2024年新高考数学一轮复习达标检测第14讲导数的应用__导数与函数的单调性（教师版）

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A．B．
C．，D．，
【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．
【解答】解：当时，单调递减，
从图可知，当，，时，，
所以的单调递减区间为和．
故选：．
2．函数在上是单调函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可．
【解答】解：依题意可知恒成立，
则△，从而，
故选：．
3．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为，求出不等式的解集即可．
【解答】解：令，则，
故在递增，而，
故不等式即，解得：，
故选：．
4．已知是定义在上的非负可导函数，且满足，则
A．（1）（2）B．（1）（2）C．（1）（2）D．（1）（2）
【分析】令，对求导，判断的单调性，从而得到（1）与（2）的大小关系，进一步得到答案．
【解答】解：令，则，
在上单调递增，
（1）（2），即（1）（2），
故选：．
5．已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】可设，再设，根据，解得，即可求出，由不等式可得，解不等式即可．
【解答】解：令，，
，，，
，
，，
，即，解得，故选：．
6．新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，，人体肺部结构中包含，，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为，若在区间上为增函数，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据函数的单调性得到，求出的导数，得到其范围，求出的范围即可．
【解答】解：在区间上是增函数，
在上恒成立，
，，，
，
，，
在单调递增，，，
，
，
故选：．
7．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，，下列不等式中一定成立的有
①；②；
③（1）；④．
A．①②③B．②④C．②③D．③
【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性逐一判断即可．
【解答】解：由已知，则，
故在单调递减，
故，展开即为②；
由于，故，故③正确；
由于，
同理，相加得，故①正确；
取，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③，
故选：．
8．定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列一定判断正确的是
A．（2）B．（3）（2）
C．（3）D．（3）
【分析】根据条件对任意的都有，，构造函数，则，可得在时单调递增．由，注意到；；代入已知表达式可得：，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果．
【解答】解：设，则，
对任意的都有；
则，则在，上单调递增；
；；
因为，
；
，所以关于对称，则（4），
在，上单调递增；
（3）（4）即（3），（3）；
即（3）成立．故正确；
（3），（2）故，均错误；
（3）（2）（3）（2）．错误．
故选：．
9．（多选）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令，，则其导数，
又由，且恒有，
则有，
即函数为减函数，又由，则有，
即，分析可得；
又由，则有，
即，分析可得．
故选：．
10．（多选）若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”．已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是
A．B．C．D．
【分析】由题可知，函数和在区间上都是单调增函数．对求导得，可推出在区间、上为增函数．然后分和两类讨论的单调性，其中当时，需要构造函数，且用到了隐零点的思路．
【解答】解：函数是区间上的“一致递增函数”，
函数和在区间上都是单调增函数．
对于，有，
令，则或，即在区间、上为增函数．
对于，有，
当时，显然成立，即在上为增函数，区间可能为．
当时，令，则在上恒成立，即在上单调递减．
而，，
，使得，且在上恒成立，即在上恒成立．
在上为增函数，其中．
对比选项，可知符合题意，即区间可能为．
故选：．
11．函数的单调递减区间是 ．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
【解答】解：，
，
令，解得：，
故在递减，
故答案为：．
12．已知函数，若（1），则 ；若函数在，单调递增，则实数的取值范围是 ．
【分析】求导得，把代入列出关于的方程，解之即可；
原问题可转化为在，上恒成立，参变分离后，有，设，，，再次求导，判断出函数在，上的单调性，并求出最大值即可得解．
【解答】解：，，
（1），
，解得．
函数在，单调递增，
在，上恒成立，即，
设，，，则，
当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．
（1）．
，即实数的取值范围是．
故答案为：2；．
13．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为 ．
【分析】由题可知，当时，有，于是构造函数，可知在上单调递增，而原不等式可以转化为（2），即，解之即可．
【解答】解：，当时，有，
令，则，
即在上单调递增，
对于不等式（2），
可转化为（2），
，解得，
不等式的解集为，．
故答案为：，．
14．已知函数为自然对数的底数，为常数且，在定义域内单调递减，则的取值范围 ．
【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可．
【解答】解：的定义域是，
，若在递减，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，，
则，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，则（e），
则，
故答案为：，．
15．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为 ．
【分析】令，则，已知：时，，可得：时，函数单调递减．由（1），利用函数的单调性，可得时，；时，．进而得出：当，，又为奇函数，当，．不等式可化为：，或，即可得出不等式的解集．
【解答】解：令，则，
时，，时，函数单调递减．
（1），
时，；时，．
时，；时，．
当，时，，又（1）（1），（1）．
当，，又为奇函数，
当，．
不等式可化为：
，或，
解得．
不等式的解集为：．
故答案为：．
16．已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）若，，求的值域．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值和端点值，求出函数的值域即可．
【解答】解：（1），
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增；
（2）若，，结合（1）得：
在，递增，在递减，在，递增；
而，，，（2），
故函数的值域是，．
17．已知函数，其中为常数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，结合二次函数的性质求出的范围即可．
【解答】解：（1）时，，
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增；
（2），，
函数在上单调递增，
在恒成立，
△，解得：，
故实数的范围是，．
18．已知，函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．
【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）时，，，
令，解得：或，令，解得：，
在递增，在递减，在递增；
（2），
令，
若函数在上单调递减，
则在恒成立，
则，
解得：，
故，．
[B组]—强基必备
1．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为
A．B．C．D．
【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：，，
又，，
设，则，
，（2），
即不等式（2）等价为（2），
在是增函数且，
由（2），得，即，
综上可得，．
故选：．
2．设函数在上存在导数，当时，．且对任意，有，若，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据，构造函数，然后根据，可判断出的奇偶性与单调性，然后即可将转化为关于的不等式．
【解答】解：令，．
所以是奇函数，易知，．
当时，，，结合，在上是减函数．
，
，，．
，所以．
故的取值范围是，．
故答案为：，．
3．设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若，使得，则实数的取值范围为 ．
【分析】构造函数，通过求导及奇偶性可确定其为减函数，进而可解决所给集合为，，后面的问题转化为即在，有解的问题，在引进函数，利用其递增性可解．
【解答】解：设，
则，
当时，，
故函数是上的单调递减函数，
又由，
可知，，
则函数是奇函数，
函数是上的单调递减函数．
由题设中，
可得，
可得，解得；
由，得，
问题转化为在，上有解，
即在，上有解，
令，，，
则，
故在，上单调递增，
则（1），
即．
故答案为：．