2022-2023学年河南省南阳市桐柏县第一高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县第一高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，角，其顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】由三角函数定义，可得，解得．

故选：C

2．下列说法正确的是

A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角

C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则

【答案】B

【详解】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确．

钝角是第二象限的角，正确；

第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，显然判断是不正确的．C是不正确的．

若角α与角β的终边相同，那么α=β+2kπ，k∈Z，所以D 不正确．

故选B．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据可得，进而求解.

【详解】因为，且，

所以，

故选：.

4．已知非零向量、满足，，则与的夹角为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用等式结合可求得，且有，利用平面向量的数量积求出，结合向量夹角的取值范围可得出结果.

【详解】由，可得，所以，，

因为，则，故，

所以，，

因为，因此，.

故选：C.

5．在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理边化角计算即可.

【详解】在中，，

则由正弦定理得：则，

因为三角形中，，故，

所以，则的形状一定为等腰三角形．

故选：B

6．如图，在中，设，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．

【详解】由于，，

故，

，

又因为，

故，

所以．

故选：C．

7．已知△ABC中，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，且O是边的中点，结合可得是等边三角形，从而推出，利用投影向量的定义即可求得答案.

【详解】由,知，且O是边的中点，

则,而，所以，

所以是等边三角形，所以,

因此向量在向量上的投影向量为，

故选：A

8．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；

法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；

法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.

【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，则，由，，则且，

又，，即，

∴，

由，有，解得，故.

法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，

∴.

由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.

由，，得，易知，，

∴，则，故，于是，又，

∴，即.

法三：设，由，，得，，

由，得，又，则.

又，

，

∴，于是，故.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（   ）

A．的周期为

B．若，则

C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数

D．函数在上有1个零点

【答案】BCD

【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.

【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，

因为的图象关于点对称，所以，得，

所以当时，，所以，故A错误；

对于B，，，

则分别为，则为半周期，即，故B正确；

对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C正确；

对于D，，即，

令，当时，，故仅有，故D正确．

故选：BCD.

10．已知函数，若存在，使，则的值可以是（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】BD

【分析】由题设，令得且，结合给定定义域区间有且，在满足存在两个整数，进而确定范围，即可得结果.

【详解】存在，使，即，

令，则且，故且，

所以，结合ω范围知：且，即在内至少存在两个值，

若，则，可得满足；

若，则，可得，又，故；

综上，.

故选：BD

11．在中，内角 所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A．若,则

B．若的三角形有两解，则a的取值范围为

C．若点O为内一点，且，则

D．若是锐角三角形，，则边长c的取值范围是

【答案】AD

【分析】根据正弦定理可判断A；利用正弦定理解三角形可判断B；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断C；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.

【详解】由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；

在中，，∴由正弦定理得,

∵，∴，

要使三角形有两解，得到，且，,

即，解得，故B错误；

如图，取中点D，连接，

则，∴，∴三点共线,

所以，

则，

∴，故C错误；

对选项D，因为是锐角三角形，

所以，整理可得，

解得，故D正确，

故选：AD

12．下列说法错误的是（    ）

A．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

B．若，则一定有使得

C．若，且，则和在上的投影向量相等

D．若，则与的夹角为

【答案】ABD

【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.

【详解】A. 若与是共线向量，则与方向相同或相反，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故A错误；

B. 若，，时，不存在使得，故B错误；

C.根据投影向量的定义和公式，可知C正确；

D.由，两边平方后得，且，两边平方后得，

，，

所以与的夹角为，故D错误.

故选：ABD

三、填空题

13．若与共线，则 ___．

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标表示，列式即可求得答案.

【详解】因为与共线，

故，

故答案为：

14．在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则______．

【答案】3

【分析】根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得.

【详解】解得：；

又，代入得：或；

根据余弦定理得：，

解得：；

故答案为：3

15．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则__________

【答案】

【分析】根据题意，列出与，根据诱导公式，化简求解即可.

【详解】由已知得，，，

故答案为：

四、双空题

16．如图，在中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则____________，的最小值为_____________.

【答案】     2     /

【分析】设，，由，，，共线及已知可得，从而有，然后利用基本不等式即可求解；

【详解】解：设，，

，，，共线，

，，

，

又

，，

，显然，，

所以

当且仅当且即，时取等号

故答案为：2；．

五、解答题

17．设，是两个不共线的向量．

(1)若，，求；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；

（2）根据向量平行的充要条件计算参数即可.

【详解】（1）因为，又向量夹角范围为[0,π]，

所以.

（2）因为，设，μ为实数，

即，则，即，

解得．

18．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式．

(2)先将的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像．当时，求的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据最值求出，再由周期求出，最后根据对称中心求出，可得解析式；

（2）先根据平移伸缩求出，再根据求出值域即可.

【详解】（1）根据图像可得，

，则，因为，所以．

将代入的解析式，得，

则，，

得，．

因为，所以，

所以．

（2）由（1）知，

将的图像向左平移个单位长度得，

再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

得的图像，

因为，所以，

则，

所以，

故在上的值域为

19．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

(1)求角的大小；

(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解.

【详解】（1）因为，

所以根据正弦定理可得，即，

由余弦定理可得，

因为，所以；

（2）由，

得，解得，

所以的面积为.

20．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；

(2)若在上有两根，求的取值范围.

【答案】(1)表格见解析，

(2)

【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得；

（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.

【详解】（1）补充表格:

由最大值为最小值为可知又，故

再根据五点作图法，可得，得

故

(2)令，则

所以=有两个根，转化为在上有两个根.

即在上有两个根.

由在的图像和性质可得：,

所以

故实数的取值范围为

21．函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为的图象与x轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由即可得，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；

（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得在上恒成立，令，按照、、分类，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意点的纵坐标为，为等边三角形，

所以三角形边长为2，所以，解得，

所以，

将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，

再向右平移个单位，得到；

（2）由题意，

所以恒成立，

原不等式等价于在上恒成立.

令，即在上恒成立，

设，对称轴，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.

22．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；

（2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可

【详解】（1）由条件得，           

由余弦定理得，            

因为，所以，       

得，即，      

因为，所以，                

又，所以．

（2）．         

因为为锐角三角形，

所以，且，所以．   

所以，

即的取值范围是．