专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）

这是一份专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题06函数与导数常见经典压轴小题归类26大核心考点讲义原卷版docx、专题06函数与导数常见经典压轴小题归类26大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153451810" PAGEREF _Tc153451810 \h 2
\l "_Tc153451811" PAGEREF _Tc153451811 \h 3
\l "_Tc153451812" PAGEREF _Tc153451812 \h 3
\l "_Tc153451813" PAGEREF _Tc153451813 \h 6
\l "_Tc153451814" PAGEREF _Tc153451814 \h 12
\l "_Tc153451815" 考点一：函数零点问题之分段分析法模型 PAGEREF _Tc153451815 \h 12
\l "_Tc153451816" 考点二：函数嵌套问题 PAGEREF _Tc153451816 \h 14
\l "_Tc153451817" 考点三：函数整数解问题 PAGEREF _Tc153451817 \h 17
\l "_Tc153451818" 考点四：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc153451818 \h 20
\l "_Tc153451819" 考点五：等高线问题 PAGEREF _Tc153451819 \h 22
\l "_Tc153451820" 考点六：分段函数零点问题 PAGEREF _Tc153451820 \h 25
\l "_Tc153451821" 考点七：函数对称问题 PAGEREF _Tc153451821 \h 29
\l "_Tc153451822" 考点八：零点嵌套问题 PAGEREF _Tc153451822 \h 31
\l "_Tc153451823" 考点九：函数零点问题之三变量问题 PAGEREF _Tc153451823 \h 34
\l "_Tc153451824" 考点十：倍值函数 PAGEREF _Tc153451824 \h 36
\l "_Tc153451825" 考点十一：函数不动点问题 PAGEREF _Tc153451825 \h 38
\l "_Tc153451826" 考点十二：函数的旋转问题 PAGEREF _Tc153451826 \h 40
\l "_Tc153451827" 考点十三：构造函数解不等式 PAGEREF _Tc153451827 \h 42
\l "_Tc153451829" 考点十四：导数中的距离问题 PAGEREF _Tc153451829 \h 45
\l "_Tc153451831" 考点十五：导数的同构思想 PAGEREF _Tc153451831 \h 49
\l "_Tc153451832" 考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 PAGEREF _Tc153451832 \h 51
\l "_Tc153451833" 考点十七：三次函数问题 PAGEREF _Tc153451833 \h 54
\l "_Tc153451834" 考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题 PAGEREF _Tc153451834 \h 56
\l "_Tc153451835" 考点十九：任意存在性问题 PAGEREF _Tc153451835 \h 62
\l "_Tc153451836" 考点二十：双参数最值问题 PAGEREF _Tc153451836 \h 65
\l "_Tc153451837" 考点二十一：切线斜率与割线斜率 PAGEREF _Tc153451837 \h 67
\l "_Tc153451838" 考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） PAGEREF _Tc153451838 \h 69
\l "_Tc153451839" 考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 PAGEREF _Tc153451839 \h 72
\l "_Tc153451840" 考点二十四：函数的伸缩变换问题 PAGEREF _Tc153451840 \h 74
\l "_Tc153451841" 考点二十五：V型函数和平底函数 PAGEREF _Tc153451841 \h 76
\l "_Tc153451842" 考点二十六：曼哈顿距离与折线距离 PAGEREF _Tc153451842 \h 78
有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．
（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当时，有两根，，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么：
① 若，则有且只有个零点；
② 若，则有个零点；
③ 若，则有个零点．
特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为．
同理，对于三次函数，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则
A．B．C．D．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
5．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，， ．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
7．（2023•乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
8．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
9．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
10．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
考点一：函数零点问题之分段分析法模型
例1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点二：函数嵌套问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
考点三：函数整数解问题
例7．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中校考）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四：唯一零点求值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
例12．（2023春·辽宁·高三校联考期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
考点五：等高线问题
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例16．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点六：分段函数零点问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点七：函数对称问题
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x