沪科版八年级下册16.1 二次根式综合训练题

这是一份沪科版八年级下册16.1 二次根式综合训练题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.要使二次根式有意义，则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
2.已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积.
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究.
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
.②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为( )
A.B.C.D.
3.下列二次根式中能与合并的是( )
A.B.C.D.
4.若最简二次根式与能合并，则a的值为( )
A.B.C.﹣1D.1
5.下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
6.估计的运算结果介于( )
A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间
7.在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是( )
A.甲对B.乙、丙对C.甲、乙对D.甲、乙、丙都对
8.阅读我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是.请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为( )
A.B.2C.D.3
9.当时，多项式的值为( )
A.5B.7C.8D.0
10.已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推.
下列说法：①当时，；
②；
③（n为自然数）.
其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题（每小题4分，共16分）
11.化简_____.
12.已知，则值为____________.
13.的倒数是_____.
14.将式子 (a为正整数)化为最简二次根式后，可以与合并.
（1）a的最大值为______；
（2）所有符合条件的a的和为______.
三、解答题（本大题共9小题，共计74分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
15.（6分）计算
（1）
（2）
16.（6分）观察下列等式：
①；
②；
③
…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： .
17.（6分）已知，，，A、B为最简二次根式，且，求
18.（8分）如图，数轴上与，对应的点分别是A，B，C是数轴上的一点，且B是的中点，设点C表示的数为x.
(1)求x的值.
(2)计算：.
19.（8分）计算:
（1）；
（2）.
20.（8分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
.
【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简：.
【变式探究】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值.
21.（10分）当时，求的值.如图是小亮和小芳的解答过程：
（1）_____的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____；
（3）当时，求的值.
22.（10分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”.
(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
23.（12分）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号.
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形的最小面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：∵二次根式有意义，
∴，
解得：.
故选A.
2.答案：B
解析：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B.
3.答案：C
解析：A、己是最简二次根式，但和不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
B、，和不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
C、，和是同类二次根式，可以合并，故此选项正确；
D、，和不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误.
故选：C.
4.答案：D
解析：根据题意得：1＋2a＝5−2a，
解得：a＝1.
故选：D.
5.答案：C
解析：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：C.
6.答案：C
解析：
；
，
；
故选：C.
7.答案：D
解析：，，
，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故选：D.
8.答案：D
解析：当时，，
的最小值为3，
故选：D.
9.答案：D
解析：由题意知，，
，
故选：D.
10.答案：D
解析：①当时，，，
，，
，，
，，
…
按照此规律：，，，，
，故①正确；
②，，
，，
，，
，，
…
按照此规律可得：，，，，
，故②正确；
③根据以上规律可知，，，
，故③正确.
综上分析可知，正确的有3个，故D正确.
故选：D.
11.答案：2024
解析：，
故答案为：2024.
12.答案：
解析：根据二次根式有意义的条件，可得，，
，解得，
，
.
故答案为：.
13.答案：
解析：的倒数为；
故答案为.
14.答案：33；80
解析：（1），
当时，，
与可以合并，
的最大值为33，
故答案为：33；
（2）当时，，
与可以合并，
当时，，
与可以合并，
当时，，
与可以合并，
，
所有符合条件的的和为80，
故答案为：80.
15.答案：（1）
（2）
解析:
;
（2）.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）
=
=；
（2）
=+…+
=.
17.答案：14
解析：∵A，B为最简二次根式，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为14.
18.答案：(1)
(2)
解析：（1）数轴上、两点表示的数分别为和，且B是的中点，
，解得；
（2）当时
.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）
；
（2）
.
20.答案：（1）
（2）
（3）10或22
解析：（1）；
（2）；
（3），，
，，
a，m，n均为正整数，
，
或.
21.答案：（1）小亮
（2）
（3）-2
解析：（1）原式，
，
，
，
原式，
故小亮的解法错误，
故答案为：小亮.
（2），
故答案为：.
（3），
，，
原式，



.
22.答案：(1)是“完美组合数”，理由见解析
(2)
解析：（1），，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
，，，
，，这三个数是“完美组合数”；
（2），
分两种情况讨论：
①当时，，
；
②当时，，
（不符合题意，舍）；
综上，.
23.答案：(1)2；-2
(2)y的最小值为11
(3)49
解析：(1)当时，，即，
的最小值为2；
当时，，
，即，
，
，
的最大值为-2.
故答案为：2；.
(2)，
，
，
当时，y的最小值为11.
(3)设，已知，，
则由等高三角形性质可知，，
，
，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为49.