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人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案，共22页。
2．掌握角速度的定义式和单位，知道角速度与线速度的关系。
3．知道周期、转速的概念，掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
描述圆周运动的物理量及其关系
1．圆周运动：我们把轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。
2．线速度
(1)表达式：v＝ΔsΔt。
(2)方向：线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(3)物理意义：描述圆周运动物体的运动快慢。
(4)匀速圆周运动。
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，因此是一种变速运动。
3．角速度
(1)定义：半径转过的角度与所用时间的比值。
(2)定义式：ω＝ΔθΔt。
(3)单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s-1。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
(5)匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间，符号用T表示，单位是秒(s)。
(2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
5．线速度与角速度的关系
(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
(2)关系式：v＝ωr。
月球绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成是圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月球的“对话”。地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。月球说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？
【问题】
(1)请评价地球和月球的两种说法。
(2)通过地球和月球的对话，判断到底谁的线速度大？
(3)月球运动的轨道半径大约为3.8×105 km，地球运动的轨道半径大约为1.5×108 km，是否线速度大就说明物体转动得快？
提示：(1)描述圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期，只用其中一个物理量无法准确描述圆周运动的快慢。地球和月球因为描述圆周运动快慢的标准不同，所以地球和月球的说法都是片面的。
(2)从线速度的定义可以看出地球的线速度v1＝29.79 km/s，月球的线速度v2＝1.02 km/s，故地球的线速度大。
(3)根据角速度和线速度的关系v＝ωr，也可以解得
ω1＝v1r1＝29.79×1031.5×1011 rad/s＝1.986×10-7 rad/s，
ω2＝v2r2＝1.02×1033.8×108 rad/s＝2.68×10-6 rad/s。
因此从角速度方面来讲，线速度大的物体转动得不一定快。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝1r；ω一定时，v∝r。
【典例1】 关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝2πrT
D [物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝ΔθΔt＝π60.1 rad/s＝5π3 rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，若半径为r，周期为T，则线速度为v＝2πrT，D正确。]
[跟进训练]
1．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的速率不变
B．笔尖做的是匀速运动
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．两相同时间内转过的角度不同
A [由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故A正确，B错误；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长相等，但位移还要考虑方向，C错误；两相同时间内转过的角度相同，D错误。]
2．某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速约为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小约为π30 rad/s
C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为π3 m/s
D．圆盘转动的频率约为14 Hz
B [由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝2πT＝2π60 rad/s＝π30 rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝π300 m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f ＝1T＝160 Hz，D错误。]
常见三种传动方式
如图为两种传动装置的模型图。
【问题】
(1)甲图为皮带传动装置，A、B两点线速度大小有什么关系？
(2)能否根据A、B两点的线速度分析角速度关系？
(3)乙图为同轴传动装置，试分析C、D两点的角速度及线速度关系。
提示：(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相等。
(2)能，根据v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。
(3)同轴传动时，在相同的时间内，C、D两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大，故D点线速度大。
1．三种传动装置
2．求解传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝1r分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【典例2】 常见的转动传递方式有皮带传动、链条传动、摩擦传动和齿轮传动。如图是一种皮带传动装置示意图，A、B两点分别是两轮轮缘上的点，C是O2B连线的中点，大轮与小轮的半径之比为2∶1。若皮带不打滑，试分别求出A、B、C这三个点的线速度、角速度和周期的比例关系。
[思路点拨] 皮带不打滑，所以两轮轮缘上和皮带接触的A、B两点具有大小相等的线速度。又因为B、C在同一个转轮上绕同一轴转动，所以B、C两点具有相同的角速度。
[解析] A、B具有大小相等的线速度，
即vA∶vB＝1∶1
又因为B与C在同一个转轮上，所以B、C具有相同的角速度，即ωB∶ωC＝1∶1
再由v＝rω及rB＝2rC可得vB∶vC＝2∶1
因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
由rB＝2rA及ω＝vr可得ωA∶ωB＝2∶1
因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1
由T＝2πω可得TA∶TB∶TC＝1∶2∶2。
[答案] 见解析
解决传动问题的两个关键点
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω与半径r成反比。
[跟进训练]
3．(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rOP>rOQ，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点转动的周期大于Q点转动的周期
D．P、Q两点的线速度方向相反
BD [鸟绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动，根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度大小相同，P、Q两点转动的周期也相同，故B正确，C错误；P、Q两点的角速度大小相等，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q在O点两端，两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。]
4．(2022·广东深圳二中月考)如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮。A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在各轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是( )
A．va＝2vb B．ωa＝2ωc
C．ωd＝ωc D．vb＝2vc
D [由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相等，所以va＝vb，故A错误；a、c两点同轴转动，角速度相等，所以ωa＝ωc，故B错误；根据v＝ωR可得，ωaRA＝ωbRB，则ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，a、c两点角速度相等，b、d两点角速度相等，所以ωd＝2ωc，故C错误；由于ωa＝ωc，Ra＝2Rc，故va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，又va＝vb，所以vb＝2vc，故D正确。]
圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
【典例3】 如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv0 2＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3，…)
C．v0＝ω d2
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…)
[思路点拨] 圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来的位置，本题中飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)。飞镖的水平位移为L，竖直位移为d，根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。
B [依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点时被击中，则A点转动的时间t＝2n+1πω(n＝0，1，2，3，…)，平抛的时间t＝Lv0，则有Lv0＝2n+1πω(n＝0，1，2，3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝12gt2，联立有dω2＝12gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dv02＝12L2g，A、D错误。]
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
[跟进训练]
5．子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)。OA、OB之间的夹角θ＝π3，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是( )
A．20 r/s B．60 r/s
C．100 r/s D．140 r/s
C [根据几何关系可得A与B之间的距离为R，在子弹飞行距离为R的时间内，圆筒转动的角度为θ′＝2n-13π(n＝1，2，3，…)，由θ′＝ωt得t＝2n-13πω＝6n-1π3ω(n＝1，2，3，…)，设圆筒的转速为N，由ω＝2πN得时间t＝6n-1π3×2πN＝6n-16N(n＝1，2，3…)，由题意知R＝v0t，解得N＝20(6n－1) r/s(n＝1，2，3…)，当n＝1时，N＝100 r/s，当n＝2时，N＝220 r/s，故选C。]
1．(多选)(2022·安阳市第三十六中学期中考试)以下关于匀速圆周运动的说法中正确的是 ( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
BD [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速运动，A、C错误，B正确；匀速圆周运动中角速度不变，D正确。]
2．(2022·广东广州期末)某品牌的机械鼠标内部构造如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2 cm，某次操作中将鼠标沿直线匀速移动12 cm需要1 s，则定位球的角速度为( )
A．π12 rad/s B．π6 rad/s
C．6 rad/s D．12 rad/s
D [根据线速度定义式v＝ΔsΔt，那么定位球的线速度为v＝12 cm1 s＝12 cm/s，而线速度与角速度的关系为v＝ωr，则定位球的角速度为ω＝vr＝12 cm/s1 cm＝12 rad/s，故A、B、C错误，D正确。]
3．如图所示为某型号汽车无极变速器工作原理简化图。主动带轮和被动带轮均有若干同轴轮组成，金属带不打滑，车轮与被动带轮一侧的输出轴同轴，甲、乙、丙三图所示为变速器的三个工作挡位，若主动轮转速恒定不变，车轮与路面之间不打滑，则下列说法正确的是( )
A．甲图所示挡位，车速最快
B．乙图所示挡位，车速最快
C．丙图所示挡位，车速最快
D．甲、乙、丙三图所示挡位车速从大到小顺序为甲、丙、乙
B [由题意知主动轮转速恒定，则角速度恒定，根据v＝ωr可知，金属带所在主动轮半径越大，线速度越大，所以乙图所示挡位金属带线速度最大，丙图所示挡位金属带线速度最小；由题图可知金属带与所接触被动轮边缘的线速度相等，根据ω＝vr，可知，被动轮半径越小，角速度越大，所以乙图所示挡位被动轮即输出轴的角速度最大，车轮与输出轴同轴，即乙图所示挡位车轮角速度最大；车轮半径一定，车轮不打滑，车速等于车轮边缘的线速度，根据v＝ωr，可知，角速度越大，车速越快，所以乙图所示挡位车速最快，故B正确，A、C错误；车速从大到小顺序为乙、甲、丙，故D错误。]
4．水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，转动的角速度ω＝2.5π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m；如图所示，圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h(空气阻力不计，g取10 m/s2)。
[解析] 设小球做自由落体运动下落高度h时所用的时间为t，则：h＝12gt2
要使小球恰好落入小孔，对于圆筒的运动需满足：
2kπ＝ωt，(k＝1，2，3，…)
联立解得释放小球的高度h为：
h＝165k2(k＝1，2，3，…)。
[答案] 165k2(k＝1，2，3，…)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
提示：线速度、角速度、周期、转速。
2．线速度、角速度、周期和半径满足什么关系？
提示：v＝ωr，T＝2πω＝2πrv。
3．“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝vr可得ω∝1r。”这样理解对吗？
提示：不对，应用控制变量法进行讨论。
课时分层作业(四) 圆周运动
◎题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长、连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
ABC [匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。]
3．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr可知只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝2πrT知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝2πT知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。]
4．(2022·平顶山第一中学检测)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为( )
A．π2 rad/s B．π8 rad/s
C．π9 rad/s D．π10 rad/s
B [由题知，汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s，则说明直杆有4 s的转动时间，则直杆转动的平均角速度大小为ω＝π2t＝π8 rad/s。故选B。]
◎题组二 常见三种传动方式
5．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中，a、b两点( )
A．角速度大小相同
B．线速度大小相同
C．周期大小不同
D．转速大小不同
A [a、b两点同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同，选项B错误。]
6．(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为r1r2n
D．从动轮的转速为r2r1n
BC [主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式可知从动轮做逆时针转动，A错误，B正确；两轮通过皮带传动，边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn，可得2πn·r1＝2πn'·r2，解得从动轮的转速为n′＝r1r2n，C正确，D错误。故选BC。]
7．如图所示，A、B、C三点为奶茶塑封机手压杆上的点，A在杆的顶端，O为杆转动的轴，且AB＝BC＝CO。在杆向下转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小之比为1∶3
B．B、C两点周期之比为1∶1
C．A、B两点角速度之比为3∶2
D．B、C两点的线速度大小之比为1∶2
B [因为A、B两点同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，由v＝rω可知，角速度一定时，线速度大小之比等于运动半径之比，故A、B两点线速度大小之比为3∶2，A、C错误；因为B、C两点同轴转动，所以B、C两点的角速度是相等的，故周期相等，由v＝ωr可知，B、C两点的线速度大小之比为2∶1，故B正确，D错误。]
◎题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋π6(n＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝2πT＝2πN＝2π×3 60060 rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即2v＝θω，所以v＝2ωθ＝1 44012n+1 m/s(n＝0，1，2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。]
9．如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B速度为水平向右，A一定要在最低点时才能保证速度水平向右。由题意可知：当A从M点运动到最低点时t＝nT＋34T(n＝0，1，2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝FmnT+34T＝Fmn+342πω
解得：F＝2mω2rπ4n+3(n＝0，1，2，…)。
[答案] 2mω2rπ4n+3(n＝0，1，2，…)
10．如图为某种水轮机的示意图，水平管出水口的水流速度恒定，为v0，当水流冲击到水轮机上某挡板时，水流的速度方向刚好与该挡板垂直，该挡板的延长线过水轮机的转轴O，且与水平方向的夹角为30°。当水轮机圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半。忽略挡板的大小，不计空气阻力，若水轮机圆盘的半径为R，则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为( )
A．v02RB．v0R
C．3v0R D．2v0R
B [水从管口流出后做平抛运动，设水流到达挡板时的速度大小为v，则v＝v0sin30°＝2v0，圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半，即挡板的线速度为v′＝v2＝v0，根据v＝rω，可得圆盘转动的角速度ω＝v'R＝v0R，故B正确，A、C、D错误。]
11．如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即n2n1＝z1z2，所以n2＝n1z1z2。
[答案] (1)r1∶r2＝z1∶z2 (2)n2＝n1z1z2
12．如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值；
(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。
[解析] (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t
①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝12gt2②
由①②得v0＝Rt＝Rg2h。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝2hg，
所以vA＝2πRT＝2πRg2h。
(3)能在a点相碰，则A球在B球做平抛运动的飞行时间内又回到a点。即平抛运动的时间等于A球周期的整数倍，所以t＝2hg＝nT′，则T′＝1n2hg(n＝1，2，3，…)。
[答案] (1)Rg2h (2)2πRg2h (3)1n2hg(n＝1，2，3，…)
13．(多选)如图所示，有一个竖直薄壁圆筒，内壁光滑且半径为R，上部侧面A处的正下方h处有一个小孔B，一个大小合适的小球刚好可以穿过小孔，现使小球从小孔A处以某一初速度沿切线方向水平出发，使小球紧贴筒内壁运动，到达底部时恰好从B孔飞出，下列判断正确的是( )
A．小球沿着筒内侧运动时，对圆筒内侧的压力大小不变
B．小球从B孔穿出的时间会因为初速度的不同而不同
C．小球的初速度可能为2πR2gh
D．无论初速度多大小球到达底部时都刚好从B孔穿出
AC [小球的运动是水平匀速圆周运动和竖直自由落体运动的合成，小球水平匀速圆周运动的速度大小没变，则向心力大小不变，那么对圆筒内侧的压力大小不变，A正确；小球竖直方向做自由落体运动，由于竖直方向高度确定，则小球自由落体的时间是确定的，即小球从B孔穿出的时间与初速度大小没有关系，B错误；小球在竖直方向做自由落体运动，所以小球在桶内的运动时间为t＝2hg，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，则得t＝2πRnv0(n＝1，2，3…)，所以v0＝2πRnt＝πRn2gh(n＝1，2，3…)，当n取2时，C正确，D错误。故选AC。]
方式
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
特点
角速度、周期相等
线速度大小相等
线速度大小相等
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：vAvB＝rR
角速度与半径成反比：ωAωB＝rR
周期与半径成正比：TATB＝Rr
角速度与半径成反比：ωAωB＝r2r1＝n1n2
周期与半径成正比：TATB＝r1r2
2．掌握角速度的定义式和单位，知道角速度与线速度的关系。
3．知道周期、转速的概念，掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
描述圆周运动的物理量及其关系
1．圆周运动：我们把轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。
2．线速度
(1)表达式：v＝ΔsΔt。
(2)方向：线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(3)物理意义：描述圆周运动物体的运动快慢。
(4)匀速圆周运动。
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，因此是一种变速运动。
3．角速度
(1)定义：半径转过的角度与所用时间的比值。
(2)定义式：ω＝ΔθΔt。
(3)单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s-1。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
(5)匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间，符号用T表示，单位是秒(s)。
(2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
5．线速度与角速度的关系
(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
(2)关系式：v＝ωr。
月球绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成是圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月球的“对话”。地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。月球说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？
【问题】
(1)请评价地球和月球的两种说法。
(2)通过地球和月球的对话，判断到底谁的线速度大？
(3)月球运动的轨道半径大约为3.8×105 km，地球运动的轨道半径大约为1.5×108 km，是否线速度大就说明物体转动得快？
提示：(1)描述圆周运动快慢的物理量有线速度、角速度、周期，只用其中一个物理量无法准确描述圆周运动的快慢。地球和月球因为描述圆周运动快慢的标准不同，所以地球和月球的说法都是片面的。
(2)从线速度的定义可以看出地球的线速度v1＝29.79 km/s，月球的线速度v2＝1.02 km/s，故地球的线速度大。
(3)根据角速度和线速度的关系v＝ωr，也可以解得
ω1＝v1r1＝29.79×1031.5×1011 rad/s＝1.986×10-7 rad/s，
ω2＝v2r2＝1.02×1033.8×108 rad/s＝2.68×10-6 rad/s。
因此从角速度方面来讲，线速度大的物体转动得不一定快。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝1r；ω一定时，v∝r。
【典例1】 关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝2πrT
D [物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝ΔθΔt＝π60.1 rad/s＝5π3 rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，若半径为r，周期为T，则线速度为v＝2πrT，D正确。]
[跟进训练]
1．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中( )
A．笔尖的速率不变
B．笔尖做的是匀速运动
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．两相同时间内转过的角度不同
A [由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度的方向时刻改变，故A正确，B错误；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长相等，但位移还要考虑方向，C错误；两相同时间内转过的角度相同，D错误。]
2．某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速约为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小约为π30 rad/s
C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为π3 m/s
D．圆盘转动的频率约为14 Hz
B [由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝2πT＝2π60 rad/s＝π30 rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝π300 m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f ＝1T＝160 Hz，D错误。]
常见三种传动方式
如图为两种传动装置的模型图。
【问题】
(1)甲图为皮带传动装置，A、B两点线速度大小有什么关系？
(2)能否根据A、B两点的线速度分析角速度关系？
(3)乙图为同轴传动装置，试分析C、D两点的角速度及线速度关系。
提示：(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相等。
(2)能，根据v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。
(3)同轴传动时，在相同的时间内，C、D两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大，故D点线速度大。
1．三种传动装置
2．求解传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝1r分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【典例2】 常见的转动传递方式有皮带传动、链条传动、摩擦传动和齿轮传动。如图是一种皮带传动装置示意图，A、B两点分别是两轮轮缘上的点，C是O2B连线的中点，大轮与小轮的半径之比为2∶1。若皮带不打滑，试分别求出A、B、C这三个点的线速度、角速度和周期的比例关系。
[思路点拨] 皮带不打滑，所以两轮轮缘上和皮带接触的A、B两点具有大小相等的线速度。又因为B、C在同一个转轮上绕同一轴转动，所以B、C两点具有相同的角速度。
[解析] A、B具有大小相等的线速度，
即vA∶vB＝1∶1
又因为B与C在同一个转轮上，所以B、C具有相同的角速度，即ωB∶ωC＝1∶1
再由v＝rω及rB＝2rC可得vB∶vC＝2∶1
因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
由rB＝2rA及ω＝vr可得ωA∶ωB＝2∶1
因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1
由T＝2πω可得TA∶TB∶TC＝1∶2∶2。
[答案] 见解析
解决传动问题的两个关键点
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω与半径r成反比。
[跟进训练]
3．(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rOP>rOQ，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点转动的周期大于Q点转动的周期
D．P、Q两点的线速度方向相反
BD [鸟绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动，根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度大小相同，P、Q两点转动的周期也相同，故B正确，C错误；P、Q两点的角速度大小相等，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q在O点两端，两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。]
4．(2022·广东深圳二中月考)如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮。A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在各轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是( )
A．va＝2vb B．ωa＝2ωc
C．ωd＝ωc D．vb＝2vc
D [由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相等，所以va＝vb，故A错误；a、c两点同轴转动，角速度相等，所以ωa＝ωc，故B错误；根据v＝ωR可得，ωaRA＝ωbRB，则ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，a、c两点角速度相等，b、d两点角速度相等，所以ωd＝2ωc，故C错误；由于ωa＝ωc，Ra＝2Rc，故va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，又va＝vb，所以vb＝2vc，故D正确。]
圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
【典例3】 如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv0 2＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3，…)
C．v0＝ω d2
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…)
[思路点拨] 圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来的位置，本题中飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)。飞镖的水平位移为L，竖直位移为d，根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。
B [依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点时被击中，则A点转动的时间t＝2n+1πω(n＝0，1，2，3，…)，平抛的时间t＝Lv0，则有Lv0＝2n+1πω(n＝0，1，2，3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝12gt2，联立有dω2＝12gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dv02＝12L2g，A、D错误。]
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
[跟进训练]
5．子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)。OA、OB之间的夹角θ＝π3，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是( )
A．20 r/s B．60 r/s
C．100 r/s D．140 r/s
C [根据几何关系可得A与B之间的距离为R，在子弹飞行距离为R的时间内，圆筒转动的角度为θ′＝2n-13π(n＝1，2，3，…)，由θ′＝ωt得t＝2n-13πω＝6n-1π3ω(n＝1，2，3，…)，设圆筒的转速为N，由ω＝2πN得时间t＝6n-1π3×2πN＝6n-16N(n＝1，2，3…)，由题意知R＝v0t，解得N＝20(6n－1) r/s(n＝1，2，3…)，当n＝1时，N＝100 r/s，当n＝2时，N＝220 r/s，故选C。]
1．(多选)(2022·安阳市第三十六中学期中考试)以下关于匀速圆周运动的说法中正确的是 ( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
BD [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速运动，A、C错误，B正确；匀速圆周运动中角速度不变，D正确。]
2．(2022·广东广州期末)某品牌的机械鼠标内部构造如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2 cm，某次操作中将鼠标沿直线匀速移动12 cm需要1 s，则定位球的角速度为( )
A．π12 rad/s B．π6 rad/s
C．6 rad/s D．12 rad/s
D [根据线速度定义式v＝ΔsΔt，那么定位球的线速度为v＝12 cm1 s＝12 cm/s，而线速度与角速度的关系为v＝ωr，则定位球的角速度为ω＝vr＝12 cm/s1 cm＝12 rad/s，故A、B、C错误，D正确。]
3．如图所示为某型号汽车无极变速器工作原理简化图。主动带轮和被动带轮均有若干同轴轮组成，金属带不打滑，车轮与被动带轮一侧的输出轴同轴，甲、乙、丙三图所示为变速器的三个工作挡位，若主动轮转速恒定不变，车轮与路面之间不打滑，则下列说法正确的是( )
A．甲图所示挡位，车速最快
B．乙图所示挡位，车速最快
C．丙图所示挡位，车速最快
D．甲、乙、丙三图所示挡位车速从大到小顺序为甲、丙、乙
B [由题意知主动轮转速恒定，则角速度恒定，根据v＝ωr可知，金属带所在主动轮半径越大，线速度越大，所以乙图所示挡位金属带线速度最大，丙图所示挡位金属带线速度最小；由题图可知金属带与所接触被动轮边缘的线速度相等，根据ω＝vr，可知，被动轮半径越小，角速度越大，所以乙图所示挡位被动轮即输出轴的角速度最大，车轮与输出轴同轴，即乙图所示挡位车轮角速度最大；车轮半径一定，车轮不打滑，车速等于车轮边缘的线速度，根据v＝ωr，可知，角速度越大，车速越快，所以乙图所示挡位车速最快，故B正确，A、C错误；车速从大到小顺序为乙、甲、丙，故D错误。]
4．水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，转动的角速度ω＝2.5π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m；如图所示，圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h(空气阻力不计，g取10 m/s2)。
[解析] 设小球做自由落体运动下落高度h时所用的时间为t，则：h＝12gt2
要使小球恰好落入小孔，对于圆筒的运动需满足：
2kπ＝ωt，(k＝1，2，3，…)
联立解得释放小球的高度h为：
h＝165k2(k＝1，2，3，…)。
[答案] 165k2(k＝1，2，3，…)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
提示：线速度、角速度、周期、转速。
2．线速度、角速度、周期和半径满足什么关系？
提示：v＝ωr，T＝2πω＝2πrv。
3．“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝vr可得ω∝1r。”这样理解对吗？
提示：不对，应用控制变量法进行讨论。
课时分层作业(四) 圆周运动
◎题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长、连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
ABC [匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。]
3．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr可知只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝2πrT知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝2πT知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。]
4．(2022·平顶山第一中学检测)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为( )
A．π2 rad/s B．π8 rad/s
C．π9 rad/s D．π10 rad/s
B [由题知，汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s，则说明直杆有4 s的转动时间，则直杆转动的平均角速度大小为ω＝π2t＝π8 rad/s。故选B。]
◎题组二 常见三种传动方式
5．如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中，a、b两点( )
A．角速度大小相同
B．线速度大小相同
C．周期大小不同
D．转速大小不同
A [a、b两点同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v＝ωr可知，线速度大小不同，选项B错误。]
6．(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为r1r2n
D．从动轮的转速为r2r1n
BC [主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式可知从动轮做逆时针转动，A错误，B正确；两轮通过皮带传动，边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn，可得2πn·r1＝2πn'·r2，解得从动轮的转速为n′＝r1r2n，C正确，D错误。故选BC。]
7．如图所示，A、B、C三点为奶茶塑封机手压杆上的点，A在杆的顶端，O为杆转动的轴，且AB＝BC＝CO。在杆向下转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小之比为1∶3
B．B、C两点周期之比为1∶1
C．A、B两点角速度之比为3∶2
D．B、C两点的线速度大小之比为1∶2
B [因为A、B两点同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，由v＝rω可知，角速度一定时，线速度大小之比等于运动半径之比，故A、B两点线速度大小之比为3∶2，A、C错误；因为B、C两点同轴转动，所以B、C两点的角速度是相等的，故周期相等，由v＝ωr可知，B、C两点的线速度大小之比为2∶1，故B正确，D错误。]
◎题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋π6(n＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝2πT＝2πN＝2π×3 60060 rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即2v＝θω，所以v＝2ωθ＝1 44012n+1 m/s(n＝0，1，2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。]
9．如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B速度为水平向右，A一定要在最低点时才能保证速度水平向右。由题意可知：当A从M点运动到最低点时t＝nT＋34T(n＝0，1，2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：
v＝at＝FmnT+34T＝Fmn+342πω
解得：F＝2mω2rπ4n+3(n＝0，1，2，…)。
[答案] 2mω2rπ4n+3(n＝0，1，2，…)
10．如图为某种水轮机的示意图，水平管出水口的水流速度恒定，为v0，当水流冲击到水轮机上某挡板时，水流的速度方向刚好与该挡板垂直，该挡板的延长线过水轮机的转轴O，且与水平方向的夹角为30°。当水轮机圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半。忽略挡板的大小，不计空气阻力，若水轮机圆盘的半径为R，则水轮机圆盘稳定转动的角速度大小为( )
A．v02RB．v0R
C．3v0R D．2v0R
B [水从管口流出后做平抛运动，设水流到达挡板时的速度大小为v，则v＝v0sin30°＝2v0，圆盘稳定转动后，挡板的线速度恰为冲击挡板的水流速度的一半，即挡板的线速度为v′＝v2＝v0，根据v＝rω，可得圆盘转动的角速度ω＝v'R＝v0R，故B正确，A、C、D错误。]
11．如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即n2n1＝z1z2，所以n2＝n1z1z2。
[答案] (1)r1∶r2＝z1∶z2 (2)n2＝n1z1z2
12．如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值；
(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。
[解析] (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t
①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝12gt2②
由①②得v0＝Rt＝Rg2h。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝2hg，
所以vA＝2πRT＝2πRg2h。
(3)能在a点相碰，则A球在B球做平抛运动的飞行时间内又回到a点。即平抛运动的时间等于A球周期的整数倍，所以t＝2hg＝nT′，则T′＝1n2hg(n＝1，2，3，…)。
[答案] (1)Rg2h (2)2πRg2h (3)1n2hg(n＝1，2，3，…)
13．(多选)如图所示，有一个竖直薄壁圆筒，内壁光滑且半径为R，上部侧面A处的正下方h处有一个小孔B，一个大小合适的小球刚好可以穿过小孔，现使小球从小孔A处以某一初速度沿切线方向水平出发，使小球紧贴筒内壁运动，到达底部时恰好从B孔飞出，下列判断正确的是( )
A．小球沿着筒内侧运动时，对圆筒内侧的压力大小不变
B．小球从B孔穿出的时间会因为初速度的不同而不同
C．小球的初速度可能为2πR2gh
D．无论初速度多大小球到达底部时都刚好从B孔穿出
AC [小球的运动是水平匀速圆周运动和竖直自由落体运动的合成，小球水平匀速圆周运动的速度大小没变，则向心力大小不变，那么对圆筒内侧的压力大小不变，A正确；小球竖直方向做自由落体运动，由于竖直方向高度确定，则小球自由落体的时间是确定的，即小球从B孔穿出的时间与初速度大小没有关系，B错误；小球在竖直方向做自由落体运动，所以小球在桶内的运动时间为t＝2hg，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，则得t＝2πRnv0(n＝1，2，3…)，所以v0＝2πRnt＝πRn2gh(n＝1，2，3…)，当n取2时，C正确，D错误。故选AC。]
方式
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
特点
角速度、周期相等
线速度大小相等
线速度大小相等
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：vAvB＝rR
角速度与半径成反比：ωAωB＝rR
周期与半径成正比：TATB＝Rr
角速度与半径成反比：ωAωB＝r2r1＝n1n2
周期与半径成正比：TATB＝r1r2
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