2024七年级数学下册第3章因式分解综合素质评价试卷（附解析湘教版）

这是一份2024七年级数学下册第3章因式分解综合素质评价试卷（附解析湘教版），共6页。

第3章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.(母题：教材P57习题T2)下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(　　)A.ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋d B.(x＋2)(x－2)＝x2－4C.6ab＝2a·3b D.x2－8x＋16＝(x－4)22.多项式3a3b2＋9a3bc因式分解时，应提取的公因式是(　　)A.3a3b2 B.9a3b2c C.3a3b3 D.3a3b3.下列多项式中，不能进行因式分解的是(　　)A.a2－4 B.a2＋6a＋9 C.a2＋16 D.9a2－6a＋14.[2023·淮北一中校联考]下列因式分解正确的是(　　)A.x2y－xy2＝y(x＋y)(x－y) B.－x2y＋y3＝－y(x＋y)(y－x)C.x3y－2x2y＋xy＝xy(x＋1)(x－1) D.xy3－2xy2＋xy＝xy(y－1)25.若二次三项式x2＋mx－8可分解为(x－4)(x＋2)，则m的值为(　　)A.1 B.－1 C.－2 D.26.[2023·青岛大学附中月考]已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是(　　)A.2 B.3 C.4 D.67.(母题：教材P69复习题T5(1))计算：1252－50×125＋252＝(　　)A.100 B.150 C.10 000 D.22 5008.(母题：教材P42说一说)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①)，然后拼成一个平行四边形(如图②).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为(　　)A.a2－b2＝(a－b)2B.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C.a2－b2＝(a＋b)(a－b)D.(a－b)2＝a2－2ab＋b29.小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志.现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息应是(　　)A.勤奋健美 B.健美励志 C.励志勤奋 D.勤奋美志10.已知a＝2b－2，则代数式a2－4ab＋5b2的最小值为(　　)A.0 B.2 C.4 D.无法确定二、填空题(每题3分，共24分)11.18x3y2与12x6y的公因式为　　　　.12.[2023·无锡]因式分解：4－4x＋x2＝　　　　.13.[2022·苏州]已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝　　　　.14.观察填空：如图，各块图形面积之和为a2＋3ab＋2b2，因式分解a2＋3ab＋2b2＝　　　　.15.如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么k的值是　　　　.16.]因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解正确的结果为　　　　.17.已知x，y是二元一次方程组x－2y=3，2x+4y=5的解，则代数式x2－4y2的值为　　　　.18.分解下列因式：x2－6x＋9＝(x－3)2；25x2＋10x＋1＝(5x＋1)2；4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2.(1)观察上述三个多项式的系数，有(－6)2＝4×1×9，102＝4×25×1，122＝4×4×9，于是小明猜测：若多项式ax2＋bx＋c(a＞0)是完全平方式，那么系数a，b，c之间一定存在某种关系，请你用数学式子表示小明的猜想：　　　　　；(2)若多项式x2＋ax＋c和x2＋cx＋a都是完全平方式，利用(2)中的规律求得ac的值是　　　　.三、解答题(19题12分，20题6分， 21题8分，其余每题10分，共66分)19.把下列各式因式分解：(1)2x2－4x＋2； (2)－5x2y2＋10xy3－15x2y；(3)[2023·绥化]x2＋xy－xz－yz； (4)a4－8a2b2＋16b4.20.(母题：教材P70复习题T10)已知a＋b＝72，ab＝2，求12a3b＋a2b2＋12ab3的值.21.232－1可以被10和20之间某两个整数整除，求这两个数.22.已知a，b，c分别是三角形ABC的三边长.(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断三角形ABC的形状，并说明理由.23.(母题：教材P52复习题T8)如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪.(1)求种草坪的面积是多少平方米.(2)当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？24.观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，….(1)尝试：132－112＝8×　　　　；(2)归纳：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8×　　　　(用含n的代数式表示，n为正整数)；(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.25.[2023·怀化雅礼中学开学测试]【例题讲解】因式分解：x3－1.因为x3－1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积，故我们可以猜想，x3－1＝(x－1)(x2＋ax＋b)，展开等式右边得x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b，所以x3－1＝x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b恒成立.所以等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即a－1=0，b－a=0，－b＝－1，解得a=1，b=1，所以x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若x2－mx－12＝(x＋3)(x－4)，则m＝　　　　；(2)若x3＋3x2－3x＋k有一个因式是x＋1，求k的值及另一个因式.答案一、1.D　2.D　3.C4.D 【点拨】A.x2y－xy2＝xy(x－y)，故A不符合题意；B.－x2y＋y3＝－y(x＋y)(x－y)，故B不符合题意；C.x3y－2x2y＋xy＝xy(x－1)2，故C不符合题意；D.xy3－2xy2＋xy＝xy(y－1)2，故D符合题意.故选D.5.C　【点拨】由题意得，x2＋mx－8＝(x－4)(x＋2)，所以x2＋mx－8＝x2－4x＋2x－8，所以x2＋mx－8＝x2－2x－8.所以m＝－2.6.C　7.C　8.C　9.A　【点拨】(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a－b)(a＋b).根据题意可得对应的密码文字为“健”“奋”“勤”“美”.10.C二、11.6x3y　12.(2－x)2　13.2414.(a＋b)(a＋2b)　【点拨】根据题意可得，各块图形面积之和为a2＋3ab＋2b2，根据长方形面积公式可得，整个图形面积为(a＋b)(a＋2b)，所以a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b).15.±1616.(x－3)(x＋2)　【点拨】因为甲错了a的值，(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，所以b＝－6，因为乙看错了b的值，(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，所以a＝－1，所以x2＋ax＋b因式分解正确的结果为x2－x－6＝(x－3)(x＋2).17.15218.(1)b2＝4ac　(2)16 【点拨】(1)因为x2－6x＋9＝(x－3)2，对比多项式ax2＋bx＋c(a＞0)有a＝1，b＝－6，c＝9，所以由(－6)2＝4×1×9可知b2＝4ac.同理，对于25x2＋10x＋1＝(5x＋1)2，4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，由102＝4×25×1，122＝4×4×9，均可得到b2＝4ac.所以用数学式子表示小明的猜想：b2＝4ac.(2)由(1)中猜想，当多项式x2＋ax＋c是完全平方式时，a2＝4c；当多项式x2＋cx＋a是完全平方式时，c2＝4a，所以16ac＝(ac)2.因为x2＋ax＋c和x2＋cx＋a都是多项式，所以a与c不能同时为0.若a＝0，则x2＋ax＋c＝x2＋c，x2＋cx＋a＝x2＋cx，不可能为完全平方式；若c＝0，则x2＋ax＋c＝x2＋ax，x2＋cx＋a＝x2＋a，不可能为完全平方式.所以ac≠0，所以16ac＝(ac)2两边同时除以ac得到16＝ac.三、19.【解】(1)原式＝2(x2－2x＋1)＝2(x－1)2.(2)原式＝－5xy(xy－2y2＋3x).(3)原式＝x(x＋y)－z(x＋y)＝(x＋y)(x－z).(4)原式＝(a2－4b2)2＝(a－2b)2(a＋2b)2.20.【解】12a3b＋a2b2＋12ab3＝12ab(a2＋2ab＋b2)＝12ab(a＋b)2.因为a＋b＝72，ab＝2，所以原式＝12×2×722＝494.21.【解】232－1＝(216)2－1＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28－1)＝(216＋1)(28＋1)(24＋1)(24－1).因为24＝16，所以24＋1＝17，24－1＝15.所以232－1能被15和17整除.所以所求的两个数为15和17.22.【解】(1)ac－bc＝c(a－b)；－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.(2)三角形ABC是等腰三角形.理由：因为ac－bc＝－a2＋2ab－b2，所以c(a－b)＝－(a－b)2，c(a－b)＋(a－b)2＝0，(a－b)(c＋a－b)＝0.因为a，b，c分别是三角形ABC的三边长，所以c＋a－b＞0.所以a－b＝0，即a＝b.所以三角形ABC是等腰三角形.23.【解】(1)种草坪的面积是(a2－4b2) m2.(2)当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)×(84－2×8)＝100×68＝6 800(m2).　所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元).24.【解】(1)6　(2)n(3)(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n.25.【解】(1)1(2)设多项式x3＋3x2－3x＋k的另一个因式为(x2＋ax＋b)，则x3＋3x2－3x＋k＝(x＋1)(x2＋ax＋b)＝x3＋(a＋1)x2＋(a＋b)x＋b.所以a＋1＝3，a＋b＝－3，b＝k，所以a＝2，b＝－5，所以k＝－5，即k的值为－5，另一个因式为x2＋2x－5.