博爱县第一中学2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知函数,若在R上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2、已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
3、已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图象的两条对称轴,则( )
A.B.C.D.
4、赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为,且,则大正方形的面积为( )
A.4B.5C.16D.25
5、若直线经过第四象限,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、如图,在直三棱柱中,,,直线与平面所成角的正弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7、设数列是以d为公差的等差数列,是其前n项和,,且,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.的最大值为或
8、若曲线在处的切线的斜率为3,则该切线在x轴上的截距为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9、下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
10、若,,且,则( )
A.B.
C.D.
11、已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为B.在上单调递减
C.D.的定义域为
12、已知复数,,,O为坐标原点,,,对应的向量分别为,,,则以下结论正确的有( )
A.
B.若,则
C.若,则与的夹角为
D.若,则为正三角形
三、填空题
13、设样本数据,,L,的平均数为,方差为,若数据,,L,的平均数比方差大4,则的最大值是________.
14、某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体),发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为,则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为________.
15、是空间的一个基底,向量,是空间的另一个基底,向量,则________.
16、各项均为正数的等比数列的前n项和为,若,,则的最小值为________.
四、解答题
17、在锐角中,角A,B,C对边分别为a,b,c,设向量,,且.
（1）求证:
（2）求的取值范围.
18、某蔬果经销商销售某种蔬果,售价为每千克25元,成本为每千克15元,其销售宗旨是当天进货当天销售,若当天未销售完,未售出的全部降价以每千克10元处理完.据以往销售情况,按,,,,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数(同组数据用区间中点值代表);
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果,假设当天的日需求量为x千克(),利润为y元.
①求y关于x的函数表达式;
②根据频率分布直方图估计利润y不小于1750元的概率.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD为正方形,,E,F,分别是PB,CD的中点,M是PD上一点.
（1）证明:平面PAD.
（2）若,求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值.
20、某外语学校的一个社团有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率;
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.
21、已知函数
（1）判断的单调性;
（2）若函数存在极值,求这些极值的和的取值范围.
22、已知,复数,,在复平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点.
（1）求的取值范围;
（2）当A,B,C三点共线时,求三角形AOB的面积.
参考答案
1、答案：B
解析:因为函数,在R上是增函数,
所以,
解得,故选B.
2、答案：A
解析:,
,
,
故,所以.
故选A.
3、答案：B
解析:由已知,最小正周期为,,
,,,,
,,
,
故选B.
4、答案：D
解析:因为,所以,
由题意小正方形的面积为1,则小正方形的边长为1,设直角三角形较短的直角边为a,则较长的直角边长为,
所以,解得,所以大正方形的边长为,
故大正方形的面积为25.
故选D.
5、答案：C
解析:若,则l的方程为,不经过第四象限.若,则l的方程为,经过第四象限.若,且,将l的方程转化为,因为l经过第四象限,所以或,解得或或.
6、答案：D
解析:取AC的中点O,连接BO,则,以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x,y轴,过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系.
设,则,易知平面,则直线与平面所成的角为,
所以,解得,则,.
则,,,,
所以,,
则,
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选D.
7、答案：D
解析:AB选项,因为,所以,
因为数列是以d为公差的等差数列,所以,
故,解得,
又,所以,,AB错误;
C选项,,故C错误;
D选项,由于,,,故当时,,
当时,,故的最大值为或,D正确.
故选D
8、答案：A
解析:本题考查导数的几何意义,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为,所以,由,得或(舍去).
所以该切线的方程为,所以该切线在x轴上的截距为.
9、答案：AC
解析:关于选项A,因为对应关系和定义域一致,所以A是同一个函数;
关于选项B,因为的定义域为,定义域为,定义域不一致,
所以B不是同一个函数;
关于选项C,因为对应关系和定义域一致,所以C是同一个函数;
关于选项D,因为的定义域为,可得,
定义域为,,
定义域不一致,所以D不是同一个函数.
故选:AC
10、答案：AB
解析:依题意,,由,得,
所以,,且,
即,.故选AB
11、答案：AC
解析:因为,
对于A:的最小正周期为,故A正确;
对于B:当时,,因为在上单调递增,
故在上单调递增,故B错误;
对于C:因为的最小正周期为,所以,故C正确;
对于D:令,,解得,,所以的定义域为,故D错误.
故选AC.
12、答案：ABD
解析:因为,,,
所以,则,
对于A,
,
故
,
,
所以,故A正确;
对于B,若,则,故B正确;
对于C,设与的夹角为,,
若,则,
即,
即,所以,
所以,即与的夹角为,故C错误;
对于D,若,则,
则,
即,由C选项可知与的夹角为,
同理与的夹角为,与的夹角为,
又,
所以,故D正确.
故选ABD.
13、答案：
解析:数据,,L,的平均数为,方差为,
所以,,即,
则,
因为,所以,
因函数在上单调递减,
故当时,的最大值是.
故答案为:.
14、答案：
解析:如图,“切面”所在平面与底面所成的角为,设圆的半径为r,
则,,,
由题意得,即,
所以,即,
所以,即.
即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为.
故答案为:.
15、答案：3
解析:,且
.
故答案为:3
16、答案：8
解析:,且,
,
公比,
,,
,
当且仅当,即时等号成立,
故答案为:8.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）因为,,且,
所以,
又由余弦定理,,得,
所以,即,
由正弦定理可得,,
在中,,代入上式,
得,,
即,又因为A,C是锐角,,,
所以,即.
（2）由和正弦定理可得,
,
因为是锐角三角形,
所以,所以,
所以,,令,
则,
因为对勾函数在上单调递增,所以,
所以的取值范围是.
18、答案：（1）265千克;
（2）①;
②0.7.
解析:（1）,
故该蔬果日需求量的平均数为265千克.
（2）①当日需求量低于250千克时,利润(元);
当日需求量不低于250千克时,利润(元),
所以.
②由,解得.
所以
故根据频率分布直方图估计利润y不小于1750元的概率为0.7
19、答案：（1）见详解
（2）见解析
解析:（1）证明:取PA的中点N,连接EN,DN.因为E是PB的中点,所以,.
又底面ABCD为正方形,F是CD的中点,所以,,所以四边形ENDF为平行四边形,所以.
因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD.
（2）以为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令,则,,,.
设,得,则,.
因为,所以,解得,
从而,,.
设平面的法向量为,则,令,得.
设平面EMF的法向量为,则,令,得,
.
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为.
20、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）7名同学中,会法语的有5人,
从7人中选派3人,共有种选法,
其中恰有2人会法语共有种选法,
选派的3人中恰有2人会法语的概率.
（2）由题意可知,X所有可能的取值为0,1,2,3.
,;
,,
的分布列为
21、答案：（1）见解析;
（2）
解析:（1）因为,所以,令.
,即时,恒成立,此时,
所以函数在上为减函数;,即或时,有不相等的两根,设为,,则,.当或时,,此时,所以函数在和上为减函数;当时,,此时,所以函数在上为增函数.
（2）对函数求导得.因为存在极值,
所以在上有解,即方程在上有解,
即.显然当时,无极值,不合题意,
所以方程必有两个不等正根.
设方程的两个不等正根分别为,,则,
由题意知,
由得,
22、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）因为,,
所以,,
当且仅当时取得等号,
所以;
（2）因为,,
且A,B,C三点共线时,有,
即,
解得
此时,,,
所以,
所以.
X
0
1
2
3
P