四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期第二次测试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：杨易 周南平 王雨洋
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的定义求解即可.
【详解】，故.
故选：D
2. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.
【详解】由题意，，解得，
所以，
故选：D
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定奇偶性，排除B，再由且时，恒成立，排除CD，从而得正确答案．
【详解】函数定义域是，
，是奇函数，排除B，
当且时，，所以，排除CD，
故选：A．
4. 已知函数，则的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性关系结合定义域求解即可.
【详解】因为为增函数，定义域为，故，则或.
又的对称轴为，故的单调减区间为.
故选：B
5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．
【详解】由已知，，所以，即，∴，
故选：D．
6. 若为偶函数，则（ ）
A. 1B. 0C. D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出参数的值，即可得解.
【详解】因为为偶函数，
所以，
即，所以，解得，
此时，经检验符合题意.
故选：B
7. 已知，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取对数后根据对数的换底公式及对数函数的单调性得解.
【详解】因为，
所以，，，
因，
所以，
故选：C
8. 定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式与性质作图，再分析的零点个数即可.
【详解】当时，，且，
则当时，，
当时，，
当时，，
可作出与的图像：
函数的零点即与的交点，故在上的零点个数为7.
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 小于的角是锐角
B. 与终边相同的角可表达为，
C. 钝角是第二象限角
D. 经过4小时，时针转了
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据任意角与锐角的定义判断即可；对B，根据弧度与角的关系判断即可；对C，根据钝角的定义判断即可；对D，根据4小时时钟的旋转角度占时钟一周角的比例，结合角度的定义判断即可.
【详解】对A，小于的角还包括和负角度的角，故A错误；
对B，，其终边与角相同，又，也为终边与角相同的角，故B正确；
对C，钝角是第二象限角，故C正确；
对D，时钟旋转为顺时针，故经过4小时，时针转了，故D正确.
故选：BCD
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 若，且，则，至少有一个大于1
B. “，则”的否定是“，则”
C. 已知，，则的取值范围是
D. 设，，则“”是“”的充要条件
【答案】AB
【解析】
【分析】运用反证法判断A，运用全称量词命题的否定知识判断B，运用不等式性质计算判断C，运用充要条件，结合对数性质判断D.
【详解】对于A，假设且，那么，这与已知矛盾，
所以若且，则，至少有一个大于，A正确，
对于B，全称命题“，则”的否定就是特称命题“，则”，B正确，
对于C，已知，则，
又因为，得到，即，C错误，
对于D，若，根据对数函数的性质，可得，那么，
反之，若，当时，和无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件，D错误.
故选：AB.
11. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式基本性质判断C选项，运用“1”的代换结合基本不等式判断D.
【详解】因为，，
对于A，，当且仅当时取等号，故A选项正确；
对于B，，
故，当且仅当时取等号，故B选项错误；
对于C，∵，∴，∴在R上单调递增，
∵，∴，即，故C选项正确；
对于D，由得，

，
当且仅当，即时，等号成立，故D选项正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：
13. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由的范围求得的范围，用换元法结合二次函数性质求得的最小值即可得的范围．
【详解】时，，设，则，
，
∴时，
所以，
故答案为：．
14. 设是函数的零点，是函数的零点，则_____.
【答案】2
【解析】
【分析】运用零点定义构建与两个函数相关的等式，结合对数函数性质，找到与之间的联系即可.
【详解】已知是的零点，则，即 .
因为是的零点，所以，移项可得.
令，则，那么，即.
对比与，发现，当和时函数值相等.
容易知道在单调递增，则也是单调递增函数，所以，即.
将移项可得.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
16. “大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）9.5分钟
【解析】
【分析】（1）代入求解即可；
（2）根据题意列式求解方程即可.
【小问1详解】
茶水温度从开始
当时，，
【小问2详解】
当时，
当时，
刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感
17. 若.
（1）若过点，求解集；
（2）存在使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点求出，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；
（2）根据对数的运算法则化简，转化为存在x∈2,+∞使有解，分离参数后换元利用二次函数求值域得解.
【小问1详解】
由y=fx过可得，
则，解得（负值舍去），
在0,+∞上为增函数，
由得，
，
所求解集为
小问2详解】
，，
，
，
存在使得，
存在x∈2,+∞使
即，
令，x∈2,+∞，则，
由开口向下，对称轴为，
所以在上为减函数，所以，
，又，
，
即的取值范围0,1
18. 已知过点，且满足.
（1）求在上的最小值.
（2）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）已知条件代入可求得，然后根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值；
（2）利用一元二次方程根的分布知识求得的范围，利用韦达定理表示出，再结合换元法，基本不等式求得最小值．
【小问1详解】
由题，
，
当时，在上单调递增，
，
当即时，
在上单调递减，上单调递增，
，
当即时，在上单调递减，
，
【小问2详解】
，
有两个不相等的不动点，且，
即有两个不等的正根，
，解得，
，，
，
，
令，，则，，
，
（当且仅当，即时取“”），
的最小值为6．
19. 已知函数是上的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）运用奇函数的性质，计算即可；
（2）运用函数单调性新定义，结合作差法比较大小证明即可；
（3）运用函数单调性得到不等式，结合换元和基本不等式计算即可.
【小问1详解】
由题，为奇函数，
，
即，（负值舍去）.
【小问2详解】
在上单调递减，下证明；
，且，
.
，
.
，，
即，
即，
即，
，
即得证在R上单调递减.
【小问3详解】
，
在R上单调递减，
存在，使，
即，
令，，
，，
（当且仅当时取“=”），
即，
的取值范围.