专题01 函数与导数（数学文化）-新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）

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1．（2022春·辽宁沈阳·高二校联考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意逐个解方程判断即可
【详解】解：对于A，由，得，即，方程无解，所以A不符合题意，
对于B，由，得，即，方程无解，所以B不符合题意，
对于C，由，得当时，，即，解得或，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，
对于D，由，得，即，方程无解，所以D不符合题意，，
故选：C
2．（2023·高一单元测试）上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先求出总的面积为（平方步），再转化为亩数为之间，对照四个选项，即可得到正确答案.
【详解】总的面积为（平方步）.
因为一亩约在200—250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，只有B正确.
故选：B
3．（2021秋·高一课时练习）圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为米，则应县木塔的总高度大约是（ ）（参考数据：）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】C
【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为，又，可估计
【详解】设正方形的边长为，圆的半径为，
则，
易知白银比例为．
因为，，
所以，故排除A，B，D．
故选：C
4．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则计算后可得．
【详解】，，
因此最接近于．
故选：D．
5．（2021秋·江苏·高一专题练习）据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县发生里氏级地震.已知地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的级地震所释放出的能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到；参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.
【详解】由题设，四川省泸州市泸县发生里氏级地震的能量为，
日本本州东岸近海发生的级地震的能量为，
∴.
故选：C
6．（2022秋·四川成都·高三校考开学考试）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要( )
附：
A．3年B．4年C．5年D．6年
【答案】B
【分析】首先根据已知条件求出，然后求不等式即可.
【详解】由题意可知，
，
故，
由，解得，
故该果树的高度超过，至少需要4年.
故选：B.
7．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）开普勒，德国天文学家、数学家，他发现了八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为，则天王星的公转时间约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为和，距离太阳的平均距离为和，根据，，结合已知条件即可求解.
【详解】设天王星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，
土星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，
由题意知：，，
所以，
所以，
故选：B.
8．（2021秋·广东东莞·高一校考阶段练习）中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示.
纵式
横式
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，判断出表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.
【详解】根据题意，判断出表示的数字为729，
，不符合题意；,符合题意；个位数字为1，不符合题意；，不符合题意.
故选：B
9．（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）中文“函数（functin）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．，B．与
C．与D．，
【答案】C
【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数定义域是R，定义域是，A不是；
对于B，函数定义域是R，定义域是Z，B不是；
对于C，函数定义域R，定义域是R，与的对应法则相同，C是；
对于D，函数定义域是，定义域是，D不是.
故选：C
10．（2022秋·山东烟台·高三校考阶段练习）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）
参考数据：
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.
【详解】，令，两边同时取常用对数得，
∴，∴，结合选项知与最接近的数为.
故选:C
11．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）
A．庚子年B．丙卯年C．癸亥年D．戊申年
【答案】B
【分析】根据干支纪年法的规则判断．
【详解】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排列5次（共60个），然后上下组合成一个年份．所有年份如下表所示：
1-10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
11-20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰辛巳 壬午 癸未
21-30 甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅辛卯 壬辰 癸巳
31-40甲午乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸卯
41-50甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑
51-60甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥
故B错误，
故选：B．
12．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）缪天荣，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究，年，他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角（单位：）设定为对数关系：.如图，标准对数视力表中最大视标的视角为，则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的（相应的视角为），取，则其视力用“分记录法”记录（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将代入，求出的值，即可得解.
【详解】将代入函数解析式可得.
故选：C.
13．（2022·全国·高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由题意表示出和，再由指数运算求出，最后由对数运算求解即可.
【详解】由题意知：，，则.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
【答案】C
【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果
【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，
故选：C．
15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学校联考三模）一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（ ）（）
A．11.3B．13.2C．15.6D．17.1
【答案】B
【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，，即，解得，
，即，
所以，
所以；
故选：B
16．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】设需要n天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得，令，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则，
化简并整理得，
令，则；，
又在单调递增，
∴在内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
17．（2022·陕西渭南·统考一模）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当时，，
当时，，
∴，
∴ 的增长率约为.
故选：C
18．（2022·高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为（ ）（注：素数即质数，）
A．2172B．4343C．869D．8686
【答案】D
【分析】根据所给函数代入，化简求值即可.
【详解】．
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．
1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对指数运算算出的结果，再对照题中数码即可得到结果.
【详解】因为，对照题中数码，注意纵式与横式，即可得到答案D.
故选：D.
20．（2022秋·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中，为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知数据、对数的运算公式进行求解即可.
【详解】设，
故选：C
21．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（ ）
A．机时B．机时C．机时D．机时
【答案】C
【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得,设所需机时为t，得出,两式相比,可得,化间计算可得答案.
【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得，
原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，
则,故 ,
故结果最接近于机时,
故选:C
22．（2021秋·陕西渭南·高一统考期中）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是（），空气的温度是（），经过t分钟后物体的温度T（）可由公式求得.把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么t的值约等于（参考数据：，）（ ）
A．1.76B．2.76C．2.98D．4.40
【答案】B
【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.
【详解】由题可知：，，，
代入方程得：，
即，两边取对数得：，
而，故，
解得：.
故选：B
23．（2021秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对ABD利用特殊值即可判断；对C利用函数的定义逐一验证即可.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
即任取，总有，故C正确；
对于D中，当时，，故D错误．
故选：C．
24．（2021秋·江苏扬州·高三校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，由此排除部分选项，再探讨上的函数值符号即可判断作答.
【详解】由得：且，当时，，当时，，
于是得函数的定义域为，
结合定义域及图象，选项A，D不正确；
当时，单调递增，则，即，而，
因此有，显然选项C不正确，选项B满足.
故选：B
25．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A．B．，C．，，D．，0，
【答案】B
【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】，
，，，
，
或0，
的值域为，.
故选：B.
26．（2021·江苏·高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【分析】判定当时，的极限即为型，再利用给定法则计算即可得解.
【详解】显然，当时，的极限即为型，
所以：.
故选：B
27．（2022秋·河南驻马店·高一校考期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题可判断为奇函数，且在上为增函数，所以不等式化为，利用单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
，为奇函数，
，且在上为减函数，
由复合函数的单调性可知在上为增函数.
，，
，.
故选：.
28．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
29．（2022·全国·高三专题练习）十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】已知式两边同时求导，然后令代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得．
【详解】因为…，
所以，
令得，
即．
故选：A．
30．（2022秋·江苏镇江·高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习）意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（e为自然对数的底数）．当a=2时，记，，，则p，m，n的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，再利用导数得到函数在区间上单调递增，分析即得解
【详解】由题意知，，
当a=2时，
定义域为，且
故为偶函数
又，
当时，，即函数在区间上单调递增
因为，
又，所以，即
故选：B
31．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可
【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意，
对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意，
对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
故选：C
32．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（ ）参考数据：，.
A．3.048分钟B．4.048分钟C．5.048分钟D．6.048分钟
【答案】C
【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.
【详解】依题意，，，，代入公式得：
（分钟），
故选：C.
33．（2022秋·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系视为（单位：），取，则从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，80，分别代入方程，变化量就是它们之差.
【详解】当时，，当时，，
则衰减量的增加值约为.
故选：C
二、多选题
34．（2022·全国·高三专题练习）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（ ）
A．在区间内
B．是15位数
C．若，则
D．若是一个35位正整数，则
【答案】ACD
【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可．
【详解】对A ，令，
所以，A正确；
对B，令，
所以，则是16位数， B错；
对C，令，
又因为，所以
则，所以，C正确；
对D ，令，，因为是一个35位正整数，
所以，则，即，
所以，D正确；
故选：ACD
35．（2021秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程，其中为参数．当时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲函数，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用题设条件给出的函数，对各选项逐一分析、推理计算即可判断作答.
【详解】因双曲正弦函数和双曲余弦函数，
对于A，，A正确；
对于B，，B不正确；
对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在递增，，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：AC
36．（2021秋·浙江湖州·高一校联考期中）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为,则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．值域
【答案】ACD
【分析】根据题意即可求得函数的定义域和值域，即可得出答案.
【详解】根据题意可得函数的定义域，则，故A正确；
函数的值域，故B错误，D正确；
，故C正确.
故选：ACD.
37．（2022秋·吉林通化·高一校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用函数定义对选项逐个判断即可.
【详解】解：在A中，当时，，故A错误；
在B中，当时，，故B错误；
在C中，任取，总有，故C正确；
在D中，任取，总有，故D正确．
故选：CD．
38．（2022·全国·高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题中函数的定义，逐项进行判定，令，可得，则，可判断A选项；令，则，则，可判断B选项；令，则，所以，可判断C选项；根据二次函数的性质和函数的定义，即可判断D选项.
【详解】解：对于A中，令，可得，则，所以不满足函数的定义，所以A不正确；
对于B中，令，则，则，满足函数的定义，所以B正确；
对于C中，令，则，所以，满足函数的定义，所以C正确；
对于D中，由于函数中的每一个值，都有唯一的一个与之对应，
所以满足函数的定义，所以D正确.
故选：BCD.
39．（2022秋·广西柳州·高一统考期中）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数可以是某个圆的“太极函数”
D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
【答案】AB
【分析】选项A，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B，函数关于原点中心对称，是圆心在原点的圆O的“太极函数”； 选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆可以让函数将其的周长和面积同时等分；选项D可以通过举出两个反例分别进行说明.
【详解】选项A正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；
选项B正确，函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心在原点的圆O的“太极函数”，故B正确；
选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其的周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”, 故C错误；
选项D错误，函数的图像是中心对称图形，但不是 “太极函数”；反之，如图，函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D错误.
故选：AB．
三、填空题
40．（2022·高一课时练习）十九世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）提出了“狄利克雷函数” ，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义.根据“狄利克雷函数”求得___________.
【答案】1
【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，直接化简目标式求值即可.
【详解】由题设，.
故答案为：1.
41．（2022·全国·高一假期作业）2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数随时间（单位：年）的变化规律是，则该样本中碳14的原子数由个减少到个时所经历的时间（单位：年）为______．
【答案】11460
【分析】代入函数值，求出自变量.
【详解】当时，，若，则，所以，.
故答案为：11460
42．（2021春·福建南平·高二校考期中）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为__________．（参考数据：）
【答案】66
【分析】将代入函数结合求得即可得解．
【详解】，所以，则，所以，，解得．
故答案为：66.
43．（2021秋·江苏·高一专题练习）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表：
则我方必胜的排序是_______.
【答案】，，
【分析】根据对数函数、指数函数的性质比较大小后可得
【详解】由指数函数性质知，，由对数函数性质知，
因此可排序为时必胜．
故答案为：．
44．（2022·全国·高三专题练习）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件．他的朋友布里格斯构造了现在常用的以10为底的常用对数，并出版了常用对数表，以下是部分数据（保留到小数点后三位），瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其中正确的序号是_______．
①在区间内；
②是15位数；
③若，则；
④若是一个70位正整数，则．
参考数据如下表：
【答案】①④##④①
【分析】利用对数的运算性质求出，由此分析求解即可．
【详解】解：，则，所以，故①正确；
因为，所以，即是16位数，故②错误；
因为，即，所以，则，则③错误；
因为，因为是一个70位正整数，所以，所以，所以，故④正确
故答案为：①④
45．（2021秋·河南信阳·高三统考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则当时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据题意先求解出函数f(t)的解析式，再结合函数的极值求解出参数的取值范围.
【详解】根据点A的坐标)可得圆周的半径
又旋转一周用时6秒，所以周期，从而得
，又点 时，在函数图像上
，且 ，
根据三角函数的性质，在内恰有两个极大值时，
，解得
故答案为：.
46．（2022·江苏连云港·模拟预测）建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：m2），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为．已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量约为_______dB．（注：）
【答案】
【分析】根据已知公式求得组合墙的透射系数的平均值，根据即可求得答案.
【详解】由题意得：组合墙的透射系数的平均值：，
故组合墙的平均隔声量为
设 ，则 ，
由于，故，
故 ，
所以，
故答案为：
47．（2022春·河南安阳·高二统考阶段练习）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为______．（，）
【答案】
【分析】依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，即可得到保留下来的所有小正方形面积之和，从而得到不等式，再两边取对数，根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为，若使得，两边取对数可得，即，
所以至少操作次；
故答案为：
48．（2022·全国·高一专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是______.
【答案】7
【分析】求得去掉的开区间，根据属于去掉的开区间列不等式，由此求得的最小值.
【详解】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间.
经历第步，剩下的最后一个区间为，
经历第步，剩下的最后一个区间为，
……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，
去掉的最后开区间为，
要使最小，则化简得，
，所以.
故答案为：
49．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一中学校校考期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.若，则的不动点为___________.
【答案】0或1
【分析】设的不动点为，由题意，再代入可得，进而求解即可.
【详解】设的不动点为，则由题意，又，故，即，所以，故为的不动点，故，即，解得或，即的不动点为0或1.
故答案为：0或1
四、解答题
50．（2021·全国·高一专题练习）20世纪30年代，里克特（C．F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
（以下数据供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4770）
【答案】(1)里氏4.3级；
(2)1000倍.
【分析】(1)根据题目的条件，将数据代入，利用对数的运算性质进行求解即可.
(2)先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可．
(1)
依题意，，
因此，这次地震的震级为里氏4.3级.
(2)
由可得，即，，
当M=8时，地震的最大振幅为，当M＝5时，地震的最大振幅为，
于是得两次地震的最大振幅之比是：，
所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
51．（2022秋·广东中山·高一统考期末）中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足：，其中为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为98℃的水在19℃室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
(1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值（精确到0.01）.
(2)“碧螺春”用75℃左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，水煮沸后在19℃室温下为获得最佳口感大约冷却___________分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由.
A．5 B．7 C．10
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)；
(2)大约冷却分钟，理由见解析.
【分析】（1）根据求得冷却时间（单位：分）关于冷却水温（单位：℃）的函数关系，结合对数运算求得.
（2）根据（1）中的函数关系式列方程，由此求得冷却时间.
（1）
依题意，，，
，，
，.
，依题意，
则.
若选：从98℃下降到90℃所用时间：1分58秒，即分，
则
若选：从98℃下降到85℃所用时间：3分24秒，即分，
若选：从98℃下降到80℃所用时间：4分57秒，即分，
所以.
（2）
结合（1）可知：，
依题意，
.
所以大约冷却分钟.
52．（2022秋·江苏苏州·高一统考阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州医药的发展，到明､清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.毫州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价（单位：元/千克）与第天（）的函数关系满足（为正常数）.该中药材的日销售量（单位：千克）与的部分数据如下表所示：
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价日销售量）
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，④，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入（单位：元）的最小值.
【答案】(1)
(2)③，，最小值为3125元
【分析】（1）根据题中条件，第天该中药的日销售收入为元，将其代入函数关系式中即可求出的值；
（2）首先根据数据的变化规律和特点选定合适的销售量函数，再根据函数的解析式结合均值定理求解日销售收入的最小值即可.
【详解】（1）由时，，得；
（2）因为数据有增有减，①④不合符题意，
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
，解得：，
即得②类函数解析式为.
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
，解得：，
即得③类函数解析式为，
将第一组数据代入，
可知：，
将第一组数据代入，
可知：，
因此最合适.
当时
，
当且仅当时，等号成立
当时
函数在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立
综上可知，当或日销售收入最小值为3125元.
真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（近似值）
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1.255
1.279
第一局
第二局
第三局
对方
3
0.9
0.027
真数x
2
3
5
7
11
13
17
19
（近似值）
0.301
0.477
0.699
0.845
1.041
1.114
1.230
1.279
从98℃下降到90℃所用时间
1分58秒
从98℃下降到85℃所用时间
3分24秒
从98℃下降到80℃所用时间
4分57秒
4
10
20
30
149
155
165
155