河南省南阳市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

河南省南阳市2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

一、单选题

1．（　　）

A． B． C． D．

2．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

3．若为第三象限角且 ，则（　　）

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是（　　）

A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．若向量满足且同向，则

C．若三点满足则三点共线

D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为

5．将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则的一个可能值为（　　）

A． B． C． D．

6．已知函数，的部分图象如图，则 （　　）

A． B． C． D．

7．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

8．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列四个命题为真命题的是（　　）

A．若向量、、，满足，，则

B．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底

C．若向量，，则在上的投影向量为

D．若向量、满足，，，则

10．已知函数，则下面结论正确的是（　　）

A．的对称轴为

B．的最小正周期为

C．的最大值为，最小值为

D．在上单调递减

11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（　　）

A．若，则

B．，，，则

C．若为的内心，，则

D．若为的重心，则

12．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（　　）

A．的最小正周期是

B．若，则

C．若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有1个

D．若，则的取值范围是

三、填空题

13．请写出终边落在射线上的一个角　                                             　 (用弧度制表示).

14．在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则　     　.

15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为　     　℃.

16．为所在平面内一点，且满足

|则点为的　     　心.若，，，则　     　

四、解答题

17．已知向量，满足，.

（1）若，求；

（2）若与的夹角为，求.

18．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；

（2）若在上有两根，求的取值范围.

19．已知向量，．

（1）求的取值范围；

（2）求的最大值．

20． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 

（1）求 的三个角中最大角的大小；  

（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术 可以已知三边求三角形的面积.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求 的面积.  

21．已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，，求的面积．

22．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】.

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。

2．【答案】C

【知识点】解三角形

【解析】【解答】因为，，，

所以，所以满足条件的三角形有2个.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合正弦定理和解三角形的方法，进而找出满足条件的三角形的个数。

3．【答案】B

【知识点】运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】因为，则.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。

4．【答案】A

【知识点】向量的模；三点共线；象限角、轴线角；弧度制、角度制及其之间的换算

【解析】【解答】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，

且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A符合题意；

因为两个向量不能比较大小，所以B不符合题意；

由可得，

根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C不符合题意；

将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了，

所以分针转过的角的弧度数为，所以D不符合题意，

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法、向量不能比较大小的性质、平面向量基本定理和用向量共线定理判断三点共线的方法、角度与弧度的互化公式，进而找出说法正确的选项。

5．【答案】C

【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】将函数的图象沿轴向左平移 个单位后的函数为，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，进而得出，再结合特殊值代入法得出满足要求的的值。

6．【答案】C

【知识点】函数的图象；函数的值

【解析】【解答】由图象可知，，所以.

由可得，，所以.

又，所以，

所以，所以.

因为，所以，.

又，所以，所以，

所以，

所以.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合正切型函数的部分图象求出正切型函数的解析式，再结合代入法得出函数的值。

7．【答案】B

【知识点】平面向量的数量积运算

【解析】【解答】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，

则，直线所在直线方程为，

设，，则，，

，

当时，，当时，，

故其取值范围为，

故答案为：B.

【分析】由题意画出图形，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，再由平面向量数量积的运算可得答案.

8．【答案】A

【知识点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性

【解析】【解答】因为为锐角三角形，所以，

所以，所以

所以，A符合题意；

同理，，所以，B不符合题意；

同上，，所以，C不符合题意；

又时，，D不符合题意.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合锐角三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，得出，再利用诱导公式和正弦函数的单调性、余弦函数的单调性比较大小的方法，进而找出结论正确的选项。

9．【答案】B,C

【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间向量的投影向量

【解析】【解答】对于A选项，若且，，则、不一定共线，A不符合题意；

对于B选项，若向量，，则，则、不共线，

所以，、可作为平面向量的一组基底，B对；

对于C选项，因为向量，，

所以，在上的投影向量为

，C对；

对于D选项，因为向量、满足，，，

则，D不符合题意.

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合向量共线定理、向量共线定理判断平面向量基底的方法、数量积求投影向量的方法、数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而找出真命题的选项。

10．【答案】A,B,C

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；三角函数的周期性；图形的对称性

【解析】【解答】因为，

当时，即当时，

，即，

此时，；

当时，即当时，

，即，

此时，.

所以，.

作出函数的图象如下图中实线所示：

对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，

对任意的，

，

所以，函数的对称轴为，A对；

对于B选项，对任意的，

，

结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对；

对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，

要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，

因为，，

所以，，

因此，的最大值为，最小值为，C对；

对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D不符合题意.

故答案为：ABC.

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求对称轴的方法对称函数的对称轴，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合正弦型函数的图象求最值的方法得出函数f(x)的最值，再利用正弦型函数的图象判断函数f(x)的单调性，从而找出结论正确的选项。

11．【答案】A,C,D

【知识点】平面向量的基本定理；三角形五心；三角形中的几何计算

【解析】【解答】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；

对于B选项，由 ，，可知，

又，所以，

由可得，，，

所以，B不符合题意；

对于C选项，若为的内心，，则，

又（为内切圆半径），

所以，，故，C对；

对于D选项，如下图所示，

因为为的重心，延长交于点，则为的中点，

所以，，，且，，

所以，，由“奔驰定理”可得，D对.

故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合奔驰定理的定义，再结合向量相等的判断方法、三角形的面积公式、三角形内心和重心的性质，进而找出真命题的选项。

12．【答案】B,C,D

【知识点】子集与真子集；函数的图象；函数的值；三角函数的周期性

【解析】【解答】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，

所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，A不符合题意；

对于B，由，则的图像关于点对称，所以，B符合题意；

对于C，由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，

所以，所以，再结合A选项知，所以，

又，所以，所以，即满足条件的有且仅有1个，C符合题意；

对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，

所以，其中，解得，

当时，，当时，，

故的取值范围是，D符合题意．

故答案为：BCD．

【分析】利用正弦型函数的图象判断单调性的方法和函数在区间上单调递减，所以，进而得出的最小正周期的最小值；由结合函数的图象的对称性，则的图像关于点对称，进而得出的值；由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，再结合正弦型函数的最小正周期公式和A选项知，再利用，进而得出的取值范围，从而得出满足条件的的个数；由题意可知为单调递减区间的子集，所以，其中，进而得出的取值范围，当时，，当时，，从而得出的取值范围，进而找出结论正确的选项。

13．【答案】（满足即可，答案不唯一）

【知识点】终边相同的角；弧度制、角度制及其之间的换算

【解析】【解答】设的终边落在射线上，则为第一象限角，

取上的一个点，

根据三角函数的定义可得，，

又为第一象限角，

所以，取，可得.

故答案为：.

【分析】设的终边落在射线上，则为第一象限角，取上的一个点，根据三角函数的定义可得的值，再利用为第一象限角，从而得出，再结合特殊值代入法写出终边落在射线上的一个角。

14．【答案】2

【知识点】平面向量的基本定理；三点共线

【解析】【解答】

取基底，

由图可知，

因为，所以，

所以，显然.

又是的中点，所以，

所以.

又，

三点共线，所以，有，

即.

因为不共线，所以有，解得.

故答案为：2.

【分析】取基底，再利用平行四边形的结构特征和三角形法则以及向量共线定理和平面向量基本定理得出，所以，显然，再利用是的中点和平面向量基本定理得出，再结合平面向量基本定理得出，再利用三点共线，所以，有，即，再利用不共线，进而得出的值。

15．【答案】20.5

【知识点】三角函数模型的简单应用

【解析】【解答】据题意得 ，

解得 ，

所以

令 x=10 得 y=23+5cos[π6(10−6)]=23+5cos2π3=20.5 .

故答案为：20.5

【分析】利用已知条件得出 28=A+a ， 18=−A+a，从而解方程组得出A，a的值，从而得出三角型函数的解析式，再结合代入法得出10月份的平均气温。

16．【答案】垂；5

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；三角形五心

【解析】【解答】因为，

则，即，

即，

即，

即，

所以，，同理可得，，

故点为的垂心，

因为

，即，

因为，解得，

因此，，

解得，

因此，.

故答案为：垂；5.

【分析】利用，则，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，，同理可得，，故点为的垂心，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则和数量积的定义得出，再利用，进而解一元二次方程得出的值，再结合三角形法则和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而得出的值，再利用三角形法则和数量积的运算法则得出的值。

17．【答案】（1）解：若，方向相同，则；

若，方向相反，则.

（2）解：由已知可得，，

所以.

【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合共线向量的定义，从而结合分类讨论的方法和数量积的定义，从而得出 的值。
（2）利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，进而得出 的值。

18．【答案】（1）解：补充表格：

由最大值为最小值为可知又，故

再根据五点作图法，可得，得

故

（2）解：令，则

所以=有两个根，转化为在上有两个根.

即在上有两个根.

由在的图像和性质可得：，

所以

故实数的取值范围为

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；五点法画三角函数的图象；函数的零点与方程根的关系

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦函数五点法和换元法，从而填写完数据表，再结合数据表中的数据和函数的最值得出A的值，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用代入法和五点对应法得出的值，从而得出函数的解析式。
（2） 令和x的取值范围，再结合不等式的基本性质，从而得出t的取值范围，所以=有两个根，转化为在上有两个根.由在的图像和性质可得实数的取值范围。

19．【答案】（1）解：因为，所以，

又，则，所以，

所以．

（2）解：因为，，

则，

所以当时，取得最大值，且最大值为．

【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及余弦函数的值域和不等式的基本性质，进而得出 的取值范围。
（2）利用已知条件结合数量积的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，进而得出 为二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法得出 的最大值。
 

20．【答案】（1）解：∵ 、 、 ∴角 最大.由余弦定理得：  

，又角 为 内角，

∴ .

（2）解：在 中，

∵ ，且

∴

，即证.

当 、 、 时，

，

即 面积为 .

【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理

【解析】【分析】（1）根据大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形面积公式 ，以及 和 ，从而证明结论的成立，代入 、 、 ，即可求出三角形ABC面积．

21．【答案】（1）证明：因为，，且，所以，

由正弦定理可得，所以，所以为等腰三角形．

（2）解：因为，，且 ，

所以，                              

又，则，

因为， ，

则由余弦定理可得，解得， 

所以的面积为．

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断

【解析】【分析】（1）利用 ，，且，再结合向量共线的坐标表示和正弦定理得出，再结合等腰三角形的定义证出三角形为等腰三角形。
（2）利用 ，，且 ，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示和，则，再结合角A的值和余弦定理得出bc的值，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积。

22．【答案】（1）解：选择①②：

因为函数的图像过点，

所以，解得，

因为  所以

因为函数的图像关于点对称，则

可得，因为，所以，

所以.  

选择①③：

若函数的图像过点

所以，解得，因为所以

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，解得：.

所以.                 

选择②③：

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，解得：.

若函数的图像关于点对称，则

可得，因为  所以，

所以.

（2）解：当时，，

令，则，记，

则

因为在轴对称，

所以，即，

所以，即，

解得：

所以实数的范围是：.

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；图形的对称性

【解析】【分析】（1） 选择①②：利用函数的图像过点结合代入法和 进而得出的值，再利用函数的图像关于点对称，从而得出，再结合，从而得出的值，进而得出函数的解析式；

选择①③：利用函数的图像过点结合代入法和进而得出的值，再利用函

数相邻两个对称轴之间距离为和余弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而得出函数的解析式；

选择②③：利用函数相邻两个对称轴之间距离为和余弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用函数的图像关于点对称，则，再利用 从而得出的值，进而得出函数的解析式。
（2） 当时结合不等式的基本性质，则，令结合不等式的基本性质，则，记，再结合不等式的基本性质得出的取值范围，再利用 在轴对称，所以，即，再结合平方法和一元二次不等式求解方法得出实数的取值范围。