2024年安徽省合肥市经开区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在0、 、、3这四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
根据“负数0正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
【详解】解：∵，
∴最小，
故选：B．
2. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图的定义即可进行解答．
【详解】解：从上方观察，可得到选项D的图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了俯视图的定义，解题的关键是掌握从上往下看是俯视图．
3. 2023年合肥经开区达到亿元．连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意用移动小数点的方法确定值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可，其中，n为整数．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：∵亿元（元）
故选：C
4. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，由三角板中角度的特点可得，则，即可判断A；由平角的定义即可判断B；过点F作，则，由平行线的性质得到，进而求出，即可判断C；再由平角的定义即可得到，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
如图所示，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
6. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种，
∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为，
故选：C
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题关键．
7. 2023年以来，某厂生产电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设成本下降率均为，根据题意，得，解答即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题关键．
【详解】根据题意，得，
故选D．
8. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
9. 如图，直线与坐标轴交于点、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直线与坐标轴交于点、，得到,结合，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了图象于坐标轴的交点，正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．
【详解】∵直线与坐标轴交于点、，
∴,
∴,
∴,
∵，，
∴，
∴，
解得,
∴，
故选：A．
10. 如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，连接，取的中点，连接，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用三角函数求出的最小值即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴当时，取最小值，此时，的值也最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
此时，的最小值为，
故选：．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：ab2－16a＝_______．
【答案】a（b＋4）（b－4）
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式，可得答案．
【详解】ab2－16a=a（b2－16）=a（b＋4）（b－4）
故答案为：a（b＋4）（b－4）．
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，计算即可．
【详解】∵一元二次方程有实根，
∴，
解得，
故答案为：．
13. 如图，的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知的面积是5，则点B的坐标为_________．
【答案】（3，3）
【解析】
【分析】由点D坐标求出k=4，直线OB的表达式为y=x，设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，由平行四边形的面积公式求出x值即可解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的表达式为，
∵点D在对角线OB上，
∴设直线OB的表达式为y=mx，
∴2=2m，则m=1，
∴直线OB的表达式为y=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA，
设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，
∵OABC的面积是5，
∴（x﹣）·x=5，解得：x=±3，
∵x＞0，∴x=3，
∴点B坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点坐标特征、平行四边形的性质、图形与坐标，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质是解答的关键．
14. 在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处．
（1）当点落在矩形对角线上时，则的长为___________
（2）当是以为腰的等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】 ①. 3 ②. 或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，得到，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可．
（2）分和，两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
【详解】（1）矩形中，，，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
设，则，
∴
解得．
故答案为：3．
（2）当时，
过点F作于点M，于点G，
∴四边形是矩形，，
∴，
根据折叠的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点F作于点M，延长交于点N，
∴，
∴直线是矩形的对称轴，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，则，
∴
解得．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根，零指数幂，特殊角的函数值计算即可，本题考查了算术平方根，零指数幂，特殊角的函数值，熟练掌握公式和函数值是解题的关键．
【详解】解：
．
16. 某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求参加研学的学生人数．
【答案】190
【解析】
【分析】设每辆车能乘坐x人，根据题意，得，解方程即可．本题考查了一元一次方程的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键．
【详解】设每辆车能乘坐x人，
根据题意，得，
解得，
故（人），
答：参加研学的学生有190人．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、均在小正方形网格的格点上．
（1）画出关于轴的对称图形（点的对应点分别为）．并写出的坐标；
（2）在第三象限内的格点上找点，连接．使都．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）作图见解析，、、 ；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）作、、关于轴对称的点，连接各点即可；
（）以为边构造等腰直角三角形即可；
本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角，熟练掌握作图的基本要领是解题的关键．
小问1详解】
如图，作、、关于轴对称的点、、，
∴即为所求；
【小问2详解】
如图，以为边构造等腰直角三角形，
由网格可知，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点即为所求．
18. 某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；….
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；
（2）若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
（3）当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
【答案】（1），
（2）正方形地砖有块，三角形地砖有块
（3）正方形地砖和三角形地砖的总数量为块
【解析】
【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键．
（1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解；
（2）根据（1）中的数量关系列式求解即可；
（3）把代入上述的数量关系式即可求解．
【小问1详解】
解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
，
∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块，
∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；
【小问3详解】
解：当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块），
∴（块），
∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见详解 （2）10
【解析】
【分析】（1）由是弧的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出，即可证明出结论．
（2）证明出，由，设，根据勾股定理求出，再求出直径即可．
【小问1详解】
证明：是弧的中点，
，
，且是的直径，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
即,
或（舍去）
，
，
，
的半径为10．
【点睛】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
20. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点G，作于点F，先求，再计算，结合计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】过点A作于点G，作于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
六、（本大题2小题，满分12分）
21. 在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；
（3）该校共有3600名学生，估计在2023年读课外书的数量超过20本的学生有多少名？
【答案】（1）见解析 （2）D组，见解析
（3）1260
【解析】
【分析】（1）先计算样本容量（人），根据表中数据即可得到结论；
（2）根据中位数的定义，计算判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想计算即可得到结论．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数等等，正确的理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得样本容量（人），
∴C组的人数为（人），
补图如下：
【小问2详解】
根据题意，中位数应是第50个数据，第51个数据的平均数，
∵A组数据为5个，B组数据为15个，C组数据为25个，
∴，
故中位数落在D组中．
【小问3详解】
根据题意，得在2023年读课外书的数量超过20本的学生有（名）．
七、（本大题2小题，满分12分）
22. 如图①，在中，，，点为上一点，连接，点是的中点，连接，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）如图②，连接，解决以下问题：
①求的度数；
②求证：
【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据，证明即可．
（2）①根据，判定四点共圆，得．
②过点E作，交于点M，证明是等腰直角三角形，再证明，结合勾股定理即可得．
【小问1详解】
∵，，点是的中点，
∴，
∵，
∴
∴．
【小问2详解】
①∵，，点是的中点，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴．
②过点E作，交于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了三角形相似，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似，四点共圆，三角形全等是解题的关键．
八、（本大题2小题，满分14分）
23. 如图（1）是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
（3）将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处（），如图（3）．
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】（1）
（2）
（3）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到,，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则，
故的最大值为．
【小问1详解】
∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴,，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为．
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴的对称点为,
∵，
∴平移后，
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴；
设直线的解析式为，
∴，
解得；
∴，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴．
【小问3详解】
①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S，
∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．
∴，，
∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵抛物线的解析式为，
设点N是抛物线上的一点，且，；
过点N作轴，交于点G，
∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
∴，
∵，
∴，
过点G作轴于点E，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴时，取得最大值，且最大值为，
过点N作于点H，
则，
故的最大值为，
故液体的最大深度为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．2023年学生的读书数量分组
0~3本
4~8本
9~14本
15~20本
超过20本