专题02 函数与导数（新定义）-新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）

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1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：
①对任意a，，；
②对任意，；
③对任意a，，．
则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】注意新定义的运算方式即可.
【详解】在③中，令，则，所以．
函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是．
故选：B．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为，
，
又
所以，
(1)若则，不等式
可化为，则，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
(2)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，矛盾，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(3)若则，不等式
可化为，所以
①若，则可化为，满足，
可化为，满足，
②若，则可化为，满足，
可化为，满足，
③若，则可化为，满足，
可化为，满足，
(4)若则，不等式
可化为，所以，
①若，则可化为，满足，
可化为，矛盾，
②若，则可化为，矛盾，
③若，则可化为，矛盾，
综上， 或或或或，
由知，A错误；
由知，B错误；
当时，，
取可得，满足条件但，
C错误；
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围．
【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与函数的图象关于原点对称，
令，则，，
所以，
因为，又，
所以原题义等价于与在上有交点，即方程有零点，则，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.
【详解】对选项A：，，函数为奇函数，满足；
对选项B：，函数定义域满足，解得，且，函数为奇函数，满足；
对选项C：为奇函数，满足；
对选项D：，，函数为偶函数，且，不满足.
故选：D
6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如； ．已知函数，其中，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域.
【详解】因为
，
令，因为，所以，
所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，.
所以的值域为.
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故选：B .
7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得.
【详解】由已知可得，，则，
且，所以.
又，.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
又，，所以.
因为在上单调递减，，所以.
又，所以，即.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，
所以.
综上可得，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.
8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幂函数；求出即可判断C项.
【详解】对于A项，恒成立，故A项错误；
对于B项，不是幂函数，故B项错误；
对于C项，因为，只要即可，故C项正确；
对于D项，恒成立，故D项错误.
故选：C.
9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简函数的解析式，再作出函数的图象，转化为直线与函数的图象有两个交点，数形结合分析即得解.
【详解】令，解得，
所以，
当时，，；
当时，，；
作出函数的图象，如图，
若的图象与轴恰有两个公共点，
即直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得.
故选：A
10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数则“” 是“” 的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】若，则；
若，则同号，所以．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选:C.
11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，
即，满足，
即，恒成立；
记函数，的值域为M，，
则由题意得,
当，即时，在单调递减，
则，即,此时不满足，舍去；
当，即时，在时取得最大值，
即，即 ,
要满足，需，解得或 ，
而，故，即m的取值范围为，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.
12．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.
【详解】对于A，，
由，
当时，则不存在满足情况，故A不是正积函数；
对于B，，
由，
则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，
故B是正积函数；
对于C，，
由，
得，
当时，则，，，则不唯一，故C不是正积函数；
对于D，，
由，
当时，则不存在满足情况，故D不是正积函数.
故选:B.
13．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意只需在上是减函数，利用导数说明的单调性，即可得到，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：对于，则在上单调递增，
易知，
在上是“弱减函数”，
在上是减函数，且在上是增函数，
易知在上是增函数显然成立，
故只需在上是减函数，
，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，
故，
故，即；
故选：C
14．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：①，；②；③.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义分别赋值得到，然后再利用得到，再次赋值，利用，即可求解.
【详解】因为，，令可得：，
又因为，令可得：，令可得：，
由可得：，
令，则有，所以，
令，，则有，所以，
因为，所以，
也即，所以，
故选：.
15．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算：，，则函数的解析式为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】根据已知的定义可化简得到，根据函数定义域的求法可求得，结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.
【详解】由题意知：，
由得：或，即定义域为，
，.
故选：A.
16．（2023·全国·高三对口高考）定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出函数，再求出其单调递减区间即可求解作答.
【详解】由给定的定义知，
显然函数的单调递减区间是，而函数在上单调递减，
于是得，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的，恒有，则称函数为“纯函数”，给出下列四个函数（1）；（2）；（3）；（4），则下列函数中纯函数个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设，由得，即，即为上的减函数，逐个判断即可.
【详解】由题知，
设，由得，即
所以为上的减函数，
对于（1），因为函数为上的减函数，所以为纯函数；
对于（3），因为函数在上为减函数，所以是纯函数；
对于（2），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数；
对于（4），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数，
故选：C.
18．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”．若函数，则是“（ ）阶准奇函数”．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出两个函数图象可得结果．
【详解】由时，，得，
下图为与的图象，
由图可知，当时，两个函数图象有4个交点，即．
故选：D．
19．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据已知二次不等式求出，进而可求x的范围
【详解】解得，为不小于的最小整数，所以.
故选：C
20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设是上的任意实值函数．如下定义两个函数和，对任意，，则下列等式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据定义两个函数和对任意，；，然后逐个验证即可找到答案．
【详解】对于A,，，
；
而；
,
对于B,,
,
,
对于C,，
,
；
对于D,，
，
．
故选：B．
21．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知，是定义在上的严格增函数，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据“追逐函数”的定义对个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.
【详解】由题意，需满足：与在上的值域都是，
且对任意的，的图象恒的上方，
当时：
①的值域符合题意，且，符合题意.
②的值域符合题意，且，符合题意.
③，指数函数比二次函数增长快，比如：
当时，
，不符合题意.
④由于，所以不符合题意.
综上所述，正确的有个.
故选：B
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得的值域为，又因为当时，的值域为，当时，的值域为，所以有，求解即可.
【详解】解：由题意可知的定义域为，
又因为是“函数，
所以的值域为，
又因为,
所以的值域为，
又因为当时，，单调递增，此时值域为，
当时，，开口向上，对称轴为，
此时函数单调递增，值域为，
所以，解得，
所以m的取值范围为.
故选：C.
23．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.
【详解】，，
当时，，
的定义域为，，所以是偶函数，
为偶函数，只需考虑在上的范围，
当时，在单调递减，
对，，，恒成立，
需，，.
当，在上单调递增，，
对，，，恒成立，
，，，
综上：
故选：B
24．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义，如．则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，数形结合可得出函数的最小值.
【详解】当时，，此时；
当时，，此时，；
当时，，此时，.
所以，，作出函数的图象如下图所示（实线部分）：
因为，，因此，.
故选：A.
25．（2023·高一课时练习）函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”．若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为为上的“有偶函数”，故存在非零实数，使得，
若，则，故方程有解，
故在上有解，而，
而，故的值域为，故.
若，则，故方程有解，
故在上有解，而，
而，故的值域为，故.
故选：D.
26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（ ）
①
②；
③
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.
【详解】对于①，，
又因为，当且仅当，即时取等；
所以.
对于②，，
，
，所以
对于③，因为当时，，
所以时，，，，
因为当时，，
所以时，，
所以.
故在其定义域上有界的函数为①.
故选：B.
27．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.
【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，
所以，或，，
则，，
故、是方程的两个同号的不等实数根，
即方程有两个同号的不等实数根，注意到，
故只需，解得，
结合，可得.
故选：D
28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和,上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】理解题意，明确界点的含义，对于各个函数逐一判定．
【详解】解：根据题意，
对于A，，故恒成立，则有两个实根，不妨设，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；
对于B，的两根分别为，，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；
对于C，，解得或，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；
对于D，，解得，且在上单调递增，故不存在“界点”．
故选：D．
29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数对任意且，都有，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据“穿透”函数的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，因为对任意且，，
所以函数为“穿透”函数，故A不适合题意；
对于B，因为对任意且，，
所以函数不是“穿透”函数，故B适合题意；
对于C，因为对任意且，，
所以函数为“穿透”函数，故C不适合题意；
对于D，因为对任意且，，
所以函数为“穿透”函数，故D不适合题意.
故选：B.
30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可．
【详解】对于A：，则，令，则，故有“巧值点”；
对于B，，则，令，故方程有解，故有“巧值点”；
对于C，，则，令，
则.
∴方程有解，故函数有“巧值点”．
对于D：定义域为，则，而，
显然无根，故没有“巧值点”.
故选：D．
31．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，分别为，的零点，利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
可知在定义域内单调递增，且，
∴；
又∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
，
令，则或，
∴在，内单调递增，在内单调递减，
当时，，则在内无零点，
当时，，则，
综上所述：；
故.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数草图；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
32．（2022·高二课时练习）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由在区间上恒成立，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】，
，
二次函数的开口向上，
依题意， 在上恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围从而确定它们的大小．
【详解】由题意：，
所以分别为的根，即为函数
的零点，
可解得；
为单调递增函数，
且，所以，
令，解得，或，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，由，，，
，所以，
所以.
故选：B.
34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项.
【详解】对于A选项，，则，由，
即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项，，则，由，
可得，其中，令，则，，
所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项，，则，其中，
因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项，，则，
由，可得，
因为，，
所以，，
所以，方程无实解，D选项不满足条件.
故选：D.
二、多选题
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数有3个“和谐区间”；
B．函数，存在“和谐区间”
C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为
D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由函数的单调增，确定的解可判断ABC，由函数单调减，由有解，求得的范围判断D．
【详解】对A，因为函数在上单调递增，
所以有，即，为的两个实根，解得可能取值为，0，
即函数的有3个“和谐区间”，，，故A正确；
对B，由于当，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误
对C，在上有“和谐区间”，
所以存在区间，使函数的值域为，
函数在上单调递增，
，为关于的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令与，问题转化为函数与的图象，在上存在两个不同的交点，函数在单调递减，在上单调递增．
，且，，
此时，解得，
故．
对D，函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域也为，
①，②两式相减可得，
，
即③，
将③代入②，，
令，得，又，，
故实数的取值范围为．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：新定义函数问题，关键是理解新定义，由新定义把问题进行转化，本题在确定单调增的基础上，确定方程的解，在单调减基础上由有解得参数范围．
36．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（ ）
A．是单调递增函数B．当时，的最大值为
C．当为素数时，D．当为偶数时，
【答案】BC
【分析】写出的前8项，可判断ABD；当为素数时，与前个数均互素，从而可判断C.
【详解】由题意知，，，，，，，，，
对于A，不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，当为素数时，与前个数均互素，所以，故C正确；
对于D，当时，,故D错误.
故选:BC.
37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数，若在区间上存在，使得，则称是区间上的“稳定函数”.下列函数中，是区间上的“稳定函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出以及在上的范围，即可判断A项；解，即可判断B、C项；可转化为有解，作出与的图象，即可判断D项.
【详解】对于A，当时，恒成立，则恒成立.
又，所以，在上，不存在，使得，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，解可得，或，且，，故C正确；
对于D，令，可得.
分别作出与在上的图象，
由图象知，函数与在上有交点，
即有解，故D正确.
故选：BCD.
38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是
B．函数是回旋函数
C．若函数为回旋函数，则
D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，得到，从而得到充要条件是；B选项，得到，不存在符合题意； C选项，化简得到有解，则；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点.
【详解】函数（其中a为常数，）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是，A正确；
是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故B错误；
在R上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，C正确；
由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，所以在上至少有1011个零点，D正确.
故选：ACD
39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由“理想函数”的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.
在A中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；
在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；
在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；
在D中，函数的大致图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，都有
B．函数的值域为或
C．函数在区间上单调递增
D．
【答案】AC
【分析】利用题中给出的新定义得到，，结合不等式的性质即可判断选项A，利用基本不等式结合新定义即可判断选项B，通过新定义可得函数是周期为1的函数，然后研究函数的单调性即可判断选项C，利用对数的运算性质以及的范围进行分析求解，即可判断选项D．
【详解】对于选项A，因为对于任意的，，都有，，故，即，故选项A正确；
对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，此时函数的最大值为，故选项B错误；
对于选项C，令，因为，所以函数是周期为1的函数，
因为当时，函数是增函数，所以函数在区间上单调递增，故选项C正确；
对于选项D，当且时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
，故选项D错误．
故选：AC
41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称值是的一个周期为k的周期点．若，下列各值是周期为2的周期点的有（ ）
A．0B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.
【详解】解：A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B：时，，周期为1，周期为2也正确，故B正确；
C：时，，，所以值不是周期为2的周期点.故C不正确；
D：时，，，所以是周期为2的周期点，故D正确.
故选：ABD.
42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题中定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】解：由题可知：对任意定义域中的任意，存在，使得，
对于A选项，函数的值域为，A满足条件；
对于B选项，当时，，此时不存在自变量，使得函数值为，故B不满足；
对于C选项，函数的值域为，C满足条件；
对于D，当时，，所以，不存在自变量，使得函数值为，所以D不满足.
故选：AC.
三、填空题
43．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．
①若，则；
②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；
③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．
【答案】①②
【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.
【详解】对于①，，有，则，又，所以，①正确；
对于②，依题意，，，
则，，即当时，取得最小值，②正确；
对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数，
因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误，
所以3个命题中是真命题的有①②.
故答案为：①②
44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】判断函数的单调性，根据“优美函数”的定义可列出方程组，结合一元二次方程的根的范围列出不等式，即可求得答案.
【详解】若，则函数为R上增函数，为上的增函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
若，则函数为R上减函数，为上的减函数，
所以函数为其定义域上的增函数，
综上，函数为其定义域上的增函数，
若函数是“优美函数”，则，
即，即是方程的两个不同的正根，
则，解得，即的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题要正确理解“优美函数”的定义，由此可列出相应的方程，因此解答的关键在于判断函数的单调性，进而将问题转化为一元二次方程的根的范围问题.
45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有_______个．
【答案】9
【分析】由对数换底化简后，根据新定义累乘后可得，再由企盼数定义可得，转化为求满足的n的个数.
【详解】令，
，
要使成为企盼数，则，
，即，
，
可取.
所以在区间内，这样的企盼数共有9个.
故答案为：9
46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.
【答案】
【分析】根据已知对求导，然后再两边求导可得，可得到的单调性及极小值.
【详解】由可得，两边求导可得，
，由可得，故，当时，，当时，，故的极小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的定义与导数的计算､函数极值的求解，解题的关键点是根据已知条件进行求导，考查了学生的数学运算与逻辑推理能力.
47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】令得，设函数，
则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
，，如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上是一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．
【详解】因为，所以，
因为函数是区间上的双中值函数，
所以区间上存在满足，
所以方程在区间上有两个不相等的解，
令，
则，解得，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点；
(2)若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据不动点定义求解即可;
(2)根据不动点的范围,分类讨论列式求解可得范围.
【详解】（1）设不动点,因为又因为,所以,,即得
（2）因为函数有两个不动点
所以,,
①当
若，则，不满足题意，
则
,,解得
②当
若，则，不满足题意，
则，，
又,,解得，
综合①②,可知的取值范围是
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
50．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数，若点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数.
(1)求函数的解析式；
(2)对任意的的图像总在其相关函数图像的上方，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入函数中化简即可；
（2）由（1）求得函数的解析式，然后由在上恒成立可得参数范围．
【详解】（1）因为函数，且点在函数图像上运动，
所以，即，
所以函数的解析式为：.
（2）因为对任意的，的图像总在其相关函数图像的上方，
所以当时，恒成立，
即恒成立，
由，，，得，
所以在此条件下，
即时，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
∴，
解得，
故实数的取值范围为.
51．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数”
(1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由；
(2)当时，证明：是“J形函数”；
(3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围.
【答案】(1)否，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)或.
【分析】（1）作差可得，根据的任意性，无法判断该式符号，即可说明；
（2）作差可得，即可证明得出结论；
（3）代入化简可得，.由“J形函数”的概念整理化简可得，，进而即可得出实数a的取值范围.
【详解】（1）解：不是“J形函数”，理由如下：
当时，有，，，
则.
因为，所以与0的关系不确定，
不能得出，所以不是“J形函数”.
（2）证明：当时，有，，，
则，
所以，
显然有对恒成立，
所以有对恒成立，
所以是“J形函数”.
（3）解：由已知可得，，，
所以.
因为函数为“J形函数”，
所以有，
即.
由，可得；
由可得，.
当时，该式恒成立，满足；
当时，有恒成立.
因为，所以.
综上可得，或.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简.只要得出恒成立，即可说明是“J形函数”.
52．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数.
(1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”.
已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（2）由（1）可得出，分析可知，在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：因为，所以，
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增.
故，即.
因为在其定义域内是增函数，所以，解得.
(2)
解：由（1）可得.
设，
则.
因为在其定义域内是增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
由，得；由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，解得.
因为，所以，即的取值范围是.
53．（2022·高二课时练习）记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；
（2）设为与的“点”，根据题中定义可得出关于的方程组，即可求得实数的值.
【详解】（1）函数，，则，．
由，可得，此方程组无解，
因此，函数与不存在“点”；
（2）函数，，则，，
设为与的“点”，由可得，
可得，解得，此时.
因此，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“点”的定义得出方程进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.
54．（2023秋·广东江门·高一统考期末）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”.
(1)已知函数，试问是否为“伪奇函数”？请说明理由；
(2)是否存在实数满足函数是定义在上的“伪奇函数”？若存在，请求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数不是“伪奇函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据所给定义令得到方程，判断方程无解，即可得解；
（2）依题意可得，令则，问题转化为关于的方程在上有解，令，结合二次函数的性质分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】（1）解：函数不是“伪奇函数”，
对于定义域为，
令，即，即，显然方程无解，
所以不存在实数满足，
所以函数不是“伪奇函数”.
（2）解：假设函数是定义在上的“伪奇函数”，
则有，即，
化简得，
令，则，所以，
所以在上有解，
令，
①当即，解得，
即当时，在上有解，
②当时，要满足题意只需，
即，解得，
综上，实数的范围为．
极大值