2022-2023学年浙江省宁波市江北实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市江北实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是( )
A. x−2y=3B. x+xy−3=0C. 2x+yD. 2x−y=1
2.研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为( )
A. 125×10−9B. 12.5×10−8C. 1.25×10−7D. 1.25×10−6
3.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )
A. (a2)3=a5B. 2a−a=2C. (3a)2=6aD. a⋅a3=a4
4.如图，AB/​/CD，点O在AB上，OE平分∠BOD，若∠CDO=100°，则∠BOE的度数为( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
5.如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4
C. ∠BAD+∠ABC=180°D. ∠BAC=∠ACD
6.若s+t=4，则s2−t2+8t的值是( )
A. 8B. 12C. 16D. 32
7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为( )
A. x+y=1003x+3y=300B. x+y=100x+3y=100
C. x+y=10012x+3y=300D. x+y=1003x+13y=100
8.已知mx=2，my=5，则m2x+y值为( )
A. 9B. 20C. 45D. m9
9.已知关于x、y的二元一次方程(m−2)x+(m−3)y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是( )
A. x=3y=−1B. x=1y=−3C. x=−1y=3D. x=−3y=1
10.已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a(b>a).如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，记阴影部分的面积为S1；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，记阴影部分面积为S2和S3.若S1=16，S2=4，则S3的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：3a−3ab2= ______．
12.如果x=−2y=a是方程2x+3y=5的一个解，则a= ．
13.下列说法正确的是______．
①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论k取任何实数，多项式x2−ky2总能分解成两个一次因式积的形式；
③已知二元一次方程组x+y=6ax+y=4的解也是二元一次方程x−3y=−2的解，则a的值是0.5；
④若x=2m+1，y=4m−3，则y=x2−4．
14.如图，将边长为10cm的等边三角形DEF沿边FE向左平移6cm，得到△ABC，则梯形ABFD的周长为 cm．
15.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题.如图所示，已知AB/​/CD，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E的度数是 ．
16.若关于x.y的方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，则方程组a(x−1)−3by=3cm(x−1)−3ny=3d的解是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)22−40+(−4)−1；
(2)(5x−4)(x+2)−5(x2−4)．
18.(本小题6分)
解下列二元一次方程组：
(1)x+y=4x−y=1；
(2)x2−y+13=13x+2y=10．
19.(本小题8分)
(1)先化简，再求值：m(m−2n)+(m+n)2−(m+n)(m−n)，其中m=−1，n=2．
(2)已知x+y=3，xy=2，求(x−y)2的值．
20.(本小题8分)
如图，已知∠1=∠2=∠3．
(1)求证：a/​/b；
(2)若∠1=55°，求∠4的度数．
21.(本小题8分)
定义：任意两个数a、b，按规则c=a+b+ab运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”．
(1)若a=2，b=−3，求a，b的“加乘数”c；
(2)若ab=12，a2+b2=3，求a、b的“加乘数”c．
22.(本小题10分)
阅读理解：我们一起来探究代数式x2−4x−5的值，
探究一：当x=1时，x2−4x−5的值为 ；当x=−3时，x2−4x−5的值为 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2−4x−5进行变形，如：x2−4x−5=x2−4x+4−9=(x−2)2−9，可以看出代数式x2−4x−5的最小值为 ，这时相应的x= ．
根据上述探究，请解答：
(1)求代数式−x2−8x+17的最大值，并写出相应x的值．
(2)把(1)中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x⋅y的值，若不能，请说明理由．
23.(本小题10分)
爱好数学的小明，来到泰兴鼓楼商场内的某知名奶茶店，注视着价格表，陷入了沉思…．
(1)小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜橙共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需多少元？
(2)小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元杯，百香凤梨15元杯，葡萄芝士20元杯，则葡萄芝士买了多少杯？
24.(本小题10分)
已知：AB/​/CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1=∠2．
(1)如图1，求证：EF/​/GH；
(2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N=45°；
(3)如图3，在(2)的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN=4∠HFM，直接写出∠GQH∠MPN的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是关于x，y的二元一次方程，故此选项正确；
B、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；
C、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；
D、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；
故选：A．
根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得答案．
此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000125=1.25×10−7，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
B.2a−a=a，故本选项不合题意；
C.(3a)2=9a2，故本选项不合题意；
D.a⋅a3=a4，故本选项符合题意；
故选：D．
A选项根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
B选项根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
C选项根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
D选项根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，∠CDO=100°，
∴∠BOD=100°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=50°．
故选：C．
根据平行线的性质可得∠BOD=100°，利用角平分线的性质可得∠BOE=50°．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
5.【答案】D
【解析】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB/​/CD，本选项符合题意．
故选：D．
根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】C
【解析】解：∵s+t=4，
∴s2−t2+8t
=(s+t)(s−t)+8t
=4(s−t)+8t
=4s−4t+8t
=4s+4t
=4(s+t)
=4×4
=16，
故选：C．
根据s+t=4，将所求式子进行变形即可解答本题．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
7.【答案】D
【解析】解：设大马有x匹，小马有y匹，
根据题意得：x+y=1003x+13y=100．
故选：D．
设大马有x匹，小马有y匹，根据大马与小马的总匹数是100，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦共拉100匹瓦，列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵mx=2，my=5，
∴m2x+y=m2x⋅my
=(mx)2⋅my
=22×5
=4×5
=20，
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：原方程可整理得：
m(x+y+2)−(2x+3y+3)=0，
根据题意得：
x+y+2=02x+3y+3=0，
解得x=−3y=1，
故选：D．
把原方程整理得：m(x+y+2)−(2x+3y+3)=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵S1的面积等于正方形面积ABCD−正方形面积EFGH，S2是边长为(a−b)的正方形的面积，
∴S1=b2−a2，S2=(b−a)2，
∵S1=16，S2=4，
∴b2−a2=16，(b−a)2=4，
∴(b+a)(b−a)=16，b−a=2，
∴b+a=8，
解b−a=2b+a=8，得b=5，a=3，
∵S3表示边长为b−(b−a)=2a−b的正方形的面积，
∴S3=(2a−b)2=1，
故选：A．
先表示出S1和S2的面积，进而求出a和b的值，再根据S3表示边长为(2a−b)的正方形的面积，即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决(1)的关键；解(2)的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
11.【答案】3a(1+b)(1−b)
【解析】解：原式=3a(1−b2)=3a(1+b)(1−b)．
故答案为：3a(1+b)(1−b)．
首先提取公因式3a，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．
根据二元一次方程的解的概念即可求出a的值．
【解答】
解：由题意可知：−4+3a=5，
解得：a=3，
故答案为：3
13.【答案】①③
【解析】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当k为负值时，多项式x2−ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③解方程组x+y=6x−3y=−2，得x=4y=2，
把x=4y=2代入ax+y=4得：4a+2=4，
解得：a=0.5，故本选项正确；
④∵x=2m+1，
∴2m=x−1，
∴y=4m−3=(2m)2−3=(x−1)2−3=x2−2x−2，故本选项不正确；
综上正确的说法是①③．
故答案为：①③．
利用平行公理对①判断；利用平方差公式的特点对②分析；③解方程组x+y=6x−3y=−2求得x、y的值，代入ax+y=4即可求得a的值；④利用幂的乘方，完全平方公式即可求解．
本题考查了平行公理、因式分解、二元一次方程组的解以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．
14.【答案】42
【解析】解：∵△ABC沿边BC向右平移6cm得到△DEF，
∴DF=AC=10cm，AD=CF=6cm，
∴四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD=10+10+6+10+6=42(cm)，
故答案为：42．
由平移的性质可得DF=AC=10cm，AD=CF=6cm，求出四边形ADFB的周长=AB+BC+CF+DF+AD，最后代入数据计算即可得解．
本题考查了等边三角形的性质、平移的基本性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平移的性质是解题的关键．
15.【答案】34°
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
延长DC交AE于F，依据AB/​/CD，∠BAE=87°，可得∠CFE=87°．
【解答】
解：如图，延长DC交AE于F，
因为AB/​/CD，∠BAE=87°，
所以∠CFE=87°，
又因为∠DCE=121°，
所以∠FCE=59°
所以∠E=180°−∠FCE−∠CFE=34°，
故答案为：34°．
16.【答案】x=4y=−2．
【解析】解：方程组a(x−1)−3by=3cm(x−1)−3ny=3d，
可变为：a(x−1)3+b×(−y)=cm(x−1)3+n×(−y)=d，
∵方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，
∴x−13=1−y=2，
∴x=4y=−2，
∴原方程组的解是x=4y=−2．
故答案为：x=4y=−2．
把方程组a(x−1)−3by=3cm(x−1)−3ny=3d，变为：a(x−1)3+b×(−y)=cm(x−1)3+n×(−y)=d，由ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，即可求解．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，关键是把方程组a(x−1)−3by=3cm(x−1)−3ny=3d变为：a(x−1)3+b×(−y)=cm(x−1)3+n×(−y)=d．
17.【答案】解：(1)22−40+(−4)−1=4−1−14=114；
(2)(5x−4)(x+2)−5(x2−4)
=5x2+10x−4x−8−5x2+20
=6x+12．
【解析】(1)先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义计算，再算加减即可；
(2)先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
本题考查了零指数和负整数指数幂的意义，多项式与多项式的乘法运算等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)x+y=4①x−y=1②，
①+②，可得2x=5，
解得x=2.5，
把x=2.5代入①，可得：2.5+y=4，
解得y=1.5，
∴原方程组的解是x=2.5y=1.5．
(2)x2−y+13=1①3x+2y=10②，
由①，可得：3x−2y=8③，
②+③，可得6x=18，
解得x=3，
把x=3代入②，可得：3×3+2y=10，
解得y=12，
∴原方程组的解是x=3y=12．
【解析】(1)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.【答案】解：(1)原式=m2−2mn+m2+2mn+n2−(m2−n2)
=m2−2mn+m2+2mn+n2−m2+n2
=m2+2n2．
当m=−1，n=2时，原式=1+2×4=9；
(2)(x−y)2
=x2−2xy+y2
=x2+2xy+y2−4xy
=(x+y)2−4xy．
当x+y=3，xy=2时，
原式=32−4×2=1．
【解析】(1)根据整式的混合运算法则把原式化简，把m、n的值代入计算得到答案；
(2)根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，标记如下：

∵∠1=∠2，∠1=∠BDC，
∴∠3=∠BDC，
∴a/​/b．
(2)∵a/​/b，
∴∠3=∠CBD，
∵∠1=∠2=∠3，∠1=55°，
∴∠DBC=∠1=55°，
∴∠4=180°−∠DBC=180°−55°=125°．
【解析】(1)根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行可得结论；
(2)由平行线的性质得∠3=∠CBD，然后由等量代换和邻补角性质可得答案．
此题考查的是平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
21.【答案】解：(1)当a=2，b=−3时，
c=2+(−3)+2×(−3)=−7；
(2)当ab=12，a2+b2=3时，
∵(a+b)2
=a2+b2+2ab
=3+1
=4，
∴a+b=±2，
∴c=±2+12，
∴c=52或−32．
【解析】(1)把a=2，b=−3代入c=a+b+ab中求值即可；
(2)利用完全平方公式求出((a+b)2，得到a+b=±2，进而得到c的值．
本题考查因数分解的应用，掌握(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
22.【答案】−8 16 −9 2
【解析】解：探究一：
当x=1时，x2−4x−5=12−4−5=−8；
若x=−3，x2−4x−5=(−3)2−4×(−3)−5=16；
故答案为：−8，16；
探究二：
x2−4x−5=(x2−4x+4)−9=(x−2)2−9，
∵(x−2)2是非负数，
∴这个代数式x2−4x−5的最小值是−9，此时x=2．
故答案为：−9，2；
(1)∵−x2−8x+17=−(x+4)2+33，
∴当x=−4时，代数式−x2−8x+17有最大值是33；
(2)∵A=−x2−8x+17，B=9y2+12y+37，
当A=B时，则B−A=0，
∴(9y2+12y+37)−(−x2−8x+17)=0，
9y2+12y+4+x2+8x+16=0，
(3y+2)2+(x+4)2=0，
∴3y+2=0，x+4=0，
∴x=−4，y=−23，
∴x⋅y=−4×(−23)=83．
探究一：把x=1和x=−3分别代入代数式x2−4x+5中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式x2−4x−5配方后得：(x−1)2−9，可得结论；
(1)将代数式−x2−8x+17配方后可得结论；
(2)存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x⋅y的值．
此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
23.【答案】解：(1)设每杯西瓜啵啵的价格为x元，每杯元气鲜橙的价格为y元，
依题意得：2x+3y=88①3x+5y=142②，
②−①得：x+2y=54．
答：购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元．
(2)设购买葡萄芝士m杯，杨枝甘露n杯，则购买百香凤梨(10−m−n)杯，
依题意得：18n+15(10−m−n)+20m=187，
化简得：n=37−5m3，
又∵m，n，(10−m−n)均为正整数，
∴m=5n=4．
答：葡萄芝士买了5杯．
【解析】(1)设每杯西瓜啵啵的价格为x元，每杯元气鲜橙的价格为y元，根据“2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜橙共需142元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，利用方程②−①，即可求出结论；
(2)设购买葡萄芝士m杯，杨枝甘露n杯，则购买百香凤梨(10−m−n)杯，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n，(10−m−n)均为正整数，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】解：(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴EF/​/GH；
(2)如图2，过点N作NK/​/CD，
∴∠KNE=∠4，∠6=∠7，
设∠4=x，∠7=y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK=∠5=∠4=x，∠6=∠8=∠7=y，
又∵AB/​/CD，
∴∠EFD=180°−2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM=90°，
∴180°−2x+2y=90°，
∴x−y=45°，
∴∠ENE=∠ENK−∠6=x−y=45°，
(3)∠GQH∠MPN=14，
∵3∠FEN=4∠HFM，即3x=4×2y，
∴x=83 y，
∴x−y=83 y−y=45°
∴y=27°，x=72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH=∠EGQ=180°−90°−72°=18°，
又∵∠MPN=∠FEN=x=72°，
∴∠GQH∠MPN=14，
故答案为14．
【解析】(1)由平行线的性质得∠1=∠3，再由同位角相等得出EF/​/GH；
(2)过点N作NK/​/CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
(3)由3∠FEN=4∠HFM结合前面(2)的结论，求出角度可得∠GQH∠MPN=14．
本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．