第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模拟测试-教师版）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

这是一份第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模拟测试-教师版）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，1B．0等内容，欢迎下载使用。
第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模拟测试）（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，则（    ）A．M B．N C． D．【答案】C【分析】先求集合M，然后由并集运算可得.【详解】因为，且，所以，又，所以.故选：C2．已知命题或，则为（    ）A．且 B．且C．或 D．或【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题或是全称量词命题，所以且.故选：B3．已知，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D错误.故选：B.4．已知，集合，集合，若，则（    ）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.【详解】因为，故可得且，或且；解得或；当时，，满足题意；当时，，不满足题意，舍去；综上所述，.故选：D.5．“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（    ）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】A【分析】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数，即可得结果.【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，由样本估计总体，得所求比值为.故选：A6．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：依题意，，故，当且仅当时等号成立.故选:A.7．对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根据集合定义得为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.【详解】由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有，正确；②设，则，故，错误；③设，则，故，错误；④令，则对任意的，，故恒有，正确.故选：B8．实数，，满足：，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，则易知与均不为且符号相同，∴，解得或.（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）又∵，，，，∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，∴，又∵，∴，（当时，），∴解得，即，当且仅当时，等号成立.∴综上所述，的取值范围是.故选：D.【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项. 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）9．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（  ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据题意，转化为，恒成立，列出不等式，即可得到的范围.【详解】由题意可得，，恒成立，可得，即，解得或，即实数a的取值范围是或.故选：AB10．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（    ）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得【答案】ABD【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）A．若，，，则B．若，，，则的最小值为C．若，，，则的最小值为D．若，，，则的最小值为2【答案】AD【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.【详解】A.因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；B. 因为，，，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；C. 因为，，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；D. 令，则，，则，而，当且仅当，即时，等号成立，故正确；故选：AD12．已知正实数、满足，则（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项.【详解】因为正实数、满足，则，因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；因为，所以，，令，因为函数在上单调递减，所以，，C对D错.故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知，集合，，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.【详解】由，，得，因为，所以，所以，解得.故答案为：14．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．【答案】【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．设．是的充分不必要条件，所以．（两个等号不能同时取到），．故答案为：.【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.15．若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．【答案】8【分析】由题意可得化简得，所以，利用基本不等式即可求解【详解】因为不等式的解集为，则，因为，所以，∴．当且仅当，即时，取到等号．故答案为：816．已知，则的最大值为_________．【答案】【分析】通分化简整理，再利用基本不等式求得最大值.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故答案为：. 四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．命题：任意，成立；命题：存在，+成立.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或或 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.【详解】（1）由q真：，得或，所以q假：；（2）p真：推出，由和有且只有一个为真命题，真假，或假真，或，或或.18．求下列函数的最值（1）求函数的最小值.（2）求函数的最小值.（3）设，，若，求的最小值.（4）若正数，满足，求的最小值.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）【分析】（1）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.（2）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.（3）先将所求表达式转化为，再由基本不等式求得最小值.（4）利用“”的代换的方法，化简所求表达式，再由基本不等式求得最小值.【详解】（1），故函数的最小值为，当且仅当，即时取得；（2），故函数的最小值为，当且仅当即时取得；（3）由题得，代入原式，得，故原式的最小值为，当且仅当，即时取得；（4）由题得，则，当且仅当时取“”，故最小值为5.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)条件选择见解析， 【分析】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围【详解】（1）当时，集合，，所以；（2）若选择①A∪B＝B，则， 因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以， 又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．20．（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最大值；（3）当时，求函数的最小值；（4）当时，求函数的最大值；（5）设，求函数的值域．（6）①当时，求函数的最大值；②求函数的最大值；【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②.【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解；（2）将函数变形为，利用基本不等式求解；（3）将函数变形为，利用基本不等式求解；（4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解；（5）将函数变形为，利用基本不等式求解；（6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解.【详解】（1）因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.（2）因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以函数的最大值为.（3）因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.（4），令，则，所以，因为，所以，当且仅当，即，也即时，取得等号，所以，所以函数的最大值为.（5）,因为，所以，所以，当且仅当，即时，取得等号，所以，所以函数的值域为.（6）①令，因为，所以，所以，因为，当且仅当，即，也即时，取得等号，所以，所以函数的最大值为1.②令，则，所以，所以，因为函数在单调递增，所以当时，即时，有最小值为4，所以，所以函数的最大值为.21．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元；（2）长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元．【分析】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．设污水处理池的宽为x米，则长为米．依题意求出总造价，再根据基本不等式可求得结果；（2）根据题意得到，再根据g（x）＝x（），在[，16]上是增函数，可求得结果.【详解】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．（2）由限制条件知，∴．设g（x）＝x（），由对勾函数性质易知g（x）在[，16]上是增函数，∴当x＝时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（）+12960＝38882（元）．∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了对勾函数的单调性，属于中档题.22．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，解方程；(3)若正数满足，求的最小值．【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）由题意把代入式中可求值；（2）将代入方程可求解；（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可．【详解】（1）．（2）原方程可化为：即：，即，解得：．（3），当且仅当，即时，等号成立，有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．