2024年安徽省合肥市长丰县中考一模数学试题(原卷版+解析版)
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注意事项:
1.满分150分,答题时间为120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 下列各数中,是正数的是( )
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的分类,根据正数是大于0的数进行求解即可.
【详解】解:由正数的定义可知四个数中,只有是正数,
故选:A.
2. 近日,随着国家管网罗集末站至电厂的阀门缓缓开启,来自中国石油的天然气进入到了安微省首批天然气调峰电厂——合肥长丰皖能天然气调峰电厂.合肥长丰皖能天然气调峰电厂是安徽省“十四五”电力保障供应重点项目之一,包括2台45万千瓦机组,年倞用天然气约3.7亿立方米,年发电量预计19亿千瓦时,数据“19亿”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数,一般形式为,其中,n可以用整数位数减去1来确定.用科学记数法表示数,一定要注意a的形式,以及指数n的确定方法.
【详解】解:19亿用科学记数法表示为.
故选:B.
3. 如图,这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体,则该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图;
俯视图是从上面看得到的图形,注意看得见的棱用实线表示.
【详解】解:由图得:该几何体的俯视图是 ,
故选:B.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项、负整数指数幂及完全平方公式,熟练掌握以上知识点是解题的关键.
利用同底数幂相乘、相除的运算法则及完全平方公式进行计算即可逐一判断.
【详解】解:A、,故本选项不符合题意;
B、与不能合并同类项,故本选项不符合题意;
C、,故本选项符合题意;
D、,故本选项不符合题意.
故选:C.
5. 如图,已知直线,将含角的直角三角板按如图所示的方式放置.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质,三角板的特点.掌握平行线的性质是解题关键.由三角板的特点可知,再根据“两直线平行,内错角相等”求解即可.
【详解】解:如图,
由含角的直角三角板的特点可知.
∵,
∴.
故选A.
6. 安徽某景区在今年元旦第一天接待游客5万人次,元旦假期结束后,统计元旦三天共接待游客18.2万人次.设该景区从元旦节第一天到第三天接待游客人次的平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,根据题意列出一元二次方程是解题的关键.设游客每月的平均增长率为,根据元旦第一天及元旦三天接待游客人次数,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.
【详解】解:设接待游客人次每月平均增长率为,
根据题意可列方程为,
故选:D
7. 一组数据:7,5,9,6,9,12.下列关于这组数据的说法错误的是( )
A. 众数是9B. 中位数是9C. 平均数是8D. 方差是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数与中位数、平均数与方差,熟记各定义和计算公式是解题关键.根据众数与中位数的定义、平均数与方差的计算公式求解即可得.
【详解】解:A、在这组数据中,9出现的次数最多,
所以这组数据的众数是9,此项正确,不符合题意;
B、将这组数据按从小到大进行排序为,
所以这组数据的中位数是,此项错误,符合题意;
C、这组数据的平均数是,此项正确,不符合题意;
D、这组数据的方差是,此项正确,不符合题意;
故选:B.
8. 如图,菱形的对角线交于点,于点,若,,则的长为( )
A. 12B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质,解直角三角形,解直角三角形求出是解决本题的关键.
由菱形的性质得出,根据余弦求出,再根据勾股定理求解即可.
【详解】解:∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
故选:C.
9. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示,则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质,先根据一次函数、反比例函数的图象得到的符号,进而由判断出抛物线与轴的交点位置、对称轴位置,又结合可知抛物线开口向上,据此即可求解,掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解:由反比例函数的图象可得,,
由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得,,
∵,
∴二次函数与轴的交点在轴的正半轴上,
∵抛物线的对称轴,
∴抛物线的对称轴位于轴的左侧,
又∵,
∴抛物线开口向上,
故选:.
10. 如图,E是线段上一点,在线段的同一侧分别以为斜边做等腰直角和等腰直角,,分别是,的中点.若,则下列结论错误的是( )
A. 的最小值为B. 的最小值为3
C. 周长的最小值为D. 面积的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】A、如图,延长交于点P,过点F作直线,可证四边形是矩形,直线是的中位线,且点在直线上运动,作点A关于直线的对称点,连接,由“将军饮马”模型可求;
B、连接,当时,即点与点重合时,最小.是等腰直角三角形,,故本选项不符合题意;
C、由四边形是矩形,结合的最小值为3,可求周长的最小值;
D、设,,进而即可判断.
【详解】A、如图,延长交于点P,过点F作直线.和分别是以为斜边的等腰直角三角形,,,,四边形是矩形.是的中点,是的中点.直线,直线是的中位线,且点在直线上运动.作点A关于直线的对称点,连接,则.当,,三点共线时,最小.,,.在中,,故本选项不符合题意;
B、连接,当时,即点与点重合时,最小.等腰直角三角形,,故本选项不符合题意;
C、四边形是矩形,,的周长为.的最小值为3,,的周长的最小值为,故本选项不符合题意;
D、设,则.,.当时,有最大值,最大值为,故本选项符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题,涉及等边三角形的性质及应用,三角形面积等知识,解题的关键是求出的运动轨迹是直线.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11. 函数的自变量x的取值范围是___.
【答案】
【解析】
【详解】解:在实数范围内有意义,
则;解得
故答案为
12. 因式分解:_________.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式,后用公式法分解即可.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握提取公因式,公式法分解因式是解题关键.
13. 七巧板是我们祖先的一项伟大创造,被誉为“东方魔板”.在一次“美术制作”活动课上,小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板,并设计了一幅作品放入矩形中(如图2),则的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了七巧板的应用,掌握七巧板的相关结论是解题关键.
【详解】解:如图,
∵正方形纸片边长为4
∴其对角线长为:;
由七巧板的切割方法可知,,
,,,,
.
故答案为:
14. 如图,在平面直角坐标系中,是边长为4的等边三角形,反比例函数的图象经过边OA的中点C.
(1)_______.
(2)若反比例函数的图象与边AB交于点D,则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1)利用角的直角三角形的性质结合勾股定理求出点C坐标即可;
(2)先求直线AB与反比例函数图像的交点,再过点D作的垂线,解三角形即可.
【详解】(1)解:过点C作轴于点E,
∵是边长为4的等边三角形,
∴,,
∵ C为 中点,轴,
∴在中,,
∴,∴,
∴点C坐标为,代入,得,
故答案为:.
(2)解:过点A作于F,过点D作于H,
同理可求点,而,
设,代入A、B得:
,
解得:,
∴
联立:,
解得: 或(舍),
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式,反比例函数与一次函数交点的求解,以及锐角三角函数的应用,正确添加辅助线是解题的关键.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 解不等式组:
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组,分别算出每个不等式的解集,再取它们的公共部分的解集,即可作答.
【详解】解:
解不等式①,得;
解不等式②,得,
故不等式组的解集为.
16. 某超市购进一批商品,在销售的过程中发现商品比较畅销,准备第二次购入.第二次购进商品的单价比第一次购进的单价贵3元,已知该超市第一次用360元购进商品的件数与第二次用480元购进商品的件数相同.问该超市第一次购进商品的单价是多少元?
【答案】9元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.设该超市第一次购进商品的单价是元,则第二次购进商品的单价是元,根据该超市第一次用360元购进商品的件数与第二次用480元购进商品的件数相同.列出分式方程,解方程即可.
【详解】解:设该超市第一次购进商品的单价是元.
根据题意,得,
解得.
经检验,是原方程的解,且符合题意.
答:该超市第一次购进A商品的单价是9元.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 如图,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C均为格点(网格线的交点).
(1)以点C为旋转中心,将线段绕点C旋转得到线段,画出线段.
(2)平移线段得到线段,使点B与点C重合,画出线段.
(3)用无刻度的直尺画出线段的中点M.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-中心对称变换、平移变换,熟记中心对称变换、平移变换的性质是解题的关键.
(1)根据中心对称的性质找出对应点即可求解;
(2)根据平移的性质找出对应点即可求解;
(3)根据网格图及矩形的性质找出所求点即可求解.
【小问1详解】
如图,线段即为所求.
【小问2详解】
如图,线段CD即为所求.
【小问3详解】
如图,点M即为所求.
18. 如图,第1个图案中“◎”的个数为,“●”的个数为;
第2个图案中“◎”的个数为,“●”的个数为;
第3个图案中“◎”的个数为,“●”时的个数为;
……
(1)在第个图案中,“◎”的个数为_____,“●”的个数为_______.(用含的式子表示)
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律,求正整数,使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的.
【答案】(1);
(2)6
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律,能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键.
(1)根据所给图形,发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题.
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题.
【小问1详解】
由题知,
第1个图案中“〇”的个数为,“●”的个数为;
第2个图案中“〇”的个数为,“●”的个数为;
第3个图案中“〇”的个数为,“●”的个数为;
,
所以第个图案中“〇”的个数为,“●”的个数为;
故答案为:,.
【小问2详解】
由题知,
,
解得或6,
因为为正整数,
所以.
故正整数的值为6.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 如图,点A,B是某条河上一座桥的两端,某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时,测得点到桥的另一端点的俯角为,无人机由点继续竖直上升10米到点,测得桥的另一端点的俯角为,求桥的长.(结果精确到,参考数据:,,,,,)
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.根据题意可得:,,从而可得,,然后分别在和中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,从而列出关于的方程,进行计算即可解答.
【详解】解:根据题意,得,,米.
在中,,
.
在中,,
.
米,
,
解得米.
答:桥的长约为米.
20. 如图,四边形内接于,,,过点C作,使得,交的延长线于点E.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)如图,连接,根据推出,再证明,,进而证明,即可证明.
(2)先证明是的直径,得到.由(1)可得.在中求出;在中,.
【小问1详解】
证明:如图,连接.
,
,
.
,
,.
,,
,
.
在与中,
,
.
【小问2详解】
解:如图,连接.
,
是的直径,
.
由(1)可得.
,
.
在中,;
在中,.
【点睛】本题主要考查了弧,弦,圆周角之间的关系,圆内接四边形的性质,等边对等角,勾股定理,90度圆周角所对的弦是直径,直径所对的圆周角是直角,全等三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.
六、(本题满分12分)
21. 某校举行体能测试,测试后,将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级,并将结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.
请你根据统计图信息,解答下列问题.
(1)参加体能测试的学生共有_____名;在扇形统计图中,表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为______;图中m的值为______.
(2)补全条形统计图.
(3)等级为D的学生中有4名来自九年级(1)班,这4名学生中有两名是女生,李老师准备从这4名学生中随机选出2名学生,请用画树状图或列表的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率.
【答案】(1)
(2)见解析 (3)
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题,以及概率的应用,旨在考查学生的数据处理能力.
(1)根据等级条形统计图和扇形统计图的数据即可求解,根据D等级所占比例即可求解;
(2)计算出等级的人数即可求解;
(3)画出树状图,确定可能出现所有结果以及满足条件的结果数,即可求解.
【小问1详解】
解:参加体能测试的学生共有:(名);
表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为:;
;
故答案为:
【小问2详解】
解:等级的人数为:(人)
补全条形统计图如下:
【小问3详解】
解:画出树状图如下:
一共有种等可能的情况,恰好是一男一女的情况有种,
∴恰好是一男一女的概率是:
七、(本题满分12分)
22. 已知抛物线与轴交于,两点,与轴的负半轴交于点,且,连接BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是抛物线上位于BC下方的一动点,且点P的横坐标为t.
①求的最大面积.
②是否存在一点,使,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)①2;②存在,1或2
【解析】
【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)①根据三角形面积公式和二次函数最值进行求解即可;②过点作轴,根据列式,再利用,,求解即可;
本题主要考查二次函数的综合运用,掌握待定系数法和数形结合的方法是解题的关键.
【小问1详解】
解: 点,,且点在轴负半轴,
点.
设抛物线的解析式为.
将点,代入,
得解得
抛物线的解析式为.
【小问2详解】
①点的横坐标为,
∴点的纵坐标为,
.
当时,最大,最大值为2.
②存.
如图,过点作轴,则,,,
.
,,
,解得,,
的值为1或2.
八、(本题满分14分)
23. 在四边形中,,平分,连接交于点E.
(1)如图1,求证:.
(2)如图2,,F是的中点,且,与交于点G,连接,.
①求证:.
②若,求的值.
【答案】(1)见解析 (2)①见解析;②
【解析】
【分析】(1)过点作于点,于点,过点A作于点H,由角平分线的性质可得,根据与的面积之比即可证明;
(2)①由与平分证得,得到,从而证得G,,,四点共圆,得到,再证,即可得证结论;
②设,,则,由勾股定理求得,,由,得到.
【小问1详解】
证明:如图,过点作于点,于点,过点A作于点H,
平分,,,
.
,
又,
.
【小问2详解】
①证明:,
.
平分,
,
,
.
,
,
,,,四点共圆,
.
是AD的中点,,
,
.
,
,即,
.
,
.
②,
设,,则,
∴,
在中,.
是AD的中点,
.
在中,.
由①,可得,
.
【点睛】本题考查角平分线的性质,勾股定理,直角三角形的性质,相似三角形的判定及性质,求锐角三角函数值.熟练掌握相关知识,运用相似三角形的判定及性质是解题的关键.