(2)利用正弦函数的单调性即可求解；
(3)利用三角函数平移变换，三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2sin2(2x−π3)−3sin(2x−π3)+2a−1，由题意2a=−2sin2(2x−π3)+3sin(2x−π3)+1，在[π6,π2]上有解，令t=sin(2x−π3)，利用二次函数的性质可得y=−2(t−34)2+178∈[1,178]，即可得解．
1.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A. y=x+sin2xB. y=x2+sinxC. y=x2−csxD. y=2|x|sinx
2.已知空间向量a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则cs
A. 12B. 13C. 14D. −12
3.下列化简结果错误的是( )
A. AB+BC+CA=0B. (AB+MB)+BO+OM=AB
C. OA−OD+AD=0D. AB−AD−DC=BC
4.函数f(x)=2cs(π3−x)的单调递增区间是( )
A. [2kπ+π3,2kπ+4π3](k∈Z)B. [2kπ+π3,2kπ+2π3](k∈Z)
C. [2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)D. [2kπ−2π3,2kπ+4π3](k∈Z)
5.若△ABC的面积为 3，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
6.满足条件a=4,b=3 2,A=45°的△ABC的个数为( )
A. 一个B. 两个C. 不存在D. 无法判断
7.要得到函数y=3cs(x−π4)的图象，只需将y=3sin12x的图象上所有的点( )
A. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)
B. 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度
D. 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度
8.已知O是△ABC内一点，2OA+3OB+mOC=0，若△AOB与△ABC的面积之比为47，则实数m的值为( )
A. −103B. 103C. −203D. 203
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A. 2a−3b=4e且a+2b=−2e
B. 存在相异实数λ，μ，使λa−μb=0
C. xa+yb=0(其中实数x，y满足x+y=0)
D. a=(1,−2)，b=(−1,2)
10.若α为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A. sinα>csαB. sinα>tanαC. sinα+csα>0D. csα+tanα>0
11.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若sinA=csB，则△ABC为直角三角形
C. 若sin2A+sin2B+cs2C<1，则△ABC为钝角三角形
D. 若AB= 3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为 34或 32
12.已知A，C两点位于直线l两侧，B，D是直线l上两点，且△ABD的面积是△CBD的面积的2倍，若AC=(12−1x−sinx)AB+(1+f(x))AD，下列说法正确的是( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)在(π2,π)单调递减
C. f(x)在(0,2π)有且仅有两个零点D. f(x)是周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得______．
14.已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则EF⋅(EA+AB)= ______．
15.函数f(x)=4cs2x+4csx−3−a，当x∈[−π4,2π3]时，f(x)=0恒有解，则实数a的范围是______．
16.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2csAbc=csBab+csCac，则角A= ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，以x轴非负半轴为始边作角α(π2<α<π)，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为− 55．
(1)求tanα的值；
(2)求−sin(−α)+3sin(π2+α)sin(3π2+α)+sin(π−α)的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4S= 3(b2+c2−4)，a=2．
(1)求角A的值；
(2)若三角形ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
已知向量a=( 3,−1)，b=(1,λ)(λ∈R)．
(1)若a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；
(2)已知AB=ma+b，AC=a+mb，其中A，B，C是坐标平面内不同的三点，且A，B，C三点共线，当λ=m时，求m的值．
20.(本小题12分)
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)．
(1)用AB，AC表示AD；
(2)若AE=λAB，AF=μAC，求1λ+2μ的值．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=6，csB=34，点D在BC边上，AD=4，∠ADB为锐角．
(1)求线段BD的长度；
(2)若DC=7，求sinC的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示．
(1)求ω和φ的值；
(2)求函数f(x)在[−π,π]上的单调递增区间；
(3)设φ(x)=f(x−π12)−f(x+π12)，已知函数g(x)=2φ2(x)−3φ(x)+2a−1在[π6,π2]上存在零点，求实数a的最小值和最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，函数的定义域为R，由于y=x为奇函数，y=sin2x为奇函数，则y=x+sin2x为奇函数，不合题意；
对于B，函数的定义域为R，而f(−x)=(−x)2+sin(−x)=x2−sin，则f(x)≠f(−x)，且f(x)≠−f(−x)，符合题意；
对于C，函数的定义域为R，由于y=x2为偶函数，y=csx为偶函数，则y=x2−csx为偶函数，不合题意；
对于D，函数的定义域为R，由于f(−x)=2|−x|sin(−x)=−2|x|sinx=−f(x)，则其为奇函数，不合题意；
故选：B．
根据函数奇偶性的定义逐项分析判断即可．
本题考查函数奇偶性的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得−c=a+b，
因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，
所以c2=a2+b2+2a⋅b，
即16=4+9+2a⋅b，
所以a⋅b=32，
则cs
故选：C．
由已知结合向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量线性运算的应用，属于基础题．
利用平面向量线性运算对四个选项依次化简判断即可．
【解答】
解：对于选项A，AB+BC+CA=0，故正确；
对于选项B，(AB+MB)+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AB，故正确；
对于选项C，OA−OD+AD=OA+DO+AD=0，故正确；
对于选项D，AB−AD−DC=AB+DA+CD=CB，故错误；
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=2cs(π3−x)=2cs(x−π3)
令2kπ−π≤x−π3≤2kπ，k∈Z
得：2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z
故选：C．
化简，结合余弦函数的性质即可求解单调递增区间．
本题考查了余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC的面积为 3，BC=a=2，C=60°，
∴12absinC= 3，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=4+4−4=4，
则AB=c=2，
故选：C．
利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：因为a2=b2+c2−2bccsA，即16=18+c2−6c，
解得c=3+ 7或c=3− 7，
所以满足条件的△ABC有两个．
故选：B．
利用余弦定理运算求解即可判断．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于AC，先将y=3sin12x的图象上所有的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y=3sinx的图像，
再将y=3sinx图象上所有的点向左平移π4个单位长度得到y=3sin(x+π4)=3sin(x−π4+π2)=3cs(x−π4)的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将y=3sin12x的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=14sinx的图像，
后续平移变换必得不到y=3cs(x−π4)的图像，故BD错误．
故选：C．
利用三角函数平移伸缩变换的性质，结合诱导公式求解即可．
本题考查函数的图象变换，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由2OA+3OB=−mOC得25OA+35OB=−m5OC，
设−m5OC=OD，则OD=25OA+35OB，
由于25+35=1，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵OC与OD反向共线，m>0，
∴|OD||OC|=m5，∴|OD||CD|=m5m5+1=mm+5，
∴S△AOBS△ABC=|OD||CD|=mm+5=47⇒m=203．
故选：D．
由2OA+3OB+mOC=0确定O点的位置，再利用△AOB与△ABC的面积之比列方程求得m的值．
本题主要考查了三点共线定理的应用，考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，因为2a−3b=4e且a+2b=−2e，解得a=27e,b=−87e，
此时一定能使a，b共线，故A正确；
对于B选项，存在相异实数λ，μ，使λa=μb，由向量共线定理即可判定a，b共线，故B正确；
对于C选项，当x=y=0时，a，b不一定共线，则C错误；
对于D选项，a=−b，由向量共线定理即可判定a，b共线，故D正确．
故选：ABD．
对于A选项，可直接解出a=27e,b=−87e，则a，b共线；对于BD选项，由向量共线定理即可判定；对于C选项，当x=y=0时，不一定成立；
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线的判断，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
因为α为第二象限角，则sinα>0，csα<0，tanα<0，由此即可判断选项A，B，D，然后举特例即可判断选项C．
【解答】
解：因为α为第二象限角，则sinα>0，csα<0，tanα<0，
所以sinα>csα，sinα>tanα，故A，B正确，D错误，
当α=5π6时，sinα+csα=12+(− 32)=1− 32<0，故C错误，
故选：AB．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A：sin2A=sin2B，∴A=B⇒△ABC是等腰三角形，或2A+2B=π⇒A+B=π2，即△ABC是直角三角形．故A不对；
对于B：由sinA=csB，∴A−B=π2或A+B=π2.∴△ABC不一定是直角三角形；
对于C：sin2A+sin2B<1−cs2C=sin2C，∴a2+b2
sinC=c⋅sinBb= 32.而c>b，∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°．
∴S△ABC=12bcsinA= 32或 34.D正确．
故选：CD．
通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，设AC与直线l交于E，
由于△ABD的面积是△CBD的面积的2倍，则AE=2EC，
又AC=(12−1x−sinx)AB+(1+f(x))AD，
∴AE=23AC=23(12−1x−sinx)AB+23[1+f(x)]AD，
∴23(12−1x−sinx)+23[1+f(x)]=1，
∴f(x)=1x+sinx，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又f(−x)=−1x−sinx=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，故A正确；
因为函数y=1x,y=sinx在 (π2,π)上为减函数，
所以f(x)在 (π2,π)上单调递减，故B正确；
由f(x)=1x+sinx=0，可得sinx=−1x，
所以函数f(x)在 (0,2π)的零点数即为y=sinx与y=−1x的交点数，
结合函数y=sinx,y=−1x的图象可得f(x)在 (0,2π)有且仅有两个零点，故C正确；
因为f(x)=1x+sinx，函数sinx为周期函数，而函数1x不是周期函数，故f(x)不是周期函数，故D错误．
故选：ABC．
根据题意，设AC与直线l交于E，利用向量共线定理可得23(12−1x−sinx)+23[1+f(x)]=1，进而可得f(x)=1x+sinx，然后利用函数奇偶性的定义可判断A，利用基本函数的单调性可判断B，利用数形结合可判断C，利用函数周期性的可判断D，综合可得答案．
本题考查函数与方程、向量的应用，涉及函数奇偶性、零点个数的判断，属于中档题．
13.【答案】sin2−cs2
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)
= 1+2sin2⋅(−cs2)
= 1−2sin2cs2
= sin22+cs22−2sin2cs2
= (sin2−cs2)2
=|sin2−cs2|，
∵sin2>0，cs2<0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2．
故答案为：sin2−cs2．
利用三角函数的诱导公式化简，再由平方关系化为完全平方式，开方得答案．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：如图，以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则根据题意可得A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，F(1,2)，
∴EF=(1,1)，EA=(0,−1)，AB=(2,0)，
∴EA+AB=(0,−1)+(2,0)=(2,−1)，
∴EF⋅(EA+AB)=1×2+1×(−1)=1．
故答案为：1．
建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可．
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，坐标法的应用，属中档题．
15.【答案】[−4,5]
【解析】解：设csx=t，∵x∈[−π4,2π3]，∴t∈[−12,1]，
则f(x)=4cs2x+4csx−3−a
=4t2+4t−3−a=4(t+12)2−4−a，t∈[−12,1]，
又∵f(x)=0恒有解，
∴a=4(t+12)2−4有解，t∈[−12,1]，
∵−4≤4(t+12)2−4≤5，∴−4≤a≤5．
即实数a的范围是[−4,5]．
故答案为：[−4,5]．
利用换元法得到f(x)=4(t+12)2−4−a，t∈[−12,1]，再把f(x)=0恒有解转化为a=4(t+12)2−4有解，最后求出二次函数的值域即可．
本题主要考查了换元法的应用，由角的范围求解三角函数的范围，及二次函数在闭区间上的值域的求解．
16.【答案】π3
【解析】解：因为2csAbc=csBab+csCac=ccsB+bcsCabc，
所以2a⋅csA=c⋅csB+b⋅csC，
由正弦定理得2sinAcsA=sinCcsB+sinBcsC，
即2sinAcsA=sin(B+C)=sinA，
因为sinA>0，
所以csA=12，
因为A为三角形内角，
则角A=π3．
故答案为：π3．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求csA，进而可求A．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵点P的横坐标为− 55，
∴csα=− 55，又π2<α<π，
∴sinα= 1−cs2α=2 55，
∴tanα=sinαcsα=2 55− 55=−2；
(2)−sin(−α)+3sin(π2+α)sin(3π2+α)+sin(π−α)=sinα+3csα−csα+sinα=tanα+3tanα−1=−2+3−2−1=−13．
【解析】(1)利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；
(2)利用诱导公式化简，然后转化为用tanα表示，代入tanα的值计算即可．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由4S= 3(b2+c2−4)，a=2，得2bcsinA= 3(b2+c2−a2)=2 3bccsA，tanA= 3，A=π3．
(2)因为三角形ABC的面积为 3，所以12bc× 32= 3，则bc=4，
又a=2，A=π3，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即4=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，所以b+c=4，
因此△ABC的周长为a+b+c=6．
【解析】(1)运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
(2)由三角形的面积公式和余弦定理，可得c+b，进而得到三角形的周长．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵a=( 3,−1)，b=(1,λ)，且a与b的夹角为锐角，
∴a⋅b= 3−λ>0，解得λ< 3，
当a//b时， 3λ=−1，得λ=− 33，此时b=(1,− 33)= 33( 3,−1)= 33a，
a与b的夹角为0，也满足a⋅b>0，但不满足题意，则λ≠− 33．
综上，λ< 3且λ≠− 33；
(2)由题意知，AB=ma+b=( 3m,−m)+(1,λ)=( 3m+1,λ−m)，
AC=a+mb=( 3,−1)+(m,λm)=( 3+m,λm−1)，
∵A、B、C三点共线，∴AB//AC，则( 3m+1)(λm−1)=( 3+m)(λ−m)，
当λ=m时 3m+1=0或m2−1=0，
当 3m+1=0时，AB=0，点A与点B重合，与题意矛盾；
当m2−1=0时，m=1或m=−1．
若m=1，AB=AC，点B与点C重合，与题意矛盾；
若M=−1，AB=−AC，满足题意．
综上，m=−1．
【解析】(1)由a⋅b>0求得λ的范围，去掉使a，b共线同向的λ值，则答案可求；
(2)求出AB，AC的坐标，由AB//AC结合λ=m求得m值，去掉使A、B、C中有重合点的m值即可．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，训练了利用数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABD中，由AD=AB+BD，
又BD=2DC，
所以BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=AB−23AB+23AC=13AB+23AC；
(2)因为AD=13AB+23AC，
又AE=λAB，AF=μAC，
所以AB=1λAE，AC=1μAF，
所以AD=13λAE+23μAF，
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以13λ+23μ=1，即1λ+2μ=3．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解；
(2)根据(1)的结论，转化用AE，AF表示AD，根据D，E，F三点共线找出等量关系．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
21.【答案】解：(1)△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB，
所以16=36+BD2−2×6×BD×34，
解得BD=5或BD=4；
当BD=4时，cs∠ADB=BD2+AD2−AB22BD×AD=−18，此时∠ADB>π2，不符合题意，舍去，
当BD=5时，cs∠ADB=BD2+AD2−AB22BD×AD=18，此时∠ADB<π2，符合题意，
所以BD=5；
(2)因为DC=7，由(1)知BD=5，所以BC=12，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB，所以AC2=36+144−2×6×12×34，
所以AC=6 2，
在△ABC中，由正弦定理有ABsinC=ACsinB，又csB=34，所以sinB= 74，
所以6sinC=6 2 74，解得sinC= 148．
【解析】(1)由已知结合余弦定理先求BD；再分BD=4，BD=5求出cs∠ADB的值，判断是否符合题意，得出BD的值；
(2)由余弦定理得AC=6 2，再由正弦定理可求sinC．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由图象可知：T2=2π3−π6=π2，T=π，则ω=2π T=2，
又2×π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，得φ=2kπ+π6，又|φ|<π2，
所以φ=π6，
(2)f(x)=sin(2x+π6)，由2kπ−π2⩽2x+π6⩽2kπ+π2，k∈Z，
解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
令k=−1，得−4π3≤x≤−5π6，因−π≤x≤π，则−π≤x≤−5π6，
令k=0，得−π3≤x≤π6，
令k=1，得2π3≤x≤7π6，因−π≤x≤π，则2π3≤x≤π，
所以f(x)在[−π,π]上的单调递增区间为[−π,−5π6]，[−π3,π6]，[2π3,π]．
(3)φ(x)=f(x−π12)−f(x+π12)
=sin[2(x−π12)+π6]−sin[2(x+π12)+π6]
=sin2x−sin(2x+π3)
=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
则g(x)=2sin2(2x−π3)−3sin(2x−π3)+2a−1，
由函数g(x)在[π6,π2]上存在零点，
则2a=−2sin2(2x−π3)+3sin(2x−π3)+1，在[π6,π2]上有解，
令t=sin(2x−π3)，由x∈[π6,π2]，则2x−π3∈[0,2π3]，即t∈[0,1]，
则y=−2t2+3t+1=−2(t−34)2+178∈[1,178]，
所以1≤2a≤178，即12≤a≤1716，
故a的最小值为12，最大值为1716．
【解析】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数平移变换，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，二次函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
(1)根据图象利用相邻对称轴间的距离是半个周期，以此求出ω的值，然后利用最高点求出初相位φ的值；
(2)利用正弦函数的单调性即可求解；
(3)利用三角函数平移变换，三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2sin2(2x−π3)−3sin(2x−π3)+2a−1，由题意2a=−2sin2(2x−π3)+3sin(2x−π3)+1，在[π6,π2]上有解，令t=sin(2x−π3)，利用二次函数的性质可得y=−2(t−34)2+178∈[1,178]，即可得解．
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