第1课时平行四边形边和角的性质
课时目标
1.经历平行四边形定义的形成过程,理解平行四边形的定义,发展学生数学抽象的核心素养.
2.通过观察、度量及推理,探索并掌握平行四边形的性质,渗透类比、转化的数学思想方法,培养学生的推理能力与严谨的逻辑思维能力.
3.通过平行四边形性质的应用,理解两平行线间距离的意义,能度量两平行线间的距离,发展学生的几何直观以及推理能力.
达成目标1的标志:学生通过观察生活中的四边形,能说出平行四边形的基本特征,并能用语言描述平行四边形的定义.
达成目标2的标志:学生通过观察和度量,能猜想并论证平行四边形的性质,并能运用性质独立完成检测练习.
达成目标3的标志:能证明两平行线间的距离处处相等,并能度量两平行线间的距离.
学习重点
平行四边形的性质的探究.
学习难点
平行四边形性质的证明.
课时活动设计
回顾研究三角形及其性质的研究路径和方法,设计四边形的研究路径和方法.
设计意图:引导学生回顾三角形及其性质的研究路径,让学生体会关于图形性质的研究是由简到繁,由一般到特殊的环环相扣、一脉相承的过程,按照定义—性质—判定—应用的顺序进行研究,它们的研究路径和方法是一致的.
通过多媒体播放生活中的四边形图片,感受平行四边形在生活中无处不在,并观察这些图片有哪些共同特征?你能试着给平行四边形下个定义吗?
设计意图:学生通过观察大量的现实图片,从中抽象出几何图形,通过分析、比较、交流,揭示事物的本质属性,最后得出定义.培养学生的数学抽象能力,学会用数学的语言表达世界.
思考平行四边形除了对边平行之外还有哪些性质?研究一个图形的性质应该从哪方面入手研究?如何研究?
设计意图:引导学生研究图形的性质需要研究组成图形的要素之间的关系,即数量关系与位置关系,而对性质的研究要经历观察—猜想—验证—证明的过程,培养学生科学的思维方法,引导学生学会独立去研究几何图形的性质.
探究平行四边形的性质:
问题1:请根据定义画一个平行四边形ABCD,猜想▱ABCD的对边AB与CD,AD与BC之间具有怎样的数量关系?∠BAD与∠BCD,∠ABC与∠ADC之间具有怎样的数量关系?你能验证你的猜想吗?
问题2:如何证明上述猜想?证明线段相等和角相等的方法有哪些?如何将四边形的问题转化成三角形的问题?怎样添加辅助线?
问题3:证明平行四边形对角相等,你还有其他方法吗?要想求平行四边形四个角的度数,至少需要知道几个角的度数?为什么?
如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证明:如图所示,连接BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AB∥CD.
∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.
又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB.
∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠BCD.
∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,
即∠ABC=∠ADC.
设计意图:先引导学生通过画图、观察、验证得出猜想,再通过将四边形问题转化为三角形全等的问题证明猜想,培养学生掌握科学的研究问题的方法,发展学生的合情推理与演绎推理能力.通过让学生思考平行四边形对角相等的其他证明方法及求角的度数的必要条件,培养学生思维的广度和深度,发展学生的数学思维.
总结平行四边形性质的探索过程,你能用两种语言表达这些性质吗?
1.文字语言:平行四边形的对边相等,对角相等.
2.符号语言:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB.
设计意图:引导学生反思研究平行四边形性质的过程,体会发现、提出、证明一个几何命题的一般方法.让学生关注自己的思考过程和表达过程,以提高归纳概括的能力.
探究两条平行线之间的距离:
先独立完成教材第42页例1,然后学生代表讲解,全班分享,共同完善修正答案.
例如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=CB.
又∠AED=∠CFB=90°,
∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.
问题1:我们以前学过点与点之间的距离,点与线之间的距离,图中的DE可以看作哪两个点之间的距离?也可以看作哪个点与哪条线之间的距离?
同时DE也是平行线AB与CD之间的距离,两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
问题2:两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点与线之间的距离有何联系与区别?
设计意图:本环节通过平行四边形性质的应用得出两条平行线之间的距离,通过对比点与点、点与线、线与线之间的距离,可以帮助学生加深对“距离”这一概念的理解,同时也可以帮助学生梳理所学知识,使知识结构化、系统化.
本节课我们研究了平行四边形的概念和部分性质,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)本节课探究了平行四边形的哪些问题?
(2)在探寻平行四边形的定义及证明其性质时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
(3)在研究一个图形时,图形的定义、性质、判定是重要的研究问题,你能说一说它们的逻辑关系吗?对于平行四边形,后续还会研究哪些内容?
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对平行四边形的性质的研究方法和内容的理解,明确平行四边形的定义、性质、判定的逻辑关系,并通过将图形组成要素、要素间关系进行特殊化,得出新的研究对象,为后续研究奠定基础.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第49页习题18.1复习巩固第1,2,7题,第50页综合运用第8,9,10题.
2.七彩作业.
教学反思