2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

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1．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
【答案】D
【分析】由特称命题的否定：存在改为任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，
则原命题的否定为，都有.
故选：D
2．设为虚数单位，复数满足，则
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．
【详解】由，得，
，故选．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．
3．已知关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得、为方程的根，将代入，即得解
【详解】由题得、为方程的根，
将代入，得，
即，
故选：A
4．已知实数满足条件：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.
【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，
表示可行域内的点与定点的连线的斜率.
解方程组的,
的最大值为
故选C.
5．“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据双曲线的焦点在x轴上得到的范围，进而求得答案.
【详解】由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.
故选：A.
6．在用反证法证明“已知，，且，则，中至多有一个大于0”时，假设应为（ ）
A．，都小于0B．，至少有一个大于0
C．，都大于0D．，至少有一个小于0
【答案】C
【分析】反证法，应假设命题结论的否定.
【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“，都大于0”．
故选：C
7．在等比数列中，已知，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题中条件求出等比数列的公比，再由可计算出的值.
【详解】设等比数列的公比为，，
，，故选A.
【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
8．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．9D．
【答案】D
【分析】由直线过圆的圆心求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】圆的圆心为，
由于圆关于直线对称，
所以直线过圆的圆心，
即，
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
9．已知数列的前项的和为，且满足，则（ ）
A．16B．32C．64D．128
【答案】C
【解析】根据与的关系，即可求出，进而求得．
【详解】因为，
当时，，∴；
当时，，与相减，得，又，
∴，即可得，
由此可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，即有
∴.
故选：C.
【点睛】本题主要考查与的关系的应用，属于基础题．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b+a+c)(a+b－c)=3ab，2csAsinB=sinC，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】由有，根据余弦定理可求出角，再将化为，化简然后可得出，可得答案.
【详解】由有,
由余弦定理有：，
又角，所以.
又，即，
所以
则，即,
又，所以,
即，故为等边三角形.
故选：D
11．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】D
【分析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
【详解】由题意得：，设椭圆方程为，
双曲线方程为，
又∵.
∴，∴，
则

，当且仅当，
即时等号成立.
则的最小值为8.
故选：D
【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.
12．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数在区间上为减函数，进而得出该函数在定义域上为减函数，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可解出所求不等式.
【详解】令，定义域为，
因为函数为奇函数，，
则函数是定义在上的奇函数，
，
因为，有，
当时，，则在上单调递减.
则函数是上的奇函数并且单调递减，
又等价于，即，，
又，因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，，则下列说法中正确的序号是______.
①由样本数据得到的回归直线方程必过样本点的中心
②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
③用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好
④若变量和之间的相关系数为，则变量和之间线性相关性强
【答案】①②④
【分析】根据两个变量线性相关的概念及性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，根据回归直线方程的特征，可得线性回归直线方程一定过样本中心，所以①正确；
根据残差的概念，可得残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以②正确；
根据相关指数的概念，可得越大说明拟合效果越好，所以③不正确；
若变量和之间的相关系数为，则变量和之间负相关，且线性相关性强，所以④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】本题主要考查了两个变量的线性相关性的概念与判定，其中解答中熟记线性相关的基本概念和结论是解答的关键，属于基础题.
14．已知的面积为，，则=____．
【答案】
【分析】利用面积公式求得a的值，利用余弦定理求得b的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.
【详解】,
，解得,
所以，
∴,
∴,
故答案为：.
【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化.
15．抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
【答案】3＋
【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解.
【详解】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，
因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．
故答案为：3＋
16．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
【答案】
【分析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a的范围.
【详解】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图
故答案为：
三、解答题
17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）若与圆相交于，两点，，求．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】(1)根据参数方程和普通方程之间的互化可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角方程之间的互化可得圆的直角坐标方程；
(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得到关于t的一元二次方程，结合参数的几何意义与韦达定理即可得到结果.
【详解】（1）对直线的参数方程消参得，
则的普通方程为．
由，得，
则圆的直角坐标方程为．
（2）将代入，得．
设，对应的参数分别为，，则，
故．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积.
【答案】（1）A；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；
（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出△ABC的面积.
【详解】（1）在三角形ABC中，，
由正弦定理得：，
化为： ，
三角形中，解得，，
∴A.
（2）由余弦定理得，
，，
，化为，
所以三角形ABC的面积S4
【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.
熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.
19．年月日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代.为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计这名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？
参考公式及数据：，.
【答案】（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有.
【分析】（1）利用直方图面积和为可求得实数的值；
（2）利用中位数左边的矩形面积和为可列等式求出中位数的值；
（3）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【详解】（1）由题意可知：，解得；
（2）前三个矩形的面积和为，
前四个矩形的面积和为，
设中位数为，则，
由题意可得，解得，
因此，这名学生比赛成绩的中位数估计值为分；
（3）抽取的名学生中，“优秀”的人数为人，“非优秀”的人数为人，
列联表如下表：
，
因此，没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”.
【点评】
本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，考查了独立性检验的实际应用，是基础题.
20．已知数列的首项，且满足．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【详解】(1)由，两边取倒数得，
即，即
故数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，，即
所以数列的通项公式为
(2)由（1）知，，
①
②
两式相减得：
21．已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【分析】（1）求出得到，再求出，讨论、可得答案；
（2）时不合题意；时由的单调性得到，
由和函数在区间上有两个不同的零点得到关于的不等式组可得答案.
【详解】（1）因为，所以，，
，
若，则，函数在上单调递增；
若，由，得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，由（1）知，在定义域上是增函数，最多有一个零点，
不合题意；
时，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时取最小值，．
因为，又因为函数在区间上有两个不同的零点，所以
解得，
所以实数的取值范围是．
22．已知椭圆C：的离心率为，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点，且△PF1F2的周长是6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为的直线交x轴于T点，交曲线C于A，B两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在；．
【分析】（1）由椭圆的定义及△PF1F2的周长为6，得①，椭圆的离心率，所以②，解得进而可得椭圆的方程．
（2）设，设直线，联立椭圆的方程，结合韦达定理，代入化简，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意知；，解得，
∵，∴，所以椭圆C的方程为．
（2）假设存在，则，设，设直线，
，化简得，
∴，，
，
要使为定值，
则有，所以，所以．
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
优秀
非优秀
合计
文科生
理科生
合计
优秀
非优秀
合计
文科生
理科生
合计