2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是二元一次方程的是( )
A. 2x+3yB. 2x+3y=1C. 2x+3y=1x−y=0D. xy=1
2.下列运算正确的是( )
A. x3⋅x3=x9B. x8÷x4=x2C. (ab3)2=ab6D. (2x)3=8x3
3.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. a2−4=(a+2)(a−2)B. 3xy2=3x⋅y⋅y
C. (−x−1)2=−(x2+2x+1)D. x2+2x+2=x(x+2)+2
4.如果(x−2)(x−3)=x2+px+q，那么p、q的值是( )
A. p=−5，q=6B. p=1，q=−6C. p=1，q=6D. p=−1，q=6
5.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为( )
A. y=5x+45y=7x+3B. y=5x−45y=7x+3C. y=5x+45y=7x−3D. y=5x−45y=7x−3
6.下列说法中正确的有( )
①内错角相等
②平行于同一条直线的两条直线平行
③相等的角是对顶角
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
7.如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是( )
A. ∠1与∠4是同位角B. ∠2与∠3是内错角
C. ∠3与∠4是同旁内角D. ∠2与∠4是同旁内角
8.如果(x−2y+1)2+|x+y−5|=0，则x、y的值分别是( )
A. x=−1y=0B. x=1y=4C. x=3y=2D. x=2y=3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.计算：(−2x3y)2⋅(3xy2)=______．
10.已知x=9y=5是关于x、y的方程2x−ay=3的一个解，则a的值是______．
11.若多项式x2−mx+9是一个完全平方式，则m的值为______．
12.已知x2+x=1，那么x3+2x2+2021的值为______．
13.若3a=6，3b=2，则3a+b=______．
14.若方程7x|m|+(m+1)y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______．
15.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是 ．
16.我们知道，同底数幂的乘法法则为am⋅an=am+n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h(m+n)=h(m)⋅h(n)，请根据这种新运算填空：
(1)若h(1)=23，则h(2)= ______；
(2)若h(1)=k(k≠0)，那么h(n)⋅h(2023)= ______.(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数)．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程组：
(1)x+2y=−2,3x−4y=14；
(2)x+y2+x−y3=6,4(x+y)−5(x−y)=2.
18.(本小题8分)
计算：
(1)(−3x2y)2⋅(−16x3yz)；
(2)2(1+12)(1+122)+(1+124)(1+128)+1214．
19.(本小题8分)
分解因式．
(1)4x3y−4x2y2+xy3
(2)m3(x−2)+m(2−x)
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(x−2y)2+(x−2y)(x+2y)−2x(x−y)，其中x=−38，y=4．
21.(本小题8分)
如图，已知DF/​/AB，且∠1=∠B．
(1)求证：∠AFE=∠ACB；
(2)若CE平分∠ACB，且∠3=110°，∠1=50°，求∠ACB的度数．
22.(本小题8分)
某校准备组织七年级400名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
23.(本小题8分)
阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0
∴(m−n)2+(n−4)2=0，
∴(m−n)2=0，(n−4)2=0
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2+2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．
24.(本小题8分)
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，ab=1，所以(a+b)2=9，2ab=2，a2+b2=(a+b)2−2ab，即可得a2+b2=7.根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy= ______；
(2)①若2a+b=5，ab=2，求(2a−b)2的值；
②若(4−x)(5−x)=8，求(4−x)2+(5−x)2的值；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2=18，求图中阴影部分面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是代数式，故A不符合题意；
B、是二元一次方程，故B符合题意；
C、是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
根据二元一次方程的定义求解即可．
本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
2.【答案】D
【解析】解：A、错误．应该是x3⋅x3=x6；
B、错误．应该是x8÷x4=x4；
C、错误．(ab3)2=a2b6．
D、正确．
故选：D．
根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方一一判断即可．
本题考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3.【答案】A
【解析】解：A、a2−4=(a+2)(a−2)符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、3xy2=3x⋅y⋅y不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、(−x−1)2=x2+2x+1是整式的乘法，原变形是错误，且不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2+2x+2=x(x+2)+2右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4.【答案】A
【解析】解：已知等式整理得：x2−5x+6=x2+px+q，
则p=−5，q=6，
故选A
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，可列方程组为：y=5x+45y=7x+3．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，说法错误，不符合题意；
②平行于同一条直线的两条直线平行，说法正确，符合题意；
③相等的角不一定是对顶角，说法错误，不符合题意；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意；
故选：C．
根平行线的性质即可判断①；根据平行公理即可判断②；根据平面内两直线的位置关系即可判断④；根据对顶角的定义即可断③．
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，对顶角的定义熟知相关知识是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．
利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．
【解答】
解：A、∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B、∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C、∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D、∠2与∠4不是同旁内角，故D选项错误．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：∵(x−2y+1)2≥0，|x+y−5|≥0，
∴x−2y+1=0x+y−5=0，
解得：x=3y=2，
故选：C．
根据非负性列出方程组，解方程组即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
9.【答案】12x7y4
【解析】解：原式=4x6y2⋅(3xy2)=12x7y4．
故答案为：12x7y4．
直接根据单项式乘单项式的运算及幂的乘方与积的乘方的法则计算即可．
此题考查的是单项式乘单项式，掌握其运算及幂的乘方与积的乘方的法则是解决此题的关键．
10.【答案】3
【解析】解：把x=9y=5代入方程得：18−5a=3，
移项得：−5a=3−18，
合并得：−5a=−15，
解得：a=3．
故答案为：3．
把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11.【答案】±6
【解析】解：因为x2+mx+9=x2+mx+(±3)2，
所以m=±6，
故答案为：±6．
运用完全平方式的结构特征进行求解．
此题考查了完全平方式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12.【答案】2022
【解析】解：∵x2+x=1，
∴x2=−x+1，
∴x3=x⋅x2=x(−x+1)=−x2+x，
∴x3+2x2+2021
=−x2+x+2x2+2021
=x2+x+2021
=1+2021
=2022，
故答案为：2022．
先将x3降次为−x2+x，然后代入代数式，再根据已知条件求解．
本题考查了因式分解的应用，将x3降次为−x2+x是解题关键．
13.【答案】12
【解析】解：因为3a=6，3b=2，
所以原式=3a⋅3b
=6×2
=12．
故答案为：12．
根据同底数幂的乘法运算法则即可求出答案．
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
14.【答案】1
【解析】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得
|m|=1m+1≠0，
解得m=1，
故答案为：1．
根据二元一次方程的定义即可得到答案．
此题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：
(1)方程中只含有2个未知数；
(2)含未知数项的最高次数为一次；
(3)方程是整式方程．
15.【答案】25°
【解析】【分析】
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°．
根据两直线平行，内错角相等求出∠3，进而可得出答案．
【解答】
解：如图，
∵直尺的对边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°−∠3=45°−20°=25°．
故答案为25°．
16.【答案】(1)49；
(2) kn+2023
【解析】【分析】
本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．
(1)将h(2)变形为h(1+1)，再根据定义新运算h(m+n)=h(m)⋅h(n)进行计算便可；
(2)根据h(1)=k(k≠0)，及定义新运算h(m+n)=h(m)⋅h(n)将原式变形为kn⋅k2023，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可．
【解答】
解：(1)∵h(1)=23，h(m+n)=h(m)⋅h(n)，
∴h(2)=h(1+1)=h(1)⋅h(1)=23×23=49；
(2)∵h(1)=k(k≠0)，h(m+n)=h(m)⋅h(n)，
∴h(n)⋅h(2023)=kn⋅k2023=kn+2023．
17.【答案】解：(1)x+2y=−2①3x−4y=14②，
由①得x=−2−2y③，
将③代入②得：3(−2−2y)−4y=14
解得：y=−2，
把y=−2代入③得：
x=2，
∴原方程组的解为：x=2y=−2；
(2)将原方程化简整理得：
5x+y=36①−x+9y=2②，
②×5得：
−5x+45y=10③，
①+③得：
46y=46，
解得：y=1，
把y=1代入①得：
5x+1=36，
解得：x=7，
∴原方程组的解为：x=7y=1．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)(−3x2y)2⋅(−16x3yz)
=9x4y2⋅(−16x3yz)
=−32x7y3z；
(2)2(1+12)(1+122)+(1+124)(1+128)+1214
=4×12(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4×(1−12)(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4×(1−1216)+1214
=4−1214+1214
=4．
【解析】(1)根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；
(2)将2改写为4×(1−12)，再根据平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握单项式乘以单项式的运算法则，以及平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
19.【答案】解：(1)原式=xy(4x2−4xy+y2)
=xy(2x−y)2
(2)原式=m3(x−2)−m(x−2)
=m(x−2)(m2−1)
=m(x−2)(m+1)(m−1)
【解析】(1)多项式共3项且有公因式，应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解；
(2)多项式变形为m3(x−2)−m(x−2)，先提取公因式，再考虑用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，多项式若有公因式先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
20.【答案】解：原式=x2−4xy+4y2+x2−4y2−2x2+2xy
=−2xy．
当x=−38，y=4时，
原式=−2×(−38)×4=3．
【解析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是能熟练运用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
根据整式的混合运算的法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
21.【答案】(1)证明：∵DF/​/AB，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠B，
∴∠2=∠B，
∴EF/​/BC，
∴∠AFE=∠ACB；
(2)∵∠1=∠B=50°，∠3=110°，
在△BCE中，∠ECB=180°−∠3−∠B=20°，∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB=40°．
【解析】(1)根据DF/​/AB，两直线平行，内错角相等得到∠1=∠2，由条件∠1=∠B等量代换得到∠2=∠B，结合平行线的判定：同位角相等，两直线平行得到EF/​/BC，再根据平行线的性质即可得到∠AFE=∠ACB；
(2)在△BCE中，∠3=110°，∠B=∠1=50°，根据三角形内角和定理得到∠ECB=20°，再由CE平分∠ACB，得到∠ACB=2∠ECB=40°．
本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理和角平分线的性质求角度，熟练掌握相关知识及性质是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生
根据题意，得
3a+b=105a+2b=110
解得a=20b=45
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
(2)①根据题意，得20x+45y=400，
∴y=80−4x9，
∵x、y均为非负数，
∴x=20y=0，x=11y=4，x=2y=8
∴租车方案有3种．方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆．
②方案1租金：4000×20=80000(元)
方案2租金：4000×11+7600×4=74400(元)
方案3租金：4000×2+7600×8=68800(元)
∵80000>74400>68800
∴方案3租金最少，最少租金为68800元．
【解析】(1)每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
(2)①设租用小客车x辆，大客车y辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量=400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；
②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．
此题主要考查了二元一次方程(组)的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
23.【答案】解：(1)∵x2−2xy+2y2+6y+9=0，
∴(x2−2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，
∴(x−y)2+(y+3)2=0，
∴x−y=0，y+3=0，
∴x=−3，y=−3，
∴xy=(−3)×(−3)=9，
即xy的值是9．
(2)∵a2+b2−6a−8b+25=0，
∴(a2−6a+9)+(b2−8b+16)=0，
∴(a−3)2+(b−4)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，
∴a=3，b=4，
∵4−3∴4≤c<7，
∵c为正整数，
∴△ABC的最大边c的值可能是4、5、6．
【解析】(1)根据x2−2xy+2y2+6y+9=0，应用因式分解的方法，判断出(x−y)2+(y+3)2=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
(2)首先根据a2+b2−6a−8b+25=0，应用因式分解的方法，判断出(a−3)2+(b−4)2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
本题考查配方法的应用，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．
24.【答案】12
【解析】解：(1)∵x+y=8，x2+y2=40，
∴(x+y)2=64，(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴64=40+2xy，
解得xy=12．
故答案为：12．
(2)①∵(2a−b)2=(2a+b)2−8ab，2a+b=5，ab=2，
∴(2a−b)2=52−8×2=25−16=9．
②设a=4−x，b=5−x，
∵(4−x)(5−x)=8，
∴b−a=5−x−4+x=1，ab=8，(4−x)2+(5−x)2=a2+b2，
∵(b−a)2=a2−2ab+b2，
∴a2+b2=(b−a)2+2ab=1+16=17，
即(4−x)2+(5−x)2=17．
(3)设a=AC，b=BC，
∵AB=6，两正方形的面积和S1+S2=18，
∴a+b=6，a2+b2=18，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴ab=(b+a)2−(a2+b2)2=36−182=9，
∴阴影部分的面积为12AC⋅CF=12AC⋅BC=12ab=92．
(1)根据公式(x+y)2=x2+2xy+y2变形计算即可．
(2)①根据(2a−b)2=(2a+b)2−8ab变形计算即可．
②设a=4−x，b=5−x，则b−a=5−x−4+x=1，ab=8，(4−x)2+(5−x)2=a2+b2，根据公式(b−a)2=a2−2ab+b2，变形计算即可．
(3)设a=AC，b=BC，则a+b=6，a2+b2=18，求得ab后，计算三角形的面积即可．
本题考查了完全平方公式的变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式变形是解题的关键．