四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：李五强审题人：游婷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4 已知，则（）
A. B. C. D.
5. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6. 已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（）
A. B. C. D.
7. 函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列函数中最小值为4是（）
A. B.
C. D.
10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（）
参考公式：，
A. 当时，
B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
C. ，时，成对样本数据相关系数满足
D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足
11. 对任意，，函数，都满足，则（）
A B.
C. 的极小值点为D. 是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______.
13. 已知正实数满足，则______.
14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，证明：.
16. 已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
17. 已知函数，
（1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 x=-1对称，试求；
（2）证明；
（3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
18. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与BD的交点，.
（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
（2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.
19. 已知有限集，若，则称为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于；
（3）若为“完全集”，且，求.