山东省临沂市兰山区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷+

这是一份山东省临沂市兰山区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷+，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）近段时间，以熊猫为原型的2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成了全网“顶流”．如图，通过平移如图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．﹣8的立方根是﹣2
C．0的算术平方根是0D．27的立方根是±3
3．（3分）第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）
4．（3分）点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．大于等于4cmB．大于3cm且小于4cm
C．等于3cmD．小于等于3cm
5．（3分）已知一个正数x的两个平方根分别是3a+2和2﹣5a，则数x的取值是（ ）
A．±8B．8C．±64D．64
6．（3分）把方程5x﹣3y＝x+2y改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x
7．（3分）一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
B．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
D．第一次向左拐40°，第二次向左拐40°
8．（3分）若a2＝25，＝2，则a+b的值为（ ）
A．﹣3B．13C．13或﹣3D．13或3
9．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥x轴且PQ＝5，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，7）或（﹣3，﹣3）B．（2，2）或（﹣8，2）
C．（﹣3，3）或（﹣7，3）D．（﹣2，8）或（﹣2，﹣2）
10．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，A，B分别落在G，H点处，若∠1＝40°，则∠AEF的大小是（ ）
A．120°B．115°C．110°D．105°
11．（3分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程．数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示．任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），那么z＝2﹣3i可表示为（ ）
A．Z（2，3）B．Z（3，﹣2）C．Z（﹣3，2）D．Z（2，﹣3）
12．（3分）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（ ）
A．B．8cm，1cm
C．D．10cm，3cm
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）π﹣3.14的相反数是 ．
14．（3分）2023+的小数部分是 ．
15．（3分）如图，直径为1个单位的圆，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从表示﹣1的点开始到达点A，则点A对应的实数是 （结果保留小数点后1位）．
16．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）计算．
（1）；
（2）解方程组：．
18．（8分）完成下面推理过程：
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥ （ ）
∴∠B＝∠DCE （ ）
又∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D （ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠E＝∠DFE （ ）
19．（8分）在网格中建立平面直角坐标系，如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）在图中画出△ABC；
（2）将点C向下平移3个单位到D点，将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到E点，写出点D和点E的坐标；
（3）求△ECD的面积．
20．（10分）如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥GD；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝45°，求∠ACB的度数．
21．（10分）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形．
（1）大正方形的边长是 cm；（写出解答过程）
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
22．（12分）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．
23．（12分）【问题发现】
如图①，直线AB∥DC，点E在AB与CD之间，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C＝∠CEF（ ）．
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴∠B＝ （ ）．
∴∠B+∠C＝ （等量代换）．
即∠B+∠C＝∠BEC．
【拓展探究】
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是 ．【解决问题】
如图③，∠c＝130°，∠AEC＝70°，求出∠A的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中.
1．（3分）近段时间，以熊猫为原型的2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成了全网“顶流”．如图，通过平移如图吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】平移的性质．
【答案】B
【分析】利用平移前后图形的形状和大小完全相同进行判断．
【解答】解：通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形为．
故选：B．
2．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．﹣8的立方根是﹣2
C．0的算术平方根是0D．27的立方根是±3
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【答案】D
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、4的平方根是±2，故此选项不符合题意；
B、﹣8的立方根是﹣2，故此选项不符合题意；
C、0的算术平方根是0，故此选项不符合题意；
D、27的立方根是3，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）
【考点】点的坐标．
【答案】B
【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
【解答】解：∵点P在第四象限内，
∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）．
故选：B．
4．（3分）点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．大于等于4cmB．大于3cm且小于4cm
C．等于3cmD．小于等于3cm
【考点】点到直线的距离；有理数大小比较．
【答案】D
【分析】根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短得出P到直线l的距离是不大于3cm，
故选：D．
5．（3分）已知一个正数x的两个平方根分别是3a+2和2﹣5a，则数x的取值是（ ）
A．±8B．8C．±64D．64
【考点】平方根．
【答案】D
【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此得到3a+2+2﹣5a＝0，求出a＝2，因此3a+2＝8，即可求出x的值．
【解答】解：∵正数x的两个平方根分别是3a+2和2﹣5a，
∴3a+2+2﹣5a＝0，
∴a＝2，
∴3a+2
＝3×2+2
＝8，
∴x＝82
＝64．
故选：D．
6．（3分）把方程5x﹣3y＝x+2y改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x
【考点】解二元一次方程．
【答案】B
【分析】将x看作已知数，求出y即可．
【解答】解：5x﹣3y＝x+2y，
移项合并得：﹣5y＝﹣4x，
解得：y＝x．
故选：B．
7．（3分）一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
B．第一次向左拐40°，第二次向左拐140°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
D．第一次向左拐40°，第二次向左拐40°
【考点】平行线的性质．
【答案】C
【分析】分第一次向右拐和左拐两种情况考虑，依据题意画出图形，根据平行线的性质可得出∠2＝∠1＝40°（∠4＝∠3＝40°），再结合图形找出第二次拐弯方程，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当第一次向右拐40°时（如图1），
∵两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，
∴∠2＝∠1＝40°，且向左拐，
∴A、B错误；
当第一次向左拐40°时（如图2），
∵两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，
∴∠4＝∠3＝40°，且向右拐，
∴C错误，C正确．
故选：C．
8．（3分）若a2＝25，＝2，则a+b的值为（ ）
A．﹣3B．13C．13或﹣3D．13或3
【考点】立方根；平方根．
【答案】D
【分析】先运用平方根和立方根知识求得a，b的值，再代入计算．
【解答】解：∵（±5）2＝25，23＝8，
∴a＝±5，b＝8，
当a＝5，b＝8时，
a+b＝5+8＝13；
当a＝﹣5，b＝8时，
a+b＝﹣5+8＝3，
∴a+b的值为13或3，
故答案为：D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥x轴且PQ＝5，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，7）或（﹣3，﹣3）B．（2，2）或（﹣8，2）
C．（﹣3，3）或（﹣7，3）D．（﹣2，8）或（﹣2，﹣2）
【考点】坐标与图形性质．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的坐标特征和点到坐标轴的距离可得P（﹣3，2），根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可设Q（a，2），由两点间的距离公式列出方程求解即可．
【解答】解：∵第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴P（﹣3，2），
∵线段PQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为2，
设Q（a，2），
∵PQ＝5，
∴|﹣3﹣a|＝5，
解得：a＝2或﹣8，
∴Q（2，2）或（﹣8，2），
故选：B．
10．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，A，B分别落在G，H点处，若∠1＝40°，则∠AEF的大小是（ ）
A．120°B．115°C．110°D．105°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．
【答案】C
【分析】根据题意可知∠AEF+∠BFE＝180°；借助翻折变换的性质求出∠BFE，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AE∥BF，∠AEF+∠BFE＝180°；
由折叠变换的性质得：
∠BFE＝∠HFE，而∠1＝40°，
∴∠BFE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠AEF＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
11．（3分）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程．数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示．任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），那么z＝2﹣3i可表示为（ ）
A．Z（2，3）B．Z（3，﹣2）C．Z（﹣3，2）D．Z（2，﹣3）
【考点】点的坐标．
【答案】D
【分析】根据例题的解答思路，即可解答．
【解答】解：∵z＝1+2i，
∴Z（1，2），
∵z＝2﹣3i，
∴Z（2，﹣3），
故选：D．
12．（3分）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（ ）
A．B．8cm，1cm
C．D．10cm，3cm
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】A
【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据“长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形且面积相等”，列方程组求解即可．
【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，
，
解得：，
所以这个长方形的长和宽分别cm和cm．
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）π﹣3.14的相反数是 3.14﹣π ．
【考点】相反数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相反数的定义进行解答，即只有符号不同的两个数交互为相反数．
【解答】解：由相反数的定义可知，π﹣3.14的相反数是﹣（π﹣3.14）＝3.14﹣π．
故答案为：3.14﹣π
14．（3分）2023+的小数部分是 ﹣3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】﹣3．
【分析】先估算的整数部分，再估算它的小数部分即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，3＜＜4，
∴的整数是3，小数部分为﹣3．
∴2023+的小数部分为﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（3分）如图，直径为1个单位的圆，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从表示﹣1的点开始到达点A，则点A对应的实数是 2.1 （结果保留小数点后1位）．
【考点】实数与数轴．
【答案】2.1．
【分析】首先求出圆的周长约为3.1，再设点A对应的实数是a，然后根据a﹣（﹣1）≈3.1求出a的值即可．
【解答】解：∵圆的直径为1个单位，
∴该圆的周长为：1×π≈3.1（个单位），
设点A对应的实数是a，
依题意得：a﹣（﹣1）≈3.1，
∴a≈2.1，
∴点A对应的实数约是2.1．
故答案为：2.1．
16．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DH＝2，平移距离为3，则阴影部分的面积为 15 ．
【考点】平移的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝3，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置
∴△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB，BE＝3，
∵AB＝6，DH＝2，
∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，
∴阴影部分的面积＝×（6+4）×3＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）计算．
（1）；
（2）解方程组：．
【考点】二次根式的混合运算；解二元一次方程组．
【答案】（1）﹣；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣（1+）
＝﹣1
＝﹣；
（2），
①×4得：8x﹣4y＝20③，
②+③得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
∴原方程组的解为：．
18．（8分）完成下面推理过程：
如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠B＝∠DCE （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D （ 等量代换 ）
∴AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠E＝∠DFE （ 两直线平行，内错角相等 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的判定和性质及等量代换求解可得．
【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠B＝∠DCE （两直线平行，内错角相等）
又∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D （等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠E＝∠DFE （两直线平行，内错角相等），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；AD；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
19．（8分）在网格中建立平面直角坐标系，如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）在图中画出△ABC；
（2）将点C向下平移3个单位到D点，将点A先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到E点，写出点D和点E的坐标；
（3）求△ECD的面积．
【考点】作图﹣平移变换．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答，E（﹣2，0），D（4，﹣1）；
（3）9．
【分析】（1）直接利用A，B，C点的坐标在坐标系中得出各点位置；
（2）利用平移的性质得出各对应点位置；
（3）利用△ECD所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：A、B、C即为所求；
（2）如图所示：点D，E即为所求；E（﹣2，0），D（4，﹣1）；
（3）S△ECD＝3×6﹣×4×5﹣×1×6﹣×6×2＝9．
20．（10分）如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：CA∥GD；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝45°，求∠ACB的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝90°．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠1+∠DCE＝180°，从而可得∠DCE＝∠2，再根据平行线的判定即可得；
（2）先根据平行线的性质可得∠GDB＝∠A＝42°，再根据角平分线的定义可得∠2＝∠GDB＝42°，从而可得∠DCE＝42°，然后根据角平分线的定义可得∠ACB＝2∠DCE，由此即可得．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠DCE＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DCE＝∠2，
∴CA∥GD；
（2）解：由（1）已得：GD∥CA，
∴∠GDB＝∠A＝45°，
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠GDB＝45°，
由（1）已得：∠DCE＝∠2，
∴∠DCE＝45°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝90°．
21．（10分）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形．
（1）大正方形的边长是 4 cm；（写出解答过程）
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【考点】算术平方根．
【答案】（1）4；（2）不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设未知数根据面积＝12cm2列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×（）2＝16（cm2），
∴拼成的大正方形的面积是16cm2，
∴大正方形的边长是4cm；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x•2x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
22．（12分）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．
【考点】坐标与图形性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0求解即可；
（2）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可；
（3）根据在第二象限的点的坐标特征和点P到x轴、y轴的距离相等列出方程，解出a的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P（2a﹣3，a+6）在x轴上，
∴a+6＝0，
解得：a＝﹣6，
∴2a﹣3＝2×（﹣6）﹣3＝﹣15，
∴点P的坐标（﹣15，0）；
（2）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
∴a+6＝3+6＝9，
∴点P的坐标为（3，9）；
（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴3﹣2a＝a+6，
解得：a＝﹣1，
∴a2023+2024＝（﹣1）2023+2024＝﹣1+2024＝2023．
23．（12分）【问题发现】
如图①，直线AB∥DC，点E在AB与CD之间，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC（ 平行于同一条直线的两直线平行 ）．
∴∠C＝∠CEF（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴∠B＝ ∠BEF（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠B+∠C＝ ∠CEF+∠BEF（等量代换）．
即∠B+∠C＝∠BEC．
【拓展探究】
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是 ∠B+∠C+∠BEC＝360° ．【解决问题】
如图③，∠c＝130°，∠AEC＝70°，求出∠A的度数．
【考点】平行线的判定与性质；平行公理及推论．
【答案】【问题发现】
平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF+∠BEF；
【拓展探究】
∠B+∠C+∠BEC＝360°．
【解决问题】20°．
【分析】【问题发现】
过点E作EF∥AB，利用平行于同一条直线的两直线平行和平行线的性质得到∠C＝∠CEF，∠B＝∠BEF，则∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF＝∠BEC；
（2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补课得到∠B+∠C+∠BEC＝360°；
（3）作EF∥AB，如图③，利用平行线的性质得到∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，则∠CEF＝60°，所以∠AEF＝20°，从而得到∠A的度数．
【解答】【问题发现】
证明：过点E作EF∥AB，如图①，
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB（作图），
∴∠B＝∠BEF，（ 两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF（等量代换），
即∠B+∠C＝∠BEC．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF+∠BEF；
【拓展探究】
解：作EF∥AB，如图②，
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠BEC＝360°；
故答案为：∠B+∠C+∠BEC＝360°．
【解决问题】
解：作EF∥AB，如图③，
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，
∴∠CEF＝180°﹣130°＝50°，
∵∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BAE＝20°．