博爱县第一中学2023届高三下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2023届高三下学期5月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，，则等于( )
A.B.2C.D.
3．已知则( )
A.B.C.D.
4．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )
A.B.C.D.
5．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A.B.C.D.
7．在三棱锥中，和为等边三角形，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
8．已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设，，则( )
A.B.C.D.
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B.在方向上的投影向量为
C.与垂直的单位向量的坐标为
D.若向量与向量共线，则
11．已知函数（a，b，），则下列说法正确的是( )
A.若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或
B.函数的图象过坐标原点的充要条件是
C.若函数在R上单调，则
D.若函数的图象关于点中心对称，则
12．已知定义在R的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是( )
A.B.在单调递减
C.D.在上可能有1012个零点
三、填空题
13．已知数列的前n项和为，且，则______.
14．已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点且，________.
15．中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数，为推动湘西体育武术事业发展，加强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2—3日在花垣县体育馆举行，某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为、、，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为___________.
16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
17．设函数，若锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，外接圆的半径为R，.
(1)若，求B;
(2)求的取值范围.
18．已知菱形ABCD的边长为2，，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
（1）若的面积为，求DE的长；
（2）若，求.
19．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围.
20．医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一.关老师随机调查了高三（满19岁）100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关？
（2）现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，.
21．如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C.当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4.
（1）求p的值；
（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍.已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率.
22．已知函数.
（1）若恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得集合，
所以，则.
故选：B.
2．答案：A
解析：复数，，
则.
故选：A.
3．答案：C
解析：，
，故选C.
4．答案：B
解析：设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故选：B.
5．答案：B
解析：如图，过作，垂足为E，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接AC，，过作，垂足为F，易知四边形为等腰梯形且，，则，
，
该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.
7．答案：A
解析：如图所示，
设外接球的球心O在平面内的射影为，在平面内的射影为，M是中点，
则二面角的平面角为，
设，三棱锥的高为h，
因为和是等边三角形，
则，，
而，则，
即，解得，则，
根据正弦定理可得，则，，
设，因为，则，，
则，所以，
所以外接球O的半径，
故所求外接球O的体积为.故选：A.
8．答案：B
解析：由题意易知直线AP的方程为①，因为为等腰三角形，，
所以直线的方程为，联立①②可得.
如图，过点P向x轴引垂线，垂足为H，则，
所以，即，，
所以，所以.
故选：B.
9．答案：BC
解析：因为，，所以，故A错误；
因为，，所以，，，
所以，即，故B正确；
因为，所以，，则，所以，故C正确；
取，，可得，，，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AD
解析：由题意知，，，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；
对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，
可得，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；
对于选项D：因为向量与向量共线，
所以若存在，使得，
则，解得，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：A选项：，由题意知实数，是方程的两个不等实根，所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正确；
B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故必要性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；
C选项：若函数在R上单调，则恒成立，所以，即，所以C不正确；
D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
12．答案：AD
解析：对A：函数的图象关于点对称，则，
，
又，则函数的图象关于点对称，且，
可得，故，A正确；
对B：由选项A可知：函数的周期为4，且函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，则，
且函数的周期为4，则，
即，
由选项A可知：，则，
可得，即函数为偶函数，
函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
且函数的图象关于点对称，
故函数在上单调递减，
但不能确定在是否连续不断，故无法判断在上的单调性，B错误；
对C：函数的周期为4，则，，
，则，
故，C错误；
对D：，
令，则，解得，
则，
故在一个周期内至少有2个零点，
可得在上至少有个零点，
且，
故在上至少有1012个零点，
例如，，符合题意，但在内无零点，
由函数的性质可知：在，内均无零点，故在一个周期内只有2个零点，
可知在上有1012个零点，
故在上可能有1012个零点，D正确；
故选：AD.
13．答案：
解析：由题意，则，
两式相减得：，
所以，
又，，所以是等比数列，首项为2，公比为2，
，即，
所以.
故答案为：.
14．答案：2
解析：设，联立方程组，
可得，则，，，
所以，.
故答案为：2.
15．答案：
解析：设小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件A、B、C，
设这三人中仅有两人通过考核为事件Q，
依题意，，，
所以，，，
所以，.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题可知，当时，不等式恒成立，
设，则在上是增函数，
则在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以，所以.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得
，
，，又，所以，解得.
又根据正弦定理，有，，，
由，有，得，
因为A，，所以，
，.
(2)由（1）知，，
所以，
因为，即，所以，
则
，
，有，
所以，
所以的取值范围为.
18、
（1）答案：
解析：依题意，得.
因为的面积，
所以，解得.
在中，由余弦定理，得.
（2）答案：
解析：依题意，得，，
设，则.
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
所以.
19．答案：(1)见解析
(2)实数b的取值范围为
解析：(1)因为，所以，
①若，当时，；当或时，.
即在上单调递减，在和上单调递增；
②若，恒有.即在定义域R上单调递增；
③若，当时，；当或时，.
即在上单调递减，在和上单调递增；
(2)当时，，
令，
则原题意等价于图象与x轴有三个交点.
因为，
由，解得或；
由，解得.
在时取得极大值；在时取得极小值，
依题意得，解得.故实数b的取值范围为.
20．答案：（1）所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关
（2）分布列见解析，1.6
解析：（1）补全列表得
则，
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关
（2）利用分层抽样的方法可得，在10人中，达到平均身高的女生有6人，男生有4人，
所以X取值有：0，1，2，3，4，则
，，
，，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望：.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，，，
所以，解得.
（2）由（1），抛物线，即，，，
设，，，，
则，，
联立得，，，
则，点P到AB的距离，
所以，，
又，所以，
又四边形ABCD是直角梯形或矩形，所以，
所以概率，
解得，所以该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率为.
22、
（1）答案：
解析：由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意；
当时，若，则；若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，.
综上，.
（2）答案：
解析：由题可知，所以，是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由时，，，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，则在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意.
②当，即时，，
此时存在唯一的，使得，
则在上单调递增，在上单调递减，
从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
未达到平均身高
达到平均身高
女
10
45
男
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
未达到平均身高
达到平均身高
合计
女
10
45
55
男
15
30
45
合计
25
75
100
X
0
1
2
3
4
P