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2022-2023学年河南省焦作市高二（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省焦作市高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|lg3(3x−2)<1}，B={x|−1A. {x|234}
C. {x|232.已知函数f(x)=alnx+3x且f′(1)=4(其中f′(x)是f(x)的导函数)，则实数a=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.已知随机变量X的数学期望E(X)=1，方差D(X)=43，若随机变量Y满足Y=3X−2，则( )
A. E(Y)=3，D(Y)=12B. E(Y)=1，D(Y)=12
C. E(Y)=3，D(Y)=4D. E(Y)=1，D(Y)=4
4.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0)，若2 33a，c，c成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=±2xC. y=± 3xD. y=±x
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=3，S6=9，则S10=( )
A. 12B. 15C. 18D. 21
6.若曲线f(x)=lnx+2x在x=1处的切线的倾斜角为α，则sin2α5cs2α−sin2α=( )
A. 12B. 14C. −14D. −12
7.已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+2=an+1，则2a1⋅2a2⋅…⋅2a2022=( )
A. −2B. 1C. 3D. 2
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n+kn−2，则“k>−1”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
9.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念.小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行.已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9，0.9，0.8，则小红准时到校的概率是( )
A. 0.9B. 0.89C. 0.88D. 0.87
10.(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数是( )
A. 20B. −20C. 10D. −10
11.已知函数f(x)=aln(x−1)+e−x−1在定义域内单调递增，则实数a的最小值为( )
A. 1e2B. 2e2C. 1eD. e2
12.设a=111e0.1,b=110,c=ln1110，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>a>b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lnx−2x3.若f′(x)为f(x)的导函数，则f′(−1)= ______．
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f(x)=______．
①定义域为R；
②值域为(0,+∞)；
③在定义域内是单调递减函数
15.已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[−π,π]，则f(x)的极小值为______．
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn−3an=k(k为非零常数)，且a22+6a3=0，则k= ______．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bcsC+ccsB=2acsB+2bcsA，且csC= 134，角A为锐角．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若△ABC的外接圆面积为3π，求b．
18.(本小题12分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=74，a1−a3=34．
(Ⅰ)证明：数列Sn−2是等比数列；
(Ⅱ)已知数列{bn}满足bn=2n−1an+1，求bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥D−ABCE中，AD=DE=CE=BC= 2，BD= 6，AB⊥BC，BC⊥CE，AD⊥DE．
(Ⅰ)求证：BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点H(与端点A，B不重合)，使得二面角A−EH−D的余弦值为 33？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P(4,2)为该抛物线上一点．
(Ⅰ)求|PF|的值；
(Ⅱ)若斜率为2的直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且满足PA⊥PB，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−elnxa．
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若函数g(x)=ex−1ex，a=−e，证明：当x>0时，g(x)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|lg3(3x−2)<1}={x|0<3x−2<3}={x|23集合B={x|−1所以A∩B={x|23故选：C．
化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=alnx+3x，
所以f′(x)=ax+3，
则f′(1)=a+3=4，
所以a=1．
故选：C．
先对函数求导，然后把x=1代入即可求解a．
本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵期望E(X)=1，方差D(X)=43，
∴E(Y)=E(3X−2)=3E(X)−2=3−2=1，
D(Y)=D(3X−2)=9D(X)=12．
故选：B．
根据离散型随机变量的期望和方差的线性性质求解．
本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0)，若2 33a，c，c成等比数列，
可得2 33a=c，所以c2a2=43，
可得b2a2=13，
所以a= 3b，
所以双曲线的渐近线方程为：y=± 3x.
故选：C．
利用已知条件求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为等比数列{an}中，S2=3，S6=9，
当q≠1，a1(1−q2)1−q=3a1(1−q6)1−q=9，此时q不存在，
当q=1时，则a1=32，
则S10=10a1=15．
故选：B．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=lnx+2x，
∴f′(x)=1x−2x2，
∴f′(1)=1−2=−1，
即tanα=−1，
∴sin2α5cs2α−sin2α=2sinα⋅csα5cs2α−sin2α=2tanα5−tan2α=−25−1=−12．
故选：D．
先求出函数f(x)的导数，然后求出该函数在x=1处的切线斜率，从而求出tanα，再利用同角三角函数关系式，倍角公式求解．
本题考查导数的几何意义和同角三角函数基本关系式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+2=an+1，
则a3=1，a4=−1，a5=−2，a6=−1，a7=1，a8=2，…，
则数列{an}是以6为周期的周期数列，
则a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
即a1+a2+...+a2022=337×0=0，
则2a1⋅2a2⋅…⋅2a2022=2a1+a2+...+a2022=20=1．
故选：B．
由数列的递推公式，结合数列的周期性求解即可．
本题考查了数列的性质，重点考查了数列的周期性，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为数列{an}的通项公式为an=3n+kn−2，n∈N*，
所以{an}是递增数列时，an+1−an>0对于任意的正整数n都成立，
即an+1−an=[3n+1+k(n+1)−2]−(3n+kn−2)=2⋅3n+k>0，
即k>−2⋅3n对于任意的正整数n都成立，
所以k>(−2⋅3n)max=−2×3=−6．
所以“k>−1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选：A．
根据数列{an}是递增数列时，an+1−an>0对于任意的正整数n都成立，求出k的取值范围，由此判断即可．
本题考查了数列的单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，设事件A表示小红乘坐公共汽车，事件B表示小红骑单车，事件C表示小红步行，
事件D表示小红准时到校，
则P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(C)=0.1，P(D|A)=0.9，P(D|B)=0.9，P(D|C)=0.8，
故P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.5×0.9+0.4×0.9+0.1×0.8=0.89．
故选：B．
根据题意，设事件A表示小红乘坐公共汽车，事件B表示小红骑单车，事件C表示小红步行，事件D表示小红准时到校，利用全概率公式有P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)，进而计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：∵(x−1)2(1+x)6=(x2−2x+1)(C60+C61⋅x+C62⋅x2+⋅⋅⋅+C65⋅x5+C66⋅x6)，
要得到含x4的项，来源有3个：
若前边的括号取x2，则后边的括号取C62⋅x2；
若前边的括号取−2x，则后边的括号取C63⋅x3；
若前边的括号取1，则后边的括号取C64⋅x4．
故(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数是C62−2×C63+C64=−10．
故选：D．
把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：f(x)的定义域为(1,+∞)，f′(x)=ax−1−e−x，
由于函数f(x)在定义域内单调递增，
则f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，
则f′(x)=ax−1−e−x≥0，即a≥(x−1)e−x，
令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，
则g′(x)=e−x−(x−1)e−x=(2−x)e−x，
令g′(x)>0，解得：12，
所以g(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(2)=(2−1)e−2=1e2．
故a≥1e2，
故实数a的最小值为1e2．
故选：A．
对f(x)求导，由f(x)在定义域内单调递增，可得f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，即a≥(x−1)e−x在(1,+∞)恒成立，令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，转化为求g(x)max，可得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：由题意得a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln(1+0.1)，
构造函数f(x)=xx+1[ex−(x+1)]，(x≥0)，
令g(x)=x−ln(x+1)，(x≥0)，g(0)=0，且g′(x)=1−1x+1≥0，
所以g(x)在[0,+∞)单调递增，所以g(0.1)>0，即g(0.1)>0，得b>c；
令h(x)=ex−(x+1)，x≥0，由h′(x)=ex−1≥0在[0,+∞)上恒成立，得h(x)在[0,+∞)上单调递增，
由h(0)=0，所以h(0.1)>0，即f(0.1)=0.11+0.1e0.1−0.1>0，
故a>b；
所以a>b>c．
故选：A．
根据a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln(1+0.1)，构造函数f(x)=xx+1[ex−(x+1)]，(x≥0)，令g(x)=x−ln(x+1)，(x≥0)，研究h(x)=ex−(x+1)，g(x)在[0,+∞)上的单调性，且f(0)=g(0)=0，即可得到f(0.1)>0，g(0.1)>0，由此即可得到结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，进而解决数的大小比较问题，属于较难的题目．
13.【答案】−5
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lnx−2x3．
所以x<0时，−x>0，
则f(−x)=ln(−x)+2x3=−f(x)，
所以f(x)=−ln(−x)−2x3，
则f′(x)=−1x−6x2，
则f′(−1)=1−6=−5．
故答案为：−5．
结合奇偶性先求出x<0时的函数解析式，对其求导，再把x=−1代入即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了复合函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】(12)x(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，指数函数y=ax，当0且在在定义域内是单调递减函数，
故该函数可以为f(x)=(12)x；
故答案为：(12)x(答案不唯一)．
根据题意，由指数函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的单调性和值域，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．
15.【答案】π3− 3
【解析】解：已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[−π,π]，
f′(x)=1−2csx，x∈[−π,π]，
令f′(x)=1−2csx=0，解得x=−π3或π3，
x∈[−π,−π3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈[−π3,π3]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈[π3,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
则f(x)的极小值为f(π3)=π3− 3．
故答案为：π3− 3．
求导，判断单调性，写出极小值即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】12
【解析】解：已知数列{an}的前n项和为Sn，
又Sn−3an=k，①
则Sn−1−3an−1=k，(n≥2)，②
由①−②可得：an=32an−1，(n≥2)，
又k为非零常数，
所以a1−3a1=k，
即a1=−k2≠0，
即数列{an}是以−k2为首项，32为公比的等比数列，
又a22+6a3=0，
则(−k2×32)2+6×(−k2)×(32)2=0，
即k2−12k=0，
即k=12．
故答案为：12．
由数列的递推式，结合等比数列通项公式的求法求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列通项公式的求法，属基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵bcsC+ccsB=2acsB+2bcsA，
∴由正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB+2csAsinB，
即sin(B+C)=2sin(A+B)，即sinA=2sinC，
∵csC= 134，∴sinC= 34，
∴sinA= 32，
又∵A为锐角，∴A=π3；
(Ⅱ)由于△ABC的外接圆面积为3π，故外接圆半径为R= 3，
∵sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC= 32× 134+12× 34= 39+ 38，
∴由正弦定理可得b=2RsinB=2 3× 39+ 38=3 13+34．
【解析】(Ⅰ)由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式可得sinA=2sinC，由csC求得sinC，sinA，即可得出角A；
(Ⅱ)由△ABC的外接圆面积得出外接圆半径R，由sinB=sin(A+C)求出sinB，由正弦定理可得b=2RsinB，即可得出结果．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：{an}的公比为q，
由题意，得a1(1+q+q2)=74，a1(1−q2)=34，
联立二式，解得，a1=1，q=12，
所以Sn=(1−2−n)÷(1−2−1)=2−21−n，
所以Sn−2=−21−n，(Sn+1−2)÷(Sn−2)=12，
所以数列{Sn−2}是以12为公比的等比数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an=21−n，所以an+1=2−n，
所以bn=(2n−1)2n，
所以Tn=1×2+3×2²+…+(2n−1)2n，
2Tn=1×2²+3×23+…+(2n−1)2n+1，
Tn−2Tn=2+2×4×(1−2n−1)÷(1−2)−(2n−1)2n+1，
化简，得Tn=n⋅2n+2−3⋅2n+1+6．
【解析】(Ⅰ)通过已有条件求出等比数列{an}的公比和首项，进而求出前n项和Sn，再求出Sn−2，通过作商证明其是等比数列；
(Ⅱ)求出数列{bn}的通项公式，然后求前n项和Tn．
本题主要考查等比、差比数列相关性质，联立方程是求解数列{an}的关键，属中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：由题可知在Rt△ADE中，DA=DE= 2，∴AE=2，
∵BC=CE= 2，BC⊥CE，∴BE=AE=2，
又∵AB⊥BC，△EBC是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠EAB=45°，
∴AE⊥BE，又DE= 2，BD= 6，BE=2，
∴DE2+BE2=BD2，DE⊥BE，
∵AE∩DE=E，AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)解：H是线段AB的中点，理由如下：
以E为原点，直线EA，EB分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,1)，
则EA=(2,0,0)，ED=(1,0,1)，AB=(−2,2,0)，
易知平面AEH的一个法向量为n=(0,0,1)．
设AH=λAB=(−2λ,2λ,0)(0<λ<1)，
则EH=EA+AH=(2−2λ,2λ,0)，
设平面DEH的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅ED=x+z=0m⋅EH=(2−2λ)c+2λy=0，令z=1，则x=−1，y=1−AA，
∴平面DEH的一个法向量为m=(−1,1−λλ,z)，
由题意可知二面角A−EH−D为锐二面角，
∴|cs|=|n⋅m||n|⋅|m|=1 2+(1−λλ)2= 33，解得λ=12，
∴H是线段AB的中点．
【解析】(Ⅰ)证明AE⊥BE，DE⊥BE，可证BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)以E为原点，直线EA，EB分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AH=λAB(0<λ<1)，
求得平面AEH的一个法向量与平面EDH的一个法向量，利用向量法可求λ的值，进而确定H点的位置．
本题考查线面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查面面角的求法，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵P(4,2)为该抛物线上一点，
∴16=4p，得p=4，即抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=−2，
由抛物线定义知|PF|=2+p2=2+2=4．
(2)∵直线斜率k=2，
∴设直线l的方程为y=2x+m，代入x2=8y，整理可得x2−16x−8m=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则判别式Δ=(−16)2−4×(−8m)=256+32m>0，可得m>−8，
x1+x2=16，x1x2=−8m，
∵PA⊥PB，∴PA⋅PB=0，
即所以(x1−4,y1−2)⋅(x2−4,y2−2)=0，
即(x1−4)(x2−4)+(2x1+m−2)(2x2+m−2)=0，
则5x1x2+(2m−8)(x1+x2)+16+(m−2)2=0，
即5(−8m)+16(2m−8)+16+(m−2)2=0，
即m2−12m−108=0，得(m−18)(m+6)=0，解得m=18或m=−6，
又当m=−6时，直线l经过点P，
∴m=−6不符合题意，
故直线l的方程为2x−y+18=0．
【解析】(1)将点P的坐标代入抛物线方程求出抛物线方程，利用抛物线的定义进行求解即可；
(2)设直线l的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理及向量垂直建立方程，求解即可．
本题主要考查抛物线的定义和性质，联立直线方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理和设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=ex−elnxa，所以f′(x)=ex−eax(x>0)，
因为f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，可得ea≤xex在[1,+∞)上恒成立，
令t(x)=xex，x∈[1,+∞)，则t′(x)=ex+xex，
当x∈[1,+∞)时，t′(x)>0，所以t(x)在1，+∞)上是增函数，
所以f(x)min=t(1)=e，所以ea≤e，解得a≥1或a<0，
即实数a的取值范围是(−∞,0)∪[1，+∞)．
(Ⅱ)若a=−e，则f(x)=ex+lnx，
下面证明当x>0时，不等式ex≥ex成立，
令h(x)=ex−ex，x∈(0,+∞)，则h′(x)=ex−e，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故h(x)min=h(1)=0，
所以当x>0时，h(x)≥0，即ex≥ex①恒成立．
要证当x>0时，g(x)即证ex2−xlnx结合①式，现证ex2−xlnx令m(x)=xlnx，则m′(x)=1+lnx，
当x∈(0,1e)时，m′(x)<0，当x∈(1e,+∞)时，m′(x)>0，
故m(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，故m(x)min=m(1e)=−1e，即xlnx≥−1e恒成立．
因为①②两式取等号的条件不一致，故ex2−xlnx即当x>0时，g(x)【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数，依题意f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，参变分离可得ea≤xex在[1,+∞)上恒成立，令t(x)=xex，x∈[1,+∞)，利用导数说明函数的单调性求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；
(Ⅱ)先构造函数利用导数证明当x>0时，不等式ex≥ex成立，则问题转化为证明ex−1ex本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
1.已知集合A={x|lg3(3x−2)<1}，B={x|−1
C. {x|23
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.已知随机变量X的数学期望E(X)=1，方差D(X)=43，若随机变量Y满足Y=3X−2，则( )
A. E(Y)=3，D(Y)=12B. E(Y)=1，D(Y)=12
C. E(Y)=3，D(Y)=4D. E(Y)=1，D(Y)=4
4.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0)，若2 33a，c，c成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=±2xC. y=± 3xD. y=±x
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=3，S6=9，则S10=( )
A. 12B. 15C. 18D. 21
6.若曲线f(x)=lnx+2x在x=1处的切线的倾斜角为α，则sin2α5cs2α−sin2α=( )
A. 12B. 14C. −14D. −12
7.已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+2=an+1，则2a1⋅2a2⋅…⋅2a2022=( )
A. −2B. 1C. 3D. 2
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n+kn−2，则“k>−1”是“{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
9.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念.小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行.已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9，0.9，0.8，则小红准时到校的概率是( )
A. 0.9B. 0.89C. 0.88D. 0.87
10.(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数是( )
A. 20B. −20C. 10D. −10
11.已知函数f(x)=aln(x−1)+e−x−1在定义域内单调递增，则实数a的最小值为( )
A. 1e2B. 2e2C. 1eD. e2
12.设a=111e0.1,b=110,c=ln1110，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>a>b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lnx−2x3.若f′(x)为f(x)的导函数，则f′(−1)= ______．
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f(x)=______．
①定义域为R；
②值域为(0,+∞)；
③在定义域内是单调递减函数
15.已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[−π,π]，则f(x)的极小值为______．
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn−3an=k(k为非零常数)，且a22+6a3=0，则k= ______．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bcsC+ccsB=2acsB+2bcsA，且csC= 134，角A为锐角．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若△ABC的外接圆面积为3π，求b．
18.(本小题12分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=74，a1−a3=34．
(Ⅰ)证明：数列Sn−2是等比数列；
(Ⅱ)已知数列{bn}满足bn=2n−1an+1，求bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥D−ABCE中，AD=DE=CE=BC= 2，BD= 6，AB⊥BC，BC⊥CE，AD⊥DE．
(Ⅰ)求证：BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点H(与端点A，B不重合)，使得二面角A−EH−D的余弦值为 33？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P(4,2)为该抛物线上一点．
(Ⅰ)求|PF|的值；
(Ⅱ)若斜率为2的直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且满足PA⊥PB，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−elnxa．
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若函数g(x)=ex−1ex，a=−e，证明：当x>0时，g(x)
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|lg3(3x−2)<1}={x|0<3x−2<3}={x|23
化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=alnx+3x，
所以f′(x)=ax+3，
则f′(1)=a+3=4，
所以a=1．
故选：C．
先对函数求导，然后把x=1代入即可求解a．
本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵期望E(X)=1，方差D(X)=43，
∴E(Y)=E(3X−2)=3E(X)−2=3−2=1，
D(Y)=D(3X−2)=9D(X)=12．
故选：B．
根据离散型随机变量的期望和方差的线性性质求解．
本题主要考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0)，若2 33a，c，c成等比数列，
可得2 33a=c，所以c2a2=43，
可得b2a2=13，
所以a= 3b，
所以双曲线的渐近线方程为：y=± 3x.
故选：C．
利用已知条件求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为等比数列{an}中，S2=3，S6=9，
当q≠1，a1(1−q2)1−q=3a1(1−q6)1−q=9，此时q不存在，
当q=1时，则a1=32，
则S10=10a1=15．
故选：B．
由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=lnx+2x，
∴f′(x)=1x−2x2，
∴f′(1)=1−2=−1，
即tanα=−1，
∴sin2α5cs2α−sin2α=2sinα⋅csα5cs2α−sin2α=2tanα5−tan2α=−25−1=−12．
故选：D．
先求出函数f(x)的导数，然后求出该函数在x=1处的切线斜率，从而求出tanα，再利用同角三角函数关系式，倍角公式求解．
本题考查导数的几何意义和同角三角函数基本关系式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+2=an+1，
则a3=1，a4=−1，a5=−2，a6=−1，a7=1，a8=2，…，
则数列{an}是以6为周期的周期数列，
则a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
即a1+a2+...+a2022=337×0=0，
则2a1⋅2a2⋅…⋅2a2022=2a1+a2+...+a2022=20=1．
故选：B．
由数列的递推公式，结合数列的周期性求解即可．
本题考查了数列的性质，重点考查了数列的周期性，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为数列{an}的通项公式为an=3n+kn−2，n∈N*，
所以{an}是递增数列时，an+1−an>0对于任意的正整数n都成立，
即an+1−an=[3n+1+k(n+1)−2]−(3n+kn−2)=2⋅3n+k>0，
即k>−2⋅3n对于任意的正整数n都成立，
所以k>(−2⋅3n)max=−2×3=−6．
所以“k>−1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
故选：A．
根据数列{an}是递增数列时，an+1−an>0对于任意的正整数n都成立，求出k的取值范围，由此判断即可．
本题考查了数列的单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，设事件A表示小红乘坐公共汽车，事件B表示小红骑单车，事件C表示小红步行，
事件D表示小红准时到校，
则P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(C)=0.1，P(D|A)=0.9，P(D|B)=0.9，P(D|C)=0.8，
故P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.5×0.9+0.4×0.9+0.1×0.8=0.89．
故选：B．
根据题意，设事件A表示小红乘坐公共汽车，事件B表示小红骑单车，事件C表示小红步行，事件D表示小红准时到校，利用全概率公式有P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)，进而计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：∵(x−1)2(1+x)6=(x2−2x+1)(C60+C61⋅x+C62⋅x2+⋅⋅⋅+C65⋅x5+C66⋅x6)，
要得到含x4的项，来源有3个：
若前边的括号取x2，则后边的括号取C62⋅x2；
若前边的括号取−2x，则后边的括号取C63⋅x3；
若前边的括号取1，则后边的括号取C64⋅x4．
故(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数是C62−2×C63+C64=−10．
故选：D．
把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(x−1)2(1+x)6的展开式中x4的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：f(x)的定义域为(1,+∞)，f′(x)=ax−1−e−x，
由于函数f(x)在定义域内单调递增，
则f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，
则f′(x)=ax−1−e−x≥0，即a≥(x−1)e−x，
令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，
则g′(x)=e−x−(x−1)e−x=(2−x)e−x，
令g′(x)>0，解得：1
所以g(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(2)=(2−1)e−2=1e2．
故a≥1e2，
故实数a的最小值为1e2．
故选：A．
对f(x)求导，由f(x)在定义域内单调递增，可得f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，即a≥(x−1)e−x在(1,+∞)恒成立，令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，转化为求g(x)max，可得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：由题意得a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln(1+0.1)，
构造函数f(x)=xx+1[ex−(x+1)]，(x≥0)，
令g(x)=x−ln(x+1)，(x≥0)，g(0)=0，且g′(x)=1−1x+1≥0，
所以g(x)在[0,+∞)单调递增，所以g(0.1)>0，即g(0.1)>0，得b>c；
令h(x)=ex−(x+1)，x≥0，由h′(x)=ex−1≥0在[0,+∞)上恒成立，得h(x)在[0,+∞)上单调递增，
由h(0)=0，所以h(0.1)>0，即f(0.1)=0.11+0.1e0.1−0.1>0，
故a>b；
所以a>b>c．
故选：A．
根据a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln(1+0.1)，构造函数f(x)=xx+1[ex−(x+1)]，(x≥0)，令g(x)=x−ln(x+1)，(x≥0)，研究h(x)=ex−(x+1)，g(x)在[0,+∞)上的单调性，且f(0)=g(0)=0，即可得到f(0.1)>0，g(0.1)>0，由此即可得到结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，进而解决数的大小比较问题，属于较难的题目．
13.【答案】−5
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lnx−2x3．
所以x<0时，−x>0，
则f(−x)=ln(−x)+2x3=−f(x)，
所以f(x)=−ln(−x)−2x3，
则f′(x)=−1x−6x2，
则f′(−1)=1−6=−5．
故答案为：−5．
结合奇偶性先求出x<0时的函数解析式，对其求导，再把x=−1代入即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了复合函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】(12)x(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，指数函数y=ax，当0
故该函数可以为f(x)=(12)x；
故答案为：(12)x(答案不唯一)．
根据题意，由指数函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的单调性和值域，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．
15.【答案】π3− 3
【解析】解：已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[−π,π]，
f′(x)=1−2csx，x∈[−π,π]，
令f′(x)=1−2csx=0，解得x=−π3或π3，
x∈[−π,−π3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈[−π3,π3]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈[π3,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
则f(x)的极小值为f(π3)=π3− 3．
故答案为：π3− 3．
求导，判断单调性，写出极小值即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】12
【解析】解：已知数列{an}的前n项和为Sn，
又Sn−3an=k，①
则Sn−1−3an−1=k，(n≥2)，②
由①−②可得：an=32an−1，(n≥2)，
又k为非零常数，
所以a1−3a1=k，
即a1=−k2≠0，
即数列{an}是以−k2为首项，32为公比的等比数列，
又a22+6a3=0，
则(−k2×32)2+6×(−k2)×(32)2=0，
即k2−12k=0，
即k=12．
故答案为：12．
由数列的递推式，结合等比数列通项公式的求法求解即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列通项公式的求法，属基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵bcsC+ccsB=2acsB+2bcsA，
∴由正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB+2csAsinB，
即sin(B+C)=2sin(A+B)，即sinA=2sinC，
∵csC= 134，∴sinC= 34，
∴sinA= 32，
又∵A为锐角，∴A=π3；
(Ⅱ)由于△ABC的外接圆面积为3π，故外接圆半径为R= 3，
∵sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC= 32× 134+12× 34= 39+ 38，
∴由正弦定理可得b=2RsinB=2 3× 39+ 38=3 13+34．
【解析】(Ⅰ)由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式可得sinA=2sinC，由csC求得sinC，sinA，即可得出角A；
(Ⅱ)由△ABC的外接圆面积得出外接圆半径R，由sinB=sin(A+C)求出sinB，由正弦定理可得b=2RsinB，即可得出结果．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：{an}的公比为q，
由题意，得a1(1+q+q2)=74，a1(1−q2)=34，
联立二式，解得，a1=1，q=12，
所以Sn=(1−2−n)÷(1−2−1)=2−21−n，
所以Sn−2=−21−n，(Sn+1−2)÷(Sn−2)=12，
所以数列{Sn−2}是以12为公比的等比数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an=21−n，所以an+1=2−n，
所以bn=(2n−1)2n，
所以Tn=1×2+3×2²+…+(2n−1)2n，
2Tn=1×2²+3×23+…+(2n−1)2n+1，
Tn−2Tn=2+2×4×(1−2n−1)÷(1−2)−(2n−1)2n+1，
化简，得Tn=n⋅2n+2−3⋅2n+1+6．
【解析】(Ⅰ)通过已有条件求出等比数列{an}的公比和首项，进而求出前n项和Sn，再求出Sn−2，通过作商证明其是等比数列；
(Ⅱ)求出数列{bn}的通项公式，然后求前n项和Tn．
本题主要考查等比、差比数列相关性质，联立方程是求解数列{an}的关键，属中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：由题可知在Rt△ADE中，DA=DE= 2，∴AE=2，
∵BC=CE= 2，BC⊥CE，∴BE=AE=2，
又∵AB⊥BC，△EBC是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠EAB=45°，
∴AE⊥BE，又DE= 2，BD= 6，BE=2，
∴DE2+BE2=BD2，DE⊥BE，
∵AE∩DE=E，AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)解：H是线段AB的中点，理由如下：
以E为原点，直线EA，EB分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,1)，
则EA=(2,0,0)，ED=(1,0,1)，AB=(−2,2,0)，
易知平面AEH的一个法向量为n=(0,0,1)．
设AH=λAB=(−2λ,2λ,0)(0<λ<1)，
则EH=EA+AH=(2−2λ,2λ,0)，
设平面DEH的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅ED=x+z=0m⋅EH=(2−2λ)c+2λy=0，令z=1，则x=−1，y=1−AA，
∴平面DEH的一个法向量为m=(−1,1−λλ,z)，
由题意可知二面角A−EH−D为锐二面角，
∴|cs
∴H是线段AB的中点．
【解析】(Ⅰ)证明AE⊥BE，DE⊥BE，可证BE⊥平面ADE．
(Ⅱ)以E为原点，直线EA，EB分别为x轴、y轴，过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AH=λAB(0<λ<1)，
求得平面AEH的一个法向量与平面EDH的一个法向量，利用向量法可求λ的值，进而确定H点的位置．
本题考查线面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查面面角的求法，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵P(4,2)为该抛物线上一点，
∴16=4p，得p=4，即抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=−2，
由抛物线定义知|PF|=2+p2=2+2=4．
(2)∵直线斜率k=2，
∴设直线l的方程为y=2x+m，代入x2=8y，整理可得x2−16x−8m=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则判别式Δ=(−16)2−4×(−8m)=256+32m>0，可得m>−8，
x1+x2=16，x1x2=−8m，
∵PA⊥PB，∴PA⋅PB=0，
即所以(x1−4,y1−2)⋅(x2−4,y2−2)=0，
即(x1−4)(x2−4)+(2x1+m−2)(2x2+m−2)=0，
则5x1x2+(2m−8)(x1+x2)+16+(m−2)2=0，
即5(−8m)+16(2m−8)+16+(m−2)2=0，
即m2−12m−108=0，得(m−18)(m+6)=0，解得m=18或m=−6，
又当m=−6时，直线l经过点P，
∴m=−6不符合题意，
故直线l的方程为2x−y+18=0．
【解析】(1)将点P的坐标代入抛物线方程求出抛物线方程，利用抛物线的定义进行求解即可；
(2)设直线l的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理及向量垂直建立方程，求解即可．
本题主要考查抛物线的定义和性质，联立直线方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理和设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=ex−elnxa，所以f′(x)=ex−eax(x>0)，
因为f(x)在[1,+∞)上是增函数，所以f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，可得ea≤xex在[1,+∞)上恒成立，
令t(x)=xex，x∈[1,+∞)，则t′(x)=ex+xex，
当x∈[1,+∞)时，t′(x)>0，所以t(x)在1，+∞)上是增函数，
所以f(x)min=t(1)=e，所以ea≤e，解得a≥1或a<0，
即实数a的取值范围是(−∞,0)∪[1，+∞)．
(Ⅱ)若a=−e，则f(x)=ex+lnx，
下面证明当x>0时，不等式ex≥ex成立，
令h(x)=ex−ex，x∈(0,+∞)，则h′(x)=ex−e，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0
故h(x)min=h(1)=0，
所以当x>0时，h(x)≥0，即ex≥ex①恒成立．
要证当x>0时，g(x)
当x∈(0,1e)时，m′(x)<0，当x∈(1e,+∞)时，m′(x)>0，
故m(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，故m(x)min=m(1e)=−1e，即xlnx≥−1e恒成立．
因为①②两式取等号的条件不一致，故ex2−xlnx
(Ⅱ)先构造函数利用导数证明当x>0时，不等式ex≥ex成立，则问题转化为证明ex−1ex
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