初中数学17.2 勾股定理的逆定理教学设计

这是一份初中数学17.2 勾股定理的逆定理教学设计，共6页。
能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界.
学习重点
勾股定理逆定理的实际应用.
学习难点
勾股定理及其逆定理的综合应用.
课时活动设计
知识回顾
回顾勾股定理的逆定理的内容,并指出定理用于判定直角三角形.
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
设计意图:复习旧知识,为新课学习做准备.
实际应用
例1 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
解:如图,连接RQ.根据题意,得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.
因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.
如图,由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
设计意图:带着实际问题走入数学课堂,激发学生的学习兴趣,发展学生将实际问题转化为数学问题并解决数学问题的能力,同时建立数学对象与现实世界之间的联系.
综合应用
例2 已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求证:∠A+∠C=180°.
解:如图,连接AC.在Rt△ABC中,因为AB=20,BC=15,∠B=90°.
由勾股定理,得AC=AB2+BC2=202+152=25.
在△ADC中,因为AD=24,DC=7,AC=25.
又因为242+72=252,所以AD2+CD2=AC2.
所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.
因为∠B=90°,所以∠CAB+∠BCA=90°.
所以易得∠DAB+∠DCB=180°,即∠A+∠C=180°.
设计意图:通过解决此问题,让学生明确有直角三角形时运用勾股定理求第三边,有三角形的三条边时运用勾股定理的逆定理判定直角.发展学生综合运用知识解决问题的能力.
例3 如图,BE⊥AE,∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=23,CD=3,DE=3,求证:AD⊥CD.
证明:证法一.在Rt△AEB中,因为∠AEB=90°,∠A=60°,所以∠ABE=30°.因为AB=4,所以AE=2.由勾股定理,得BE=AB2-AE2=42-22=23.
在△BEC中,因为∠EBC=60°,BC=BE=23,所以EC=23.
在△EDC中,因为(23)2-(3)2=32,
所以EC2-DC2=DE2.所以∠D=90°.所以AD⊥CD.
证法二.如图,延长AD,BC交于点M.
因为BE⊥AE,∠A=60°,所以∠ABE=30°.
因为∠EBC=60°,所以∠ABM=90°.
在Rt△ABE和Rt△ABM中,
易得AE=2,AM=8,BE=23,BM=43.
在△MDC中,因为(43-23)2-(3)2=(8-2-3)2,
所以MC2-DC2=DM2.所以∠MDC=90°.
所以AD⊥CD.
设计意图:引导学生经历一题多解,再次感悟勾股定理求边长、勾股定理的逆定理判定直角.
初步应用
1.A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向?
解:因为BC2+AB2=52+122=169,AC2=132=169,所以BC2+AB2=AC2.
即△ABC是直角三角形,∠B=90°.
答:C地在B地的正北方向.
2.有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1 cm,又向南跳2 cm,再向西跳3 cm,然后又跳回原点,问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的?所跳距离是多少厘米?
解:根据题意,结合下图可知电子跳蚤跳回原点的运动方向是东北方向;所跳距离是22 cm.
3.如图,在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1 000 m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
求:(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)?
(2)距离哨所多少米(即OB的长)?
解:(1)根据题意,得∠AOC=30°,∠COB=45°,AO=1 000 m,AB⊥OC,
所以AC=12AO=500 m,BC=OC.
在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC=1 0002-5002=5003(m).
所以BC=OC=5003.
所以AB=AC+BC=(500+5003)m.
所以此时快艇航行了(500+5003)m.
(2)在Rt△BOC中,由勾股定理,得OB=OC2+BC2=(5003)2+(5003)2=5006(m).所以距离哨所5006 m.
拓展提升
1.如图1,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以152 km/h的速度沿北偏西60°方向前进,乙船以15 km/h的速度沿东北方向前进.甲船航行2 h到达C处时发现渔具丢在乙船上,于是快速(匀速)沿北偏东75°方向追赶,结果两船在B处相遇.
(1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间?
(2)甲船追赶乙船的速度是多少千米/时?
解:(1)如图2,过点A作AD⊥BC于点D,作CG∥AE交AD于点G.
因为乙船沿东北方向前进,所以∠HAB=45°.
因为∠CAH=60°.所以∠CAB=60°+45°=105°.
因为CG∥EA,所以∠GCA=∠EAC=90°-60°=30°.
因为∠FCD=75°,所以∠BCG=15°,∠BCA=15°+30°=45°.
所以∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30°.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2×152=302(km).
所以易得AD=DC=30(km).
在Rt△ABD中,∠B=30°,则AB=2AD=60 km.
则甲船从C处追赶上乙船的时间是60÷15-2=2(h).
(2)由(1),得BD=AB2-AD2=602-302=303(负值舍去).
所以BC=CD+BD=(30+303)km.
故甲船追赶乙船的速度是(30+303)÷2=(15+153)km/h.
2.已知在Rt△ABC中,AC=BC,P为△ABC内一点,且PA=1,PB=3,PC=2,求∠APC的度数.
解:如图,把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC.
由旋转的性质,得△PCD是等腰直角三角形,
BD=AP=1,CD=PC=2,∠APC=∠BDC,
所以PD=CD2+PC2=22+22=22,∠PDC=45°.
因为PD2+BD2=(22)2+12=9,PB2=32=9,
所以PD2+BD2=PB2.
所以△PBD是直角三角形,∠PDB=90°.
所以∠BDC=90°+45°=135°.所以∠APC=135°.
设计意图:进一步加强学生对所学知识的掌握和解决数学问题的信心,提升学生对知识灵巧运用的能力.
课堂8分钟.
1.教材第34页习题17.2综合应用第5,6题.
2.七彩作业.
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
例1 例2 例3
教学反思