人教版九年级数学上册同步精品课堂 22.2 二次函数与一元二次方程（课件）

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二次函数与一元二次方程1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.2.二次函数与一元二次方程有什么联系？3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？当y=0时，ax2+bx+c=0.y=ax2+bx+c（a≠0）xyx 问题:如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 问题:如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？因此，当球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.解：当h=15时，15=20t-5t2, 整理得，t2-4t+3=0, 解得，t1=1,t2=3.（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？解：（2）当h=20时，20=20t-5t2,整理得，t2-4t+4=0,解得，t1=t2=2.因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？解：(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.（4）球从飞出到落地要用多少时间？解：(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0 整理得，t2-4t=0 解得，t1=0，t2=4因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．已知二次函数的值，求自变量x的值.解一元二次方程 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1.(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1. 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.例1.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.例2.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.例2.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.例3.在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4【分析】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49.当x＝1.2时，y＝0.04于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2故选BB D例4.如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＞y2时x的取值范围是（　　）A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 C D例5. 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得 即 解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.（3）由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ C A   D ＜2   7．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是___________．        一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.