博爱县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,那么等于( )
A.B.C.D.
2．若虚数z使得是实数,则z满足( )
A.实部是B.实部是C.虚部是0D.虚部是
3．平面向量,,若,则( )
A.6B.5C.D.
4．若为等差数列,是数列的前n项和,,,则等于( )
A.7B.6C.5D.4
5．已知,,则等于( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,其中,,.在已知的条件下,则下列选项中可以确定其值的量为( )
A.B.C.D.
7．已知,分别是双曲线的左,右焦点,过的直线分别交双曲线左,右两支于A,B两点,点C在x轴上,,平分,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．在正方体中,点M,N分别是,BD上的动点,当线段MN的长最小时,直线MN与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
9．已知是定义在R上的奇函数,且,对于上任意两个不相等实数和,都满足,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
10．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是( )
A.若,则
B.若为锐角三角形,则
C.若,则一定为直角三角形
D.若,则可以是钝角三角形
11．在中,,,D为线段BC的中点,,E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点,则( )
A.B.4C.7D.
12．已知函数,若成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知,,则在方向上的投影向量的坐标为________.
14．若两条直线,与圆的四个交点能构成矩形,则________.
15．若命题:“,使”是假命题,则实数m的取值范围为________.
16．已知椭圆()的上,下顶点分别为A,B,右焦点为F,B关于直线AF的对称点为.若过A,,F三点的圆的半径为a,则C的离心率为________.
三、解答题
17．已知集合,函数的定义域为集合B.
（1）当时,求;
（2）设命题p:,命题q:,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18．如图,四棱台的上下底面分别是边2和4的正方形,侧棱上点满足.
（1）证明:直线平面;
（2）若平面ABCD,且,求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图,在平面四边形ABCD中,,,.
（1）当,时,求的面积;
（2）当,时,求.
20．某市举行招聘考试,共有4000人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.
（1）根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;
（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布,其中为样本平均数的估计值,,试估计初试成绩不低于88分的人数;
（3）复试共三道题,第一题考生答对得5分,答错得0分,后两题考生每答对一道题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y,求Y的分布列及均值.
附:若随机变量X服从正态分布,则:,,.
21．已知函数,,其中e为自然对数的底数.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）令,求证:对,有
成立;
（3）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
22．平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）曲线与交于M,N两点,求与直线MN平行且过原点的直线l的极坐标方程及的值.
参考答案
1．答案：B
解析：,解得或,
则,,
则,
故选:B.
2．答案：A
解析：设,
,是实数,
因此,(舍去)或.
故选:A.
3．答案：B
解析：因为,,且,所以,解得,所以,所以.
故选:B.
4．答案：D
解析：根据题意,设等差数列的公差为d,
因为,,
所以,解得,
所以.
故选:D.
5．答案：D
解析：
6．答案：B
解析：正弦函数的图象与性质,设,则.由题图知,即.又由五点作图法知,分别为第一点与第三点,
所以,,所以,,联立以上两式解得,
又已知,所以可以确定,
故选B.
7．答案：A
解析：因为,所以,
设,则,设,则,,因为平分,由角平分线定理可知,,
所以,所以,
由双曲线定义知,即,,
又由得,
所以,即是等边三角形,
所以,在中,
由余弦定理知,
即,化简得,把①代入上式得,所以离心率为,
故选:A.
8．答案：A
解析：如图,设底面正方形ABCD的对角线交于点N,
在平面内,过N作,垂足点为M,根据正方体的性质易得:平面,
此时MN即为直线与BD的公垂线段,∴此时线段MN的长最小,设正方体的棱长为2,建系如图,
则,,,设,
,,,
又,,
,
解得,,,
,
又易知平面的法向量为,
直线MN与平面所成角的正弦值为:
故选:A.
9．答案：A
解析：因为是定义在R上的奇函数,所以,
所以,即函数为偶函数,
因为对于上任意两个不相等实数和,都满足,
所以函数在上单调通增,
因为,,
所以,,即.
故选:A.
10．答案：D
解析：因为,
所以由正弦定理知,
又因为在三角形中大角对大边,
所以,故A正确;
因为为锐角三角形,
所以,即,
所以,故B正确;
由正弦定理边化角得,
则或(舍),则,即,
则一定为直角三角形,故C正确;
,
,
,
又:最多只有一个角为钝角,
,,,即三个角都为锐角,
为锐角三角形,故D错误.
故选:D.
11．答案：C
解析：在中,D为线段BC的中点,
,即①,
,,,
∴由①平方得,则,
②
由②平方得,则,
,则,
,
又,,则为直角三角形,
,
可建立以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴的平面直角坐标系,如图所示:
则,,,,
则,则,
则直线l的方程为,即,
令,则,可设,
,
故选:C.
12．答案：C
解析：根据题意,函数,
有,则函数的图象关于直线对称,
设,,则,
当时,,则,函数在上为增函数,在上为增函数,故函数在上为增函数,若成立,则有,解可得,即a的取值范围为;故选:C.
13．答案：
解析：因为,,所以a在b方向上的投影向量的坐标为.
14．答案：8
解析：两条直线,与圆的四个交点能构成矩形,
可得圆心在与两直线,的距离均相等的轨迹上,
设所求轨迹上一个动点的坐标为,可得,
由于,所以,即为,
所以,
可得.
故答案为:8.
15．答案：
解析：若命题:“,使”是假命题,
则其否定:“,恒成立”是真命题,
当时,恒成立,符合题意,
当时,则,解得,
综上所述,m的取值范围为.
故答案为:.
16．答案：0.5
解析：根据题意可得,
的外接圆的半径为a,设椭圆的左焦点为E,由对称性易知:E为的外接圆的圆心,
,又,
,,
故答案为:0.5.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,由题意,解得或,所以,
又,所以
（2）由题意,即,解得:或,
所以,
由题意可知,
所以或,解得或
故实数a的取值范围.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:延长和DC交于点M,连接MA交BC于点N,连接,
由,故,所以,所以,
所以,所以N为BC中点,
又且,且,
所以且,
故四边形为平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面.
（2）以C为原点,CD,CB,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,.
所以,,.
设平面的法向量,由,得,
取,
故所求角的正弦值为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,在中,由余弦定理得,
即,解得,,
因为,则,又,
所以的面积是.
（2）在中,由正弦定理得,即,
在中,由正弦定理得,即,
则,整理得,而,为锐角,
所以.
20．答案：（1）62
（2）91
（3）见解析
解析：（1）样本平均数的估计值为.
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布,其中,,
则,
所以,
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人.
（3）Y的取值分别为0,5,10,15,20,25,
则,
,
,
,
,
,
故Y的分布列为:
所以数学期望为.
21．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）因为,所以点即为点
,,故切线方程为
（2）因为,当时,,故在上单调递增,所以,
又,当且仅当,即时取等号,即当时,,
由于的最小值等于的最大值,且不是在同一点取得,故有成立
（3）由不等式在上恒成立,即不等式在上恒成立,得在上恒成立,
令,则在上恒成立,
即在上恒成立,
令,则
在递减,
所以实数a的取值范围是
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由曲线的参数方程为(为参数),
可得,
即曲线的普通方程为;
曲线的极坐标方程为,
即曲线的直角坐标方程为
（2）由（1）得
即直线MN的方程为,
则与直线MN平行且过原点的直线l的方程为,其倾斜角为,
所以直线l的极坐标方程为;
设曲线的圆心到直线MN的距离为d,则,故.
Y
0
5
10
15
20
25
P